Метод однофакторного дисперсионного анализа

Пусть с другой стороны  наша гипотеза неверна и средние  значения (2) не равны друг другу, но параметр во всехm совокупностях один и тот же, когда сумма Q₂, не изменяющаяся при замене на , имеет, как можно доказать. По-прежнему распределение и степенями свободы, .

 По-прежнему является  несмещенной оценкой для . В то же время числитель F в (7,14) учитывает систематические расхождения между средними значениями a_i, и имеет тенденцию расти и становится тем больше, чем больше отклонения от предполагаемого равенства значений a_i. Поэтому правила проверки гипотезы дается в следующем виде: a₁=a₂=…..=a_m принимается, если

 

 

; в этом случае  и несмещенными оценками параметров a и нормально распределенных случайных величин (1).

Если ,то нулевая гипотеза отклоняется, и следует считать, что среди значений имеются хотя бы два не равных друг другу.

Схема однофакторного дисперсионного анализа 

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Выборочная дисперсия
Между сортами почвы
Внутри сортов почвы
Полная (общая)

Сравнивая дисперсию между  сортами почвы с дисперсией «внутри» почвы, по величине их отношения (11) судят, насколько рельефно проявляется  влияние такого фактора, как сорт почвы; в этом сравнении как раз  и заключается основная идея дисперсионного анализа. Схему однофакторного дисперсионного анализа можно представить в , табл. 2.

В качестве числового примера  рассмотрим данные пятикратного (n=5) измерения урожайности на трех (т =3) сортах почвы. В таблице приведены данные не фактического, а условного эксперимента;

Результаты измерения  урожайности в относительных  единицах

Номер Сорта почвы	Номер эксперимента					Выборочное среднее
	1	2	3	4	N=5
i
1	12	15	17	13	16	14.6
2	20	17	16	25	14	18.4
m=3	10	12	11	13	8	10.8

Из таблицы имеем:

;

;

; ; ; .

Для нашего примера таблица  однофакторного анализа будет иметь  следующий вид

дисперсионный анализ урожайности  на различных сортах почвы

Компонента дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Выборочная дисперсия
Между сортами почвы	Q1=137	2
Внутри сортов почвы	Q2=102.2	12
Полная (общая)	Q3=239.2	14

Произведя теперь проверку нулевой гипотезы (4) с помощью  распределения, находим

При двух степенях свободы  большей дисперсии (k₁ = 2) и 12 е свободы меньшей дисперсии (k₂ = 12) по табл. в приложении II находим критические границы для F, равные при 5%-м уровне pзначимости и 3.88 и 1%-м уровне — 6.93. Полученное нами из наблюдений значение превышает указанные границы, и потому нулевая гипотеза должна быть отвергнута, т.е. урожайность на рассматриваемых сортах почвы неодинакова.

 

 

 

Заключение:

Современные приложения дисперсионного анализа охватывают широкий круг задач экономики, биологии и техники  и трактуются обычно в терминах статистической теории выявления систематических  различий между результатами непосредственных измерений, выполненных при тех  или иных меняющихся условиях.

Благодаря автоматизации  дисперсионного анализа исследователь  может проводить различные статистические исследования с применение ЭВМ, затрачивая при этом меньше времени и усилий на расчеты данных. В настоящее  время существует множество пакетов  прикладных программ, в которых реализован аппарат дисперсионного анализа. Наиболее распространенными являются такие  программные продукты как:

 

- MS Excel;

- Statistica;

- Stadia;

- SPSS.

В современных статистических программных продуктах реализованы большинство статистических методов. С развитием алгоритмических языков программирования стало возможным создавать дополнительные блоки по обработке статистических данных.

Дисперсионный анализ является мощным современным статистическим методом обработки и анализа  экспериментальных данных в психологии, биологии, медицине и других науках. Он очень тесно связан с конкретной методологией планирования и проведения экспериментальных исследований. Дисперсионный  анализ применяется во всех областях научных исследований, где необходимо проанализировать влияние различных  факторов на исследуемую переменную.

 

Список используемой литературы:

   1. Макарова, Н. В. Статистика  в Excel: учеб. пособие / Н. В. Макарова, В. Я. Трофимец. – М.: Финансы и статистика, 2002

   2. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980

   3. Кремер Н.Ш. Теория вероятности  и математическая статистика. М.: Юнити – Дана, 2002.-343с.

   4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003.-523с.

   5. Козлов А. Ю., Шишов В.Ф.  Пакет анализа MS Excel в экономико-статистических расчетах. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- 139 с.

   6. Гайдышев И. Анализ и обработка данных: специальный справочник – СПБ:  Питер, 2001. – 752 с.

   7. Тюрин Ю. Н. анализ  данных на компьютере . – М.: ИНФА-М, 2003. – 544 с.