Контрольная работа по "Методам принятия управленческих решений"

 

Федеральное государственное образовательное  бюджетное учреждение

высшего профессионального  образования

«Финансовый университет при Правительстве  Российской Федерации»

(Заочный финансово-экономический  институт)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра экономико-математических методов и моделей

 

 Факультет: Менеджмента и маркетинга

Специальность: Бакалавриат

 

Контрольная работа по дисциплине: методы принятия управленческих решений 
Вариант 5.

 

 

 

Студент: Рябова Марина Андреевна

                                  Курс: 2      № группы: день

                       Личное дело №: 11МЛД11155   

                   Преподаватель: Князева Инга Владимировна

 

 

 

 

 

 

Калуга 2013

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну  краски, т		Максимально возможный запас, т
	Краска Е	Краска I
А	1	2	6
В	2	1	8

Задача 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации 
 
Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице. 

 
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда  не превышает спроса на краску Е более чем на 1т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден.ед. для краски Е и 2000 ден.ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным? 
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему? 
Решение.

 Введем следующие переменные:  
Х₁ – количество краски Е (т); 
Х₂ – количество краски I (т). 
Цена краски Е составляет 3000 (ден. ед.), а цена краски I –2000 (ден. ед.). Необходимо максимизировать целевую функцию: 
 
Введены следующие ограничения: 
Х₁+2Х₂≤6; 
2Х₁+Х₂≤8; 
Х₂≤2; 
Х₂-Х₁≤1. 
Первое ограничение по продукту А Х₁+2Х₂≤6. Прямая Х₁+2Х₂=6 проходит через точки (0;3) и (6;0). 
 
Второе ограничение по продукту В 2Х₁+Х₂≤8. Прямая 2Х₁+Х₂=8 проходит через точки (0;8) и (4;0). 
Третье ограничение Х₂≤2. Прямая L: Х₂=2 проходит параллельно оси Х₁ через точку Х₂=2. 
Четвертое ограничение Х₂-Х₁≤1. Прямая С: Х₂-Х₁=1 проходит через точки (0;1) и (-1;0). 
Построим вектор целевой функции (градиент, вектор нормали). Координаты конца вектора определяются коэффициентами функции цели, при этом начало вектора находится в точке (0,0): с = (3000,2000). Для удобства можно строить вектор, пропорциональный найденному вектору с = (3,2). 
 
Построим линию уровня целевой функции. Для этого приравняем целевую функцию к постоянной величине α: 3000Х1 + 2000Х2 = α. Пусть для удобства α = 0, тогда уравнение линии нулевого уровня L0: 3Х1 + 2Х2 = 0 и она проходит через точку (0,0) и (-2,3). Если построение выполнено правильно, то линии уровня целевой функции и градиент перпендикулярны.  
 
Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.

 
Рис. 1.1 
Решением неравенств будет являться полуплоскость, лежащая ниже пересекающихся прямых Х₁+2Х₂₌6, 2Х₁+Х₂₌8, Х₂₌2, Х₂-Х₁₌1.  
При максимизации функции линия уровня перемещается по направлению вектору – градиенту. 
Определим оптимальное решение задачи. 
Для решения задачи на максимум переместим линию нулевого уровня L0 параллельно самой себе в направлении вектора с до точки выхода из допустимой области, таким образом, найдем разрешающую точку Д. 
Найдем координаты точки Д, которая является пересечение прямых А и В. Решим систему уравнений этих прямых:  
Х₁+2Х₂₌6 
2Х₁+Х₂₌8 
Находим, что Х₁=3,33, Х₂ = 1,33 
(ден. ед.) 
Ответ: 
Прибыль фирмы будет максимальной, т.е. 12650 ден. ед., если ежедневно будет производиться 3,33 т краски Е и 1,33 т краски I.  
При решении задачи на минимум – решений не будет.

Задача 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования 
 
На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции			Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд	1	4	3	200
Сырье	1	1	2	80
Оборудование	1	1	2	140
Цена изделия	40	60	80

 
 
Требуется:

1.  
   Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2.  
   Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3.  
   Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4.  
   На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

•  
  проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

•  
  определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
•  
  оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов. 
  Решение 
  ^ 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.  
  Х₁- норма расхода ресурса первого вида 
  Х₂ - норма расхода ресурса второго вида 
  Х₃ - норма расхода ресурса третьего вида.  
  Целевая функция имеет вид  
  , где   
  Ограничения: 
  1)по труду  
   
  2) по сырью  
   
  3) по оборудованию 
   
   
  Оптимальный план найдем через Поиск решений в надстройках Excel (рис. 2.1) и (рис. 2.2). 
   
   Рис. 2.1 
   
   
  Рис. 2.2 
  Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4000 ед.) предприятие может получить при выпуске 40 единиц изделия 1 вида и 40 единиц изделия 2 вида. При этом ресурс «труд» и «сырье» будут использованы полностью, из 140 единиц оборудования будет использовано только 80 единиц.  
   
  Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета рис. 2.3  
  

Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное  значение	Результат
	$D$3		4000	4000
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное  значение	Результат
	$A$2	х1	40	40
	$B$2	х2	40	40
	$C$2	х3	0	0
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$D$4		200	$D$4<=$E$4	связанное	0
	$D$5		80	$D$5<=$E$5	связанное	0
	$D$6		80	$D$6<=$E$6	не связан.	60
						Рис.2.3

 
В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных  , которые соответственно равны 40; 40; 0; значение целевой функции – 4000, а также недоиспользованный ресурс «оборудование» в размере 60 единиц. 
 
Оптимальный план    
 
^ 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 
 
Число неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 3 ограничения: труд, сырье и оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 3 неизвестных: 
двойственная оценка ресурса труд 
 двойственная оценка ресурса сырья  
 двойственная оценка ресурса оборудования

 
Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой  функции двойственной задачи являются свободные члены в системе  ограничений исходной задачи: 
 
Необходимо найти такие «цены» на типы сырья ,чтобы общая стоимость используемых типов сырья была минимальной. 
Ограничения. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче 3 ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость типа сырья, затраченного на производство единицы продукции.  
Каждое ограничение соответствует определенной норме расхода сырья на единицу продукции: 
 
 
 
 
Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности. 
Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности  
тогда 
 
 
 
 
Подставим оптимальные значения вектора  в полученные выражения 
 
 
 
И получим 
 ,  
,  
, так как 80 < 140, то   
В задаче  и  , поэтому первое и второе ограничения двойственной задачи обращаются в равенства 
 
 
 
Решая систему уравнений получим, y₁ = 6,67, y₂ = 33,33, y₃ = 0. 
Проверяем выполнение первой теоремы двойственности 
 
 
Это означает, что оптимальный план двойственной задачи определен, верно.  
Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений – Отчет по устойчивости (рис.2.4).

Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	$A$2	х1	40	0	40	20	4.000000003
	$B$2	х2	40	0	60	100	20
	$C$2	х3	0	-6.666666672	80	6.666666672	1E+30
Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая  часть	Увеличение	Уменьшение
	$D$4		200	6.666666667	200	120	120
	$D$5		80	33.33333333	80	60	30
	$D$6		80	0	140	1E+30	60

 
 
Рис 2.4

3) Пояснить нулевые  значения переменных в оптимальном  плане. 
 
Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора  :   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Затраты на 3 изделия превышают цену ( ). Это же видно и в отчете по устойчивости (рис. 2.4) значения   (нормир. стоимость) равно -6.67. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу изделия больше чем цена изделия. Эти изделия не войдут в оптимальный план из-за их убыточности.

4.  
   На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
•  
  проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
•  
  определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц; 
•  
  оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов 
  ^ Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; 
  

 
Запасы сырья по первому и второму  виду были использованы полностью, а  по третьему виду – оборудование - было недоиспользовано 60. 
^ Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц  
Из теоремы об оценках известно, что колебание величины  приводит к увеличению или уменьшению  . Оно определяется: 
 

 
Из расчетов видно, если мы увеличим запасы сырья на 18 единицы, то выручка возрастет на 600 единиц, т. е общая выручка составит после изменения запасов 4600 единиц. 
П ри этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на них не изменились.

 
Решим систему уравнений:  
 
 
И получим  
  
  
Новый оптимальный план   
Изменение общей стоимости продукции на 600 ед. получено за счет увеличения плана выпуска 1 вида продукции на 24 ед по цене 40 ед (40*(64-40)=960 ед.) и уменьшения на 6 ед. плана выпуска продукции 2 вида по цене 60 (60*(34-40)=-360 ед.) 
^ Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов. 
Для оценки целесообразности включения в план изделия четвертого вида воспользуемся вторым свойством двойственной оценки. 
, подставим  ,  ,   
 
т.к. 80>70, то включение в план изделия четвертого вида невыгодно.