Математические основы финансового менеджмента

Математические основы финансового менеджмента

В основе финансовых вычислений лежит  понятие временной ценности денег, которое может быть выражено следующим  выражением: «рубль сегодня более  ценен, чем в будущем». Данное заключение определяется рядом факторов:

во-первых, денежная единица, находящаяся  в распоряжении лица может быть использована как в целях потребления, так  и в целях преумножения, тогда  как денежная единица, которую ожидается  получить в будущем лишена возможности  получить дополнительный доход сегодня, а также обладает риском неполучения.

во-вторых, в условиях инфляционной экономики, деньги имеют объективную  особенность обесценения и потери покупательной способности, из чего следует, что на одну и ту же денежную единицу в условиях инфляции сегодня можно купить больше, чем в будущем.

В финансовых расчетах временная несопоставимость и плата за отказ от потребления  учитываются с помощью операций наращения и дисконтирования.

Одним из важнейших определений, лежащих  в основе большинства финансовых расчетов, являются процентные деньги.

Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Величина получаемого дохода (процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).

Капитализация (наращение) долга – это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Коэффициент капитализации (наращения) – величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – период времени, в течение которого начисляются проценты. Период начисления, как правило, совпадает со сроком кредита. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.

Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Существуют два способа начисления процентов:

1. Декурсивный способ начисления процентов. Декурсивные проценты (ссудный процент) начисляются в конце каждого интервала начисления исходя из величины предоставляемого капитала.
2. Антисипативный (предварительный) способ начисления процентов. Антисипативные проценты (учетная ставка) начисляются в начале каждого интервала начисления исходя из наращенной суммы.

При обоих способах начисления процентов  процентные ставки могут быть либо простыми, если применяются в течение  всего периода начисления к первоначальной денежной сумме, либо сложными, если по прошествии каждого интервала начисления применяются к наращенной сумме.

Простые ставки ссудных процентов обычно применяются в краткосрочных финансовых операциях (не более года), когда интервал начисления совпадает с периодом начисления, либо когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Сложные ставки ссудных процентов применяются как правило в длительных финансовых операциях (более года), когда подразумевается наращение основной суммы.

В зависимости от способа определения  продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент. В первом случае используется точное число дней ссуды. Во втором случае берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность месяца принимается равной 30 дней, а продолжительность года принимается 360 дней. Дата выдачи и гашения кредита всегда считается за один день.

Простые ставки ссудных  процентов

Определение величины наращенной суммы за некоторый период времени называется компаундингом (compounding).

Формула для определения наращенной суммы:

,

где S – наращенная сумма; P – величина первоначальной денежной суммы; n – продолжительность периода начисления в годах; i – ставка ссудного процента.

Если требуется найти наращенную сумму за период времени не совпадающий  с точным количеством лет, то используется модифицированная формула определения  наращенной суммы:

,

где l – продолжительность периода начисления в днях, m – продолжительность года в днях.

На практике часто возникает  обратная задача: узнать величину первоначальной денежной суммы (P), которая в будущем должна составить заданную величину наращенной суммы (S). Определение современной величины наращенной суммы (S) называется дисконтированием (discounting).

Формула для определения  первоначальной денежной суммы.

Для точного числа лет:

Для периода времени, не совпадающим  с точным числом лет

В случае если на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки, то формула для расчета наращенной суммы имеет вид:

Пример 1

Кредит в размере 10.000.000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 20% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для обыкновенного и точного расчета процентов. Год не високосный.

Решение:

1 Для обыкновенных процентов  l=284, m=360

S = 10.000.000(1+284/360x0,2)=11.577.777,77

2. Для точных процентов l=284, m=365

S = 10.000.000(1+284/365x0,2)=11.556.164,38

 

Пример 2

Кредит в размере 20.000.000 выдается на 3,5 года. Ставка процентов  за первый год 30%, а за каждое последующее  полугодие она уменьшается на 1%. Определить наращенную сумму.

Решение:

Простые учетные ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого  дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала  начисления (т.е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим (банковским) учетом.

Дисконт – это доход, полученный по учетной ставке, то есть, разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

На практике учетные ставки применяются  главным образом при учете (покупке) векселей и других денежных обязательств.

,

где D_г – сумма процентных денег, выплачиваемая за год (банку); d – годовая учетная ставка; S – сумма, которая должна быть возвращена.

,

где D – общая сумма процентных денег.

Сумма, получаемая заемщиком будет  определяться:

,

где P – сумма получаемая заемщиком; l – продолжительность периода начисления в днях, m – продолжительность года в днях.

Наращенная сумма (сумма, которая  должна быть возвращена) определяется:

Из формулы можно увидеть, что  в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не могут принимать любое значение. Необходимо выполнения условия:

  или  

Пример 1

Кредит в размере 40.000.000 выдается по простой учетной ставке 25% годовых. Определить срок, на который представляется кредит, если заемщик желает получить 35.000.000 рублей.

Решение:

Пример 2

Рассчитать учетную ставку, которая  обеспечивает получение 9.000.000 рублей, если сумма в 10.000.000 выдается в ссуду  на полгода.

Решение:

 

Сложные ставки ссудных  процентов

Если после очередного интервала  начисления доход не выплачивается, а капитализируется, то для определения наращенной суммы применяются формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты достаточно широко применяются на практике.

Чем больше период начисления, тем  больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Формула для расчета сложных  процентов имеет вид:

,

где S – наращенная сумма; P – величина первоначальной денежной суммы; n – продолжительность периода начисления в годах; i – ставка сложных ссудных процентов; n – количество лет.

Если срок ссуды не является целым  числом, то формула для расчет наращенной суммы определяется:

,

где n_а – целое число лет; n_b – оставшаяся дробная часть года.

В случае если уровень сложных процентных ставок различается на разных интервалах начисления, то в конце всего периода  начисления наращенная сумма будет определяться:

,

где n₁, n₂,…,n_N – продолжительность интервалов начисления в годах; i₁, i₂,...,i_N – годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.

Если все интервалы начисления одинаковы (как обычно бывает на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, то наращенная сумма будет определяться:

Начисление сложных процентов  может осуществляться несколько  раз в году, в этом случае оговаривается номинальная ставка процентов (j), то есть годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке (j), величина номинальной процентной ставки, применяемой на каждом интервале начисления определяется .

Если срок ссуды составляет n лет, то наращенная сумма будет определяться:

,

где j – номинальная ставка сложных ссудных процентов; mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться:

,

где l – часть интервала начисления.

Пример 1

Первоначальная сумма долга равна 50.000.000 рублей. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 20% годовых.

Решение:

1 способ начисления.

2 способ начисления.

Пример 2

Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за 5 лет? Определить также для случая начисления процентов  по полугодиям.

1.

2. Для случая начисления процентов  по полугодиям

Сложные учетные ставки

При антисипативном способе начисления сложных процентов (проценты начисляются  в начале каждого интервала), формула  наращенной суммы имеет вид:

,

где S – сумма, которая должна быть возвращена; P – сумма получаемая заемщиком; d – величина сложной учетной ставки; n – количество лет.

Для периода начисления, не являющегося  целым числом, наращенная сумма будет определяться:

,

где – n_a – целое число лет; n_b – оставшаяся дробная часть года.

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма определяется:

,

где n₁, n₂,…,n_N – продолжительность интервалов начисления в годах; d₁, d₂,...,d_N – годовые учетные ставки, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.

Если проценты начисляются  m раз в году, наращенная сумма определяется:

,

где f – номинальная годовая учетная ставка; mn – общее количество интервалов начисления.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться:

,

где mn – целое число интервалов начисления за весь период начисления; l – часть интервала начисления.

Пример

Определить современное  значение суммы в 100.000.000 рублей, которая  будет выплачена через 2 года при  использовании учетной ставки 20% годовых.

Решение