Математическое моделирование в биологии и медицине

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

“Рязанский государственный  медицинский университет

имени академика  И.П.Павлова

Министерства  здравоохранения

и социального  развития Российской федерации”

 

Кафедра математики и медицинской информатики

 

 

 

                                               Реферат                                                                

                            Математическое моделирование в биологии и медицине

 

                      

 

 

                       

             

       

                                                                             Выполнил: студент 1 курса

                                                                             лечебного факультета

                                                                             34 группы Алешечкин Евгений

                                                                             Проверил:

                                                             

 

 

                                                 Рязань, 2013

Содержание

1)Определение математического моделирования.

2)Области  применения математических методов

3)Математическая  модель эпидемии 

4)Система  хищник-жертва

5) Модель Мальтуса

6) Методы оптимизации - моделирование процесса коррекции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)Определение математического моделирования.

Математи́ческая моде́ль — это математическое представление реальности.

Математическое  моделирование — это процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют объект его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью  осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.

Никакое определение не может  в полном объёме охватить реально  существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):

находящаяся в некотором  объективном соответствии с познаваемым  объектом;ьспособная замещать его в определенных отношениях; дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте.

По учебнику Советова и Яковлева : «модель (лат. modulus — мера) — это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала». (с. 6) «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием». (с. 6) «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи».

По Самарскому и Михайлову: математическая модель — это «„эквивалент“ объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д.» Существует в триадах «модель-алгоритм-программа». «Создав триаду „модель-алгоритм-программа“, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные „опыты“, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта». (с.7-8)

По монографии Мышкиса : «Перейдем к общему определению. Пусть мы собираемся исследовать некоторую совокупность  свойств реального объекта с помощью математики (здесь термин объект понимается в наиболее широком смысле: объектом может служить не только то, что обычно именуется этим словом, но и любая ситуация, явление, процесс и т.д.). Для этого мы выбираем (как говорят, строим) „математический объект“  — систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого и т.д.,— исследование которого средствами математики и должно ответить на поставленные вопросы о свойствах . В этих условиях  называется математической моделью объекта относительно совокупности  его свойств». (с.8)

По Севостьянову А. Г. : «Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе». Несколько менее общее определение математической модели, основанное на идеализации «вход — выход — состояние», заимствованной из теории автоматов, даёт Wiktionary: «Абстрактное математическое представление процесса, устройства или теоретической идеи; оно использует набор переменных, чтобы представлять входы, выходы и внутренние состояния, а также множества уравнений и неравенств для описания их взаимодействия».

Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: «Уравнение, выражающее идею».

2)Области применения математических методов

Потребность в математическом описании появляется при любой попытке вести обсуждение в точных понятиях и даже если это касается таких сложных областей, как искусство и этика. Важен вопрос о том, в каких областях медицины применимы математические методы. Примером может служить область медицинской диагностики. Для постановки диагноза врач совместно с другими специалистами часто бывает вынужден учитывать самые разнообразные факты, опираясь отчасти на свой личный опыт, а отчасти на материалы, приводимые в многочисленных медицинских руководствах и журналах. Общее количество информации увеличивается со все возрастающей интенсивностью, и есть такие болезни, о которых уже столько написано, что один человек не в состоянии в точности изучить, оценить, объяснить и использовать всю имеющуюся информацию при постановке диагноза в каждом конкретном случае и тогда приходит на помощь математика, которая помогает структурировать материал. В тех случаях, когда задача содержит большое число существенных взаимозависимых факторов, каждый из которых в значительной мере подвержен естественной изменчивости, только с помощью правильно выбранного статистического метода можно точно описать, объяснить и углубленно исследовать всю совокупность взаимосвязанных результатов измерений. Если число факторов или важных результатов настолько велико, что человеческий разум не в состоянии их обработать даже при введении некоторых статистических упрощений, то обработка данных может быть произведена на электронной вычислительной машине.

3)Математическая  модель эпидемии 

Применение  в медицине мы продемонстрируем на примере простейшей математической модели эпидемии. В модели описывается распространение инфекционного заболевания в изолированной популяции. Особи популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x(t) (t — время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих особей заразна (предполагается, что инкубационный период заболевания пренебрежимо короток). Второй класс численностью y(t) составляют восприимчивые особи, т. е. особи, которые могут заразиться при контакте с инфицированными особями. И, наконец, третий класс состоит из невосприимчивых особей (приобретших иммунитет или погибших в результате заболевания). Его численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы: 14 1) заболеваемость в момент времени t равна x(t)y(t) (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении пропорционально x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax(t)y(t) (a > 0); 2) численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью bx(t) (b > 0).

В результате мы получаем систему уравнения

В силу этой задачи, как легко видеть, траектории системы x¢ и

y¢ меют вид, изображенный на рисунке

 

 

4)Система  хищник-жертва

Допустим, что  на некоторой территории обитают  два вида животных: кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов , число лис . Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Лотки — Вольтерра:

Эта система  имеет равновесное состояние, когда  число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра — Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

5) Модель Мальтуса

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

Где   — некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция . Если рождаемость превосходит смертность ( ), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста

где   — «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению , причем такое поведение структурно устойчиво.

6) Методы оптимизации - моделирование процесса коррекции

деформации позвоночника аппаратом внешней фиксации  довременная травматология и ортопедия широко используют устройства механического воздействия при лечении различного рода травм и патологий. В частности для коррекции деформаций позвоночника внедрён аппарат внешней фиксации, конструкция которого обладает высокой степенью статической неопределимости. Моделирование (от лат. modulus — мера, образец) — процесс создания оделей, схем, знаковых или реальных аналогов, отражающих существенные войства более сложных объектов (прототипов). Служит исследовательским инструментарием для изучения отдельных аспектов и свойств прототипа. Выбор математической модели оптимизации того или иного процесса предполагает учёт целого спектра составляющих параметров, способны оказывать влияние на качественные стороны рассматриваемого процесса. Строить математическую модель необходимо с использованием данных распределении усилий коррекции, напряжении в опасных сечениях, усилиях озникающих со стороны внешних связей – сегментов позвоночника. В астности существует методика получения зависимости между изменениями ормы искривлённого позвоночника и действием изгибающего момента Вега сечениях. В качестве целевой функции оптимизации перевода аппаратаиз одного пространственного положения в другое принято время совершения роцесса. Необходимо выявить ограничения по прочности, исходномупараметру деформации, рабочему диапазону усилий коррекции, изменениюпараметра деформации в ходе коррекции. Под результатами оптимизации подразумеваются величины усилийкоррекции, при которых значение целевой функции изменения времени вусловиях поставленных ограничений минимально (рис 1).

9Рис. 1. Блок-схема  оптимизации процесса перевода  аппарата из одногопространственного  положения в другое 1 2 3 4 5 F , F , F , F , F - усилия коррекции, (H); L – величина деформации.Таким образом, математическоемоделирование процесса измененияпространственного положения аппарата внешней фиксации позвоночникапозволяет выявить режимы работы конструкции, при которыхобеспечиваемое механическое воздействие способно значительно сократитьсроки коррекции деформированного позвоночника.

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Алатов Д.  В. Получение зависимости между  изменениями формы

искривлённого позвоночника и действием изгибающего  момента в его

сечениях / Д. В. Алатов // Сб. науч. статей аспирантов КГУ. – Курган, 2003.

2. Ахмеров Р.Р., Садовский Б.Н. Дифференциальные  уравнения в

биологии, химии, медицине // Очерки по теории обыкновенных

дифференциальных  уравнений. - [Электронный ресурс]. URL:

http://www.ict.nsc.ru/ru/textbooks/akhmerov/ode/index.html.

3. Бейли Н.  Математика в биологии и медицине / пер. с англ. Е.Г. 

Коваленко. –  М.: ИЗДАТЕЛЬСТВО "МИР", 1970 г.

4. Гурьев В.Ю.  Математическое моделирование биомеханических

процессов в неоднородном миокарде: дис…канд. физ. – мат. наук. –

Екатеринбург, 2004-147с.

5. Кобринский Б.А. Системы  искусственного интеллекта в  медицине:

Состояние, проблемы и перспективы // Новости искусственного интеллекта

1995; 2:65-79.

6. Петров И.Б. Математическое  моделирование в медицине и  биологии на

основе моделей механики сплошных сред //ТРУДЫ МФТИ, 2009, Том 1, № 1.

7. Словарь по социальной  педагогике: учеб. пособие для студ. высш.

учеб. заведений / авт.-сост. Л. В. Мардахаев. — М.: Издательский центр

«Академия», 2002. — 368 с.