Математика в медицине

Хотя в принципе такое моделирование  дает не больше информации, чем чисто  математические расчеты, на практике оно  обеспечивает значительное приближение  к условиям реального эксперимента. Моделирование может приобрести особенно важное значение при изучении сложных биологических систем и уже широко применяется при исследовании операций. Многие задачи исследования операций возникают из необходимости внедрить некоторую близкую к оптимальной схему действия, однако часто оказывается, что характер задачи не позволяет провести эксперименты в реальных условиях. В этих случаях возможно экспериментирование на достаточно сложных моделированных системах, обеспечивающих высокую степень приближения к реальности.

Заключение

Основное положение настоящей  работы состоит в том, что математические методы применимы к самому широкому кругу вопросов - от физики элементарных частиц до моральных проблем. Удобно (хотя вовсе не обязательно) рассматривать  некую иерархию уровней. По мере перехода на более абстрактные уровни математические методы оказываются менее разработанными и применять их становится все труднее. Тем не менее при правильном применении математический подход не отличается существенно от подхода, основанного просто на здравом смысле. Математические методы просто более точны и в них используются более четкие формулировки и более широкий набор понятий, но, в конечном счете, они должны быть совместимы с обычными словесными рассуждениями, хотя, вероятно, и идут дальше их.

Существенно важен вопрос о том, в каких областях применимы математические методы. Потребность в математическом описании появляется при любой попытке вести обсуждение в точных понятиях и что это касается даже таких сложных областей, как искусство и этика, не говоря уж о медицине.

В данной реферативной работе мы постарались  охарактеризовать роль математики в  такой сложной области применения как медицина. Были рассмотрены такие  вопросы как применение математики в медицине и значение математических моделей.

Список литературы

1. Бесчастный А.А., Немцов А.В.  Математические модели: сущность  и применение // Журнал невропатологии  и психиатрии - 2000. №4. - 16с.

2. Будилова Е.В., Дрогалина Ж.А., Терехин А.Т.//Журнал общей биологии - 2005.-№2, 179-189с.

3. Любищев А.А.Точные науки в  разных отраслях деятельности.//Журнал  общей биологии. 2003. - 84с.

4. Леонов В.П., Ижевский П.В. Математика  и медицина.// Международный журнал  медицинской практики. - 2005. - № 4, 7-13с.

5. Немцов А.В., Зорин Н.А. История  математики. // Международный журнал  медицинской практики . -2006.- № 6. -100с.

Содержание  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
Введение  
 
Выдающийся  итальянский физик и астроном, один из основателей точного естествознания, Галилео Галилей (1564-1642) говорил, что "Книга природы написана на языке  математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической философии Иммануил Кант (1742-1804) утверждал, что "Во всякой науке столько истины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто  пятьдесят лет, практически уже  в наше время, немецкий математик  и логик Давид Гильберт (1862-1943) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания". 
    Приведенные высказывания великих  ученых дают полное представление  о роли и значении математики  во всех областях жизни людей. 
    Математика имеет почти такое  же значение для остальных  наук, как и логика. Роль математики  заключается в построении и  анализе количественных математических  моделей, а также в исследовании  структур, подчинённых формальным  законам. Обработка и анализ  экспериментальных результатов,  построение гипотез и применение  научных теорий в практической  деятельности требует использования  математики. 
   Степень разработанности математических методов в научной 
дисциплине  служит объективной характеристикой  глубины знаний об 
изучаемом предмете. Явления в физики и химии описываются 
математическими моделями достаточно полно, в результате эти науки 
достигли  высокой степени теоретических  обобщений. 
Математическое  моделирование как нормальных физиологических, так 
и патологических процессов является в настоящее  время одним из самых 
актуальных  направлений в научных исследованиях. Дело в том, что 
современная медицина представляет собой в основном экспериментальную 
науку с огромным эмпирическим опытом воздействия  на ход тех или иных 
болезней  различными средствами. Что же касается подробного изучения 
процессов в биосредах, то их экспериментальное исследование является 
ограниченным, и наиболее эффективным аппаратом их исследования 
представляется  математическое моделирование. 
Попытки использовать математическое моделирование  в 
биомедицинских  направлениях начались в 80-х гг. 19 в. Идея корреляционного анализа, выдвинутая английским психологом и 
антропологом  Гальтоном и усовершенствованная  английским биологом и 
математиком Пирсоном, возникла как результат  попыток обработки 
биомедицинских  данных. Начиная с 40-х гг. 20 в. математические методы 
проникают в медицину и биологию через кибернетику  и информатику. 
Первым  примером упрощенного описания живых  систем в медицине и 
биологии  была модель черного ящика, когда  все выводы делались только на 
основе  изучения реакций объекта (выходов) на те или иные внешние 
воздействия (входы) без учета внутренней структуры  объекта. 
Соответствующее описание объекта в понятиях вход—  выход оказалось 
неудовлетворительным, т.к. оно не учитывало изменения  его выходных 
реакций на одно и то же воздействие из-за влияния внутренних изменений в 
объекте. Поэтому метод черного ящика  уступил место методам пространства 
состояний, в которых описание дается в понятиях вход — состояние — 
выход. Наиболее естественным описанием динамической системы в рамках 
теории  пространства состояний является компартментальное  моделирование, 
где каждому  компартменту соответствует одна переменная состояния. В то 
же время  соотношения вход — выход по-прежнему широко используются 
для описания существенных свойств биологических  объектов. 
Выбор тех или иных математических моделей  при описании и 
исследовании  биологических и медицинских  объектов зависит как от 
индивидуальных  знаний специалиста, так и от особенностей решаемых задач. 
Например, статистические методы дают полное решение  задачи во всех 
случаях, когда исследователя не интересует внутренняя сущность процессов, 
лежащих в основе изучаемых явлений. Когда  знания о структуре системы, 
механизмах  ее функционирования, протекающих в  ней процессах и 
возникающих явлениях могут существенно повлиять на решения 
исследователя, прибегают к методам математического  моделирования 
систем. 
Под руководством И.М. Гельфанда был развит целый  подход, 
позволяющий формализовать врачебные знания на основе гипотезы 
структурной организации данных о человеке, и  таким путем получать в 
клинической медицине результаты, сравнимые по своей строгости с 
результатами  экспериментальных наук, при полном соблюдении этических 
законов медицины. 
Широко  применяются математические методы в биофизике, биохимии, 
генетике, физиологии, медицинском приборостроении, создании 
биотехнических  систем. Развитие математических моделей  и методов 
способствует: расширению области познания в медицине; появлению новых 
высокоэффективных методов диагностики и лечения, которые лежат в основе 
разработок  систем жизнеобеспечения; созданию медицинской  техники. 
В последние  годы активное внедрение в медицину методов 
математического моделирования и создание автоматизированных, в том 
числе и компьютерных, систем существенно  расширило возможности 
диагностики и терапии заболеваний. 
Одной из разновидностей медицинских компьютерных 
диагностических систем является диагностика с постановкой  конкретного 
диагноза  на основе имеющейся информации. 
При математическом моделировании выделяют два независимых  круга 
задач, в которых используют модели. Первый носит теоретический характер 
и направлен  на расшифровку структуры систем, принципов ее 
функционирования, оценку роли и потенциальных возможностей конкретных 
регуляторных  механизмов. 
Другой  круг задач имеет практическую направленность. В медицине 
они применяются, например, с целью получения конкретных рекомендаций 
для индивидуального  больного или группы однородных больных: 
определение оптимальной суточной дозы препарата  для данного больного 
при различных  режимах питания и физической нагрузки.  
  
  
  
 
Леонардо  Да Винчи – математик  и анатом  
 
Леонардо  Да Винчи говорил: «Пусть не читает меня в основах моих тот, кто не математик». Пытаясь найти математическое обоснование законов природы, считая математику могучим средством познания, он применяет ее даже в такой науке, как анатомия. 
     Пытаясь найти математическое обоснование законов природы, считая математику могучим средством познания, он применяет ее даже в такой науке, как анатомия. Он изучал труды врачей Авиценны (Ибн-Сины), Витрувия, Клавдия Галена и многих др. Весьма прискорбно, что рукописи Леонардо до середины XVIII века пребывали в неизвестности и дошли до нас не полностью, в разрозненном виде. Леонардо изучал анатомию в ее обширном целом и со всей глубиной. С величайшей тщательностью он изучал каждую часть человеческого тела. И в этом превосходство его всеобъемлющего гения. Леонардо можно считать за лучшего и величайшего анатома своей эпохи. И, более того, он несомненно первый, положивший начало правильному анатомическому рисунку. Труды Леонардо в том виде, в каком мы имеем их в настоящее время, являются результатом огромной работы ученых, которые расшифровали их, подобрали по тематике и объединили в трактаты применительно к планам самого Леонардо. 
    Работа над изображением тел  человека и животных в живописи  и скульптуре пробудила в нем  стремление познать строение  и функции организма человека  и животных, привела к обстоятельному  изучению их анатомии. 
    Еще будучи учеником в мастерской  художника Вероккио, Леонардо познакомился  с анатомическими воззрениями  крупнейших ученых древности  от Аристотеля до Галена и  Авиценны. Однако Леонардо, основываясь  на наблюдении и опыте, приобрел  более правильное представление  о структуре органов тела человека  и животных. 
    Один из современников, посетивший  Леонардо в 1517 г., писал: «Этот человек так детально разобрал анатомию человека, показав на рисунках части тела, мышцы, нервы, вены, связки и все остальное, как никто не сделал этого до него. Все это мы видели своими глазами» Преодолев все трудности, Леонардо сам занимался анатомированием и оставил подробное наставление, как производить его. Он изобрел модель из стекла для изучения клапанов сердца. Он первый стал делать распилы костей вдоль и поперек, для подробного изучения их структуры, ввел в практику зарисовку всех изучаемых им органов во время анатомирования. И этим объясняется необычайно правильное и реалистическое изображение людей и животных в его живописи и скульптуре. Точнее всего Леонардо изображает и описывает скелет, впервые совершенно правильно представляя и изображая его пропорции; он также первый точно определяет число позвонков крестца. Все анатомические изображения, сделанные до Леонардо, были условны, да и позднейшие художники не смогли превзойти Леонардо в этом искусстве. Все совершенное Леонардо в анатомии - грандиозно и явилось основой для новых величайших достижений. Леонардо стремился путем опыта выяснить функции отдельных частей человеческого тела. Изучая каждую часть, Леонардо воспринимал человеческий организм как нераздельное целое и называл его «прекрасным инструментом». Интересуясь движениями человеческого тела и тела животных, Леонардо изучал не только строение мышц, но и их двигательную способность, способы их прикрепления к скелету и особенности этих прикреплений. 
    Исследования Леонардо касаются  также функции мозга. Из органов  чувств Леонардо наиболее подробно  занимался органом зрения, который  он считал «повелителем и князем  прочих четырех чувств»; сначала  он заинтересовался зрением как  художник, вдохновенно видящий мир.  «Неужели не видишь ты, - пишет  Леонардо, - что глаз объемлет  красоту всего мира... Он направляет  и исправляет все искусства  человеческие, двигает человека  в разные части света. Он - начало  математики…».  
По свидетельству  Леонардо, он написал «120 книг по анатомии, при составлении которых», как  он пишет, у него «не было недостатка в прилежании, а был только недостаток во времени». К сожалению, нам неизвестно о каких 120 книгах по анатомии упоминает  Леонардо. До нас дошла только часть  его анатомических записей и  рисунков в виде отдельных листов. Эти рукописные книги, по свидетельству  современников, были изумительно выполнены. Познавательная способность гения  Леонардо да Винчи была беспредельна и неутомима: «Я не устаю, принося пользу, все труды неспособны утомить меня». Все свои исследования он старался пропустить сквозь призму математического анализа, наблюдая и изучая путем опыта окружающую природу всю свою жизнь.  
Имя Леонардо да Винчи - одного из величайших людей  эпохи Возрождения - прочно вошло  в историю человечества. Леонардо - великий строитель человеческой культуры. Его записи и замечательные  зарисовки хранят неиссякаемый запас  идей и гениальной изобретательности. 
 Витрувианский человек - рисунок, сделанный Леонардо Да Винчи примерно в 1490-92 годах, как иллюстрация для книги, посвященной трудам Витрувия. Рисунок сопровождается пояснительными надписями, в одном из его журналов. На нем изображена фигура обнаженного мужчины в двух наложенных одна на другую позициях: с разведенными в стороны руками, описывающими круг и квадрат. Рисунок и текст иногда называют каноническими пропорциями. При исследовании рисунка можно заметить, что комбинация рук и ног в действительности составляет четыре различных позы. Поза с разведенными в стороны руками и не разведенными ногами, вписывается в квадрат ("Квадрат Древних"). С другой стороны, поза с раскинутыми в стороны руками и ногами, вписывается в круг. И, хотя, при смене поз, кажется, что центр фигуры движется, на самом деле, пуп фигуры, который является настоящим её центром, остается неподвижным.  
 Далее  идет описание соотношений между  различными частями человеческого  тела. 
В сопроводительных записях Леонардо да Винчи указал, что рисунок был создан для  изучения пропорций (мужского) человеческого  тела, как оно описано в трактатах  античного римского архитектора  Витрувия, который написал следующее  о человеческом теле: 
"Природа  распорядилась в строении человеческого  тела следующими пропорциями: 
длина четырёх пальцев равна длине  ладони, 
четыре  ладони равны стопе, 
шесть ладоней составляют один локоть, 
четыре  локтя - рост человека. 
Четыре  локтя равны шагу, а двадцать четыре ладони равны росту человека. 
Если  вы расставите ноги так, чтобы расстояние между ними равнялось 1/14 человеческого  роста, и поднимите руки таким  образом, чтобы средние пальцы оказались  на уровне макушки, то центральной точкой тела, равноудаленной от всех конечностей, будет ваш пупок. 
Пространство  между расставленными ногами и полом  образует равносторонний треугольник. 
Длина вытянутых рук будет равна  росту. 
Расстояние  от корней волос до кончика подбородка равно одной десятой человеческого  роста. 
Расстояние  от верхней части груди до макушки  составляет 1/6 роста. 
Расстояние  же от верхней части груди до корней волос - 1/7. 
Расстояние  от сосков до макушки составляет ровно  четверть роста. 
Наибольшая  ширина плеч - восьмая часть роста. 
Расстояние  от локтя до кончиков пальцев - 1/5 роста, от локтя до подмышечной ямки - 1/8. 
Длина всей руки - это 1/10 роста. 
Стопа - 1/7 часть роста. 
Расстояние  от мыска ноги до коленной чашечки  равно четверти роста. 
Расстояние  от кончика подбородка до носа и  от корней волос до бровей будет  одинаково и, подобно длине уха, равно 1/3 лица." 
Повторное открытие математических пропорций человеческого тела в XV веке, сделанное Леонардо Да Винчи и другими, стало одним из великих           достижений,     предшествующих итальянскому ренессансу.   
  
 
                               
  
  
  
 
Математика в медицине  
 
Математика  всем нужна. Наборы чисел, как ноты, могут быть мертвыми значками, а  могут звучать музыкой, симфоническим  оркестром... И медикам тоже. Хотя бы для того, чтобы грамотно прочитать  обычную кардиограмму. Без знания азов математики нельзя быть докой  в компьютерной технике, использовать возможности компьютерной томографии... Ведь современная медицина не может  обходиться без сложнейшей техники.  
    Когда-то математики пришли в  медицину с наивным представлением, что они легко вникнут в  наши симптомы и помогут улучшить  диагностику. С появлением первых  ЭВМ будущее представлялось просто  замечательным: заложил в компьютер  всю информацию о больном и  получил такое, что врачу и  не снилось. Казалось, что машина  может все. Но поле математики  в медицине предстало огромным  и невероятно сложным, а ее  участие в диагностике - вовсе  не простым перебором и компоновкой  многих сотен лабораторных и  инструментальных показателей. Так  какие же математические методы  применяются в медицине? 
   Моделирование – один из главных методов, позволяющих ускорить технический процесс, сократить сроки освоения новых процессов. 
    В настоящее время математику  все чаще называют наукой о   математических моделях. Модели  создаются с разными целями  – предсказать поведение объекта  в зависимости от времени; действия  над моделью, которые над самим  объектом производить нельзя; представление  объекта в удобном для обозрения  виде и другие. 
    Моделью называется материальный  или идеальный объект, который  строится для изучения исходного  объекта и который отражает  наиболее важные качества и  параметры оригинала. Процесс  создания моделей называется  моделированием. Модели подразделяют  на материальные и идеальные.  Материальными моделями, например, могут служить фотографии, макеты  застройки районов и т.д. идеальные  модели часто имеют знаковую  форму. 
    Математическое моделирование относится  к классу знакового моделирования.  Реальные понятия могут заменяться  любыми математическими объектами: числами, уравнениями, графиками и т.д., которые фиксируются на бумаге, в памяти компьютера. 
    Модели бывают динамические и  статические. В динамических моделях  участвует фактор времени. В  статических моделях поведение  моделируемого объекта в зависимости  от времени не учитывается. 
    Итак, моделирование – это метод изучения объектов, при котором вместо оригинала (интересующий нас объект) эксперимент проводят на модели (другой объект), а результаты количественно распространяют на оригинал. 
    Таким образом, по результатам  опытов с моделью мы должны  количественно предсказать поведение  оригинала в рабочих условиях. Причем распространение на оригинал  выводов, полученных в опытах  с моделью, не обязательно должно  означать простое равенство тех  или иных параметров оригинала  и модели. Достаточно получить  правило расчета интересующих  нас параметров оригинала. 
    К процессу моделирования предъявляются  два основных требования. 
Во-первых, эксперимент на модели должен быть проще, быстрее, чем эксперимент  на оригинале. 
Во-вторых, нам должно быть известно правило, по которому проводится расчет параметров оригинала на основе испытания модели. Без этого даже самое лучшее исследование модели окажется бесполезным. 
    Статистика - наука о методах сбора, обработки, анализа и интерпретации данных, характеризующих массовые явления и процессы, т.е. явления и процессы, затрагивающие не отдельные объекты, а целые совокупности. Отличительная особенность статистического подхода состоит в том, что данные, характеризующие статистическую совокупность в целом, получаются в результате обобщения информации о составляющих ее объектах. Можно выделить следующие основные направления: методы сбора данных; методы измерения; методы обработки и анализа данных. 
    Методы обработки и анализа  данных включают теорию вероятностей, математическую статистику и  их приложения в различных  областях технических наук, а  также наук о природе и обществе. Математическая статистика разрабатывает  методы статистической обработки  и анализа данных, занимается обоснованием и проверкой их достоверности, эффективности, условий применения, устойчивости к нарушению условий применения и т.п. В некоторых областях знаний приложения статистики столь специфичны, что их выделяют в самостоятельные научные дисциплины: теория надежности - в технических науках; эконометрика - в экономике; психометрия - в психологии, биометрия - в биологии и т.п. Такие дисциплины рассматривают специфичные для данной отрасли методы сбора и анализа данных. 
    Примеры использования статистических  наблюдений в медицине. Два известных  профессора страсбургского медицинского  факультета Рамо и Саррю сделали  любопытное наблюдение относительно  скорости пульса. Сравнив наблюдения, они заметили, что между ростом  и числом пульса существует  зависимость. Возраст может влиять  на пульс только при изменении  роста, который играет в этом  случае роль регулирующего элемента. Число ударов пульса находится,  таким образом, в обратном отношении  с квадратным корнем роста.  Приняв за рост среднего человека  1,684 м, Рамо и Саррю полагают число ударов пульса равным 70. Имея эти данные, можно вычислить число ударов пульса у человека какого бы то ни было роста. Фактически Кетле предвосхитил анализ размерности и аллометрические уравнения применительно к человеческому организму.  Аллометрические уравнения: от греч. alloios — различный. В биологии большое число морфологических и физиологических показателей зависит от размеров тела; эта зависимость выражается уравнением: y = a • xb 
    Биометрия - раздел биологии, содержанием которого являются планирование и обработка результатов количественных экспериментов и наблюдений методами математической статистики. При проведении биологических экспериментов и наблюдений исследователь всегда имеет дело с количественными вариациями частоты встречаемости или степени проявления различных признаков и свойств. Поэтому без специального статистического анализа обычно нельзя решить, каковы возможные пределы случайных колебаний изучаемой величины и являются ли наблюдаемые разницы между вариантами опыта случайными или достоверными. Математико-статистические методы, применяемые в биологии, разрабатываются иногда вне зависимости от биологических исследований, но чаще в связи с задачами, возникающими в биологии и медицине.  
Применение  математико-статистических методов  в биологии представляет выбор некоторой  статистической модели, проверку её соответствия экспериментальным данным и анализ статистических и биологических  результатов, вытекающих из её рассмотрения. При обработке результатов экспериментов  и наблюдений возникают 3 основные статистические задачи: оценка параметров распределения; сравнение параметров разных выборок; выявление статистических связей.  
  
 
                                        
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
Области применения математических методов  
 
   Потребность в математическом описании появляется при любой 
попытке вести обсуждение в точных понятиях и даже если это касается таких 
сложных областей, как искусство и этика. 
 Важен вопрос о том, в каких областях медицины применимы 
математические  методы.  Примером может служить область медицинской 
диагностики.  Для постановки диагноза врач совместно с другими 
специалистами часто бывает вынужден учитывать  самые разнообразные 
факты, опираясь отчасти на свой личный опыт,  а отчасти на материалы, 
приводимые  в многочисленных медицинских руководствах и журналах. 
Общее количество информации увеличивается  со все возрастающей 
Интенсивность , и есть такие болезни, о которых уже столько написано,  что один человек не в состоянии в точности изучить, оценить, объяснить и 
использовать  всю имеющуюся информацию при  постановке диагноза в 
каждом  конкретном случае и тогда приходит на помощь математика, которая 
помогает  структурировать материал.  В тех случаях , когда задача  содержит 
большое число существенных взаимозависимых  факторов , каждый из 
которых в значительной мере подвержен естественной изменчивости,  только 
с помощью  правильно выбранного статистического  метода можно точно  
описать , объяснить и углубленно исследовать всю совокупность  
взаимосвязанных результатов измерений.  
 Если  число факторов или важных  результатов настолько велико, что 
человеческий  разум  не в состоянии их  обработать даже при введении 
некоторых статистических упрощений,  то обработка данных может  быть 
произведена  на электронной вычислительной машине.