Балансовые модели

Тема 7. Балансовые модели    

 Балансовые модели  предназначены для анализа и  планирования производства и  распределения продукции на различных  уровнях — от отдельного предприятия  до народного хозяйства в целом.  Если вспомнить историю народного  хозяйства как Советского Союза  и России, так и других развитых  стран, то можно наблюдать,  что в экономики многих государств, в разное время случались экономические  кризисы разных крайностей от  кризисов перепроизводства (США,  середина ХХ века), до дефицита (Россия, конец ХХ века). Все эти  экономические кризисы связаны  с нарушением баланса между  производством и потреблением. Из  этих фактов видно, что баланс  между произведенной продукцией  и потреблением является важными  критериями как для макроэкономики, так и для микроэкономики.  
     Экономико-математические модели баланса пытались выстроить многие экономисты и математики с самого начала возникновения проблемы, однако, наиболее полную балансовую модель удалось построить в 1936 г. американским экономи стом В. Леонтьевым (который после революции эмигрировал в США и за свою модель получил Нобелевскую премию в области экономики). Эта модель позволяла рассчитать баланс между несколькими взаимодействующими отраслями, хотя ее можно легко обобщить и для организаций микроэкономики, например, для вычисления баланса между несколькими взаимодействующими предприятиями или между подразделениями одного предприятия (например, цехами одного завода). 
     Цель балансового анализа — ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производ ства каждой из п отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции; а с другой — как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. 
     Предположим, что рассматривается п отраслей промышленно сти, каждая из которых производит свою продукцию. Пусть общий объем произведенной продукции i -й отрасли равен  . Полная стоимость продукции произведенной i-й отраслью будем называть валовым продуктом этой отрасли. Теперь рассмотрим, на что тратится продукция, производимая отраслью. Часть про дукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и потребление другими отраслями, связанными с этой отраслью. Количество продукции i-й отрасли, предназначенной на для целей конечного потребления (вне сферы материального производства) личного и общественного j-й отраслью обозначим  . Оставшаяся часть предназначена для реализацию во внешнюю сферу. Эта часть называется конечным продуктом. Пусть i-ая отрасль производит   конечного продукта. 
     Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Так, как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то уравнение баланса между производством и потреблением будет иметь вид:  
      ,     (i=1,2,…,n)                               (7.1) 
     Уравнения (1) называются соотношениями баланса.  
     Можно также рассчитать такой показатель, как чистую продукцию  , которая равна разности между валовым продуктом и суммарным потреблением данной отраслью:  
      .                                                 (7.2) 
     Все, ранее рассмотренные показатели, можно записать в основную балансовую таблицу: 
        
     В результате, основная балансовая таблица, содержит четыре матрицы: матрица межотраслевых производственных связей  , матрицу валовой продукции  , матрицу конечной продукции    и матрицу чистой продукции  . 
     Одной из задач балансового анализа является определение валового продукта  , если известно распределение конечного  . Для этого введем коэффициенты прямых затрат:  
      .                                                 (7.3) 
     Они получаются в результате деления всех элементов каждого столбца матрицы   на соответствующий элемент матрицы межотраслевых производственных связей Х. Коэффициенты прямых затрат имеют смысл количества потребления продукции j-й отрасли, необходимой для производства единицы продукции i-й отраслью. Из выражения (3) можно получить:  . Подставив последнее выражение в соотношение баланса (1), получим:  
      .                                       (7.4) 
     Если обозначить матрицу коэффициентов прямых затрат как  , то соотношение баланса (4) в матричном виде можно записать в виде: 
      .                                         (7.5) 
     Из последнего выражения можно найти значение конечного продукта при известном значении валового:  
      ,                               (7.6) 
     где   - единичная матрица того же размера, что и А. 
     Пример 1. Баланс четырех отраслей за предыдущий период имеет матрицу межотраслевых производственных связей вида   и матрицу валовой продукции вида  . Необходимо определить конечный продукт Y и чистый продукт C каждой отрасли.  
     Конечный продукт Y получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции суммы элементов  соответствующих строк матрицы  . Например, первое значение   равно 100-(10+20+15+10)=45. Чистый продукт С получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции Х суммы элементов соответствующих столбцов матрицы  . Например, первое значение   равно 100-(10+5+25+20)=40. В результате, получим основную балансовую таблицу: 
 
        
     Поставим теперь другую задачу: рассчитаем конечный продукт каждой отрасли на будущий период, если валовый продукт окажется равным  . Для решения этой задачи найдем коэффициенты прямых затрат:  . 
     По формуле (6) получим  
      , 
       
     Важнейшей задачей межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затратА (или при возможности рассчитать этот показатель) обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. 
     Из уравнения (6) можно выразить валовый продукт:  
      .                                            (7.7) 
     Матрица   называется матрицей полных затрат. Каждый элемент   матрицы S есть величина валового  выпуска продукции j-й отрасли,  необходимого  для обеспечения выпуска единицы конечного продукта i-й отрасли.  
     Пример 2. В некотором регионе имеются две основные отрасли народного хозяйства: машиностроение (м/с) и сельское хозяйство (с/х). Баланс этих отраслей за отчетный период определяется матрицами  ,  . Вычислим остальные показатели и заполним основную балансовую таблицу

  
     Предположим, что на будущий  период планируется конечная  продукция в объемах  . Нужно определить, какой валовый продукт   при этом нужно планировать.  Найдем коэффициенты прямых затрат: 
      .  
      . 
     Найдем матрицу  . Обратную матрицу найдем методом алгебраических дополнений.  
     Определитель равен  . Алгебраические дополнения:  . 
     Транспонируем ее:  . Делим каждый элемент на определитель:  . 
     Валовый продукт  
      . 
     Таким образом, нужно планировать валовый выпуск машиностроения в размере 221 ед., а сельского хозяйства в размере 254 ед.