Аппроксимация данных. Построение модели

 

План работы:

1. Введение 2

2. Задание 3

3. Аппроксимация данных. Построение модели 4

     3.1) Выбор функции. 4

     3.2) Аппроксимация в MATLAB. 4

     3.3) Выбор оптимальной функции. 5

3.4) Регрессионный анализ экспоненциальной функиции.. 7

3.5) Регрессионный анализ степенной функции………………..…………....8

4. Расчет запаса жизненных сил. Время жизни после лечения...…………….11

5. Заключение 14

6. Список используемой литературы 15

7. Приложение……………………………………………………………………16

 

 

Введение

Саркома - злокачественная опухоль, состоящая из недифференцированных, атипичных-клеток соединительной ткани. В некоторых случаях саркома развивается на месте ушиба или перелома. Источниками развития опухоли являются фибробласты, надкостницы, сухожилия. Обобщенно говоря, саркома может развиваться всюду, где имеется соединительная ткань. Саркома богата клеточными элементами при незначительном количестве межуточного вещества, содержащего множество тонкостенных кровеносных сосудов. Быстрый рост опухоли связан с обильным кровоснабжением опухоли. Тонкостенные сосуды часто разрываются, дают кровоизлияния, внутри опухоли возникают очаги некроза, сопровождающиеся образованием полостей.

Саркома — рак молодых. Очень часто это заболевание диагностируется у подростков и детей старшего возраста. Как правило, она не болезненна на первых порах и длительное время не доставляют особых неудобств больному. Нередко первыми симптомами, с которыми обращаются больные, являются общая слабость, потеря веса, утомляемость — признаки раковой интоксикации.

Болезнь различают по степени злокачественности. Малонекротизированные опухоли из высокодифференцированных клеток с низкой митотической активностью растут медленнее, прогноз при их лечении благоприятнее. Прогноз также часто зависит от происхождения заболевания, его расположения (чаще всего в нижних конечностях, но может развиться и в верхних, в туловище, брюшной полости, шее) и скорости роста.

Саркомы — не самые распространенные онкологические заболевания, хорошо поддающиеся лечению, но в то же время именно эти опухоли особо склонны к рецидиву и метастазированию в жизненно важные органы (легкие, печень).

Если посчастливилось обнаружить болезнь на ранней стадии, то ее удаляют хирургическим путем. В случае удачного расположения удаленной опухоли сохраняются все функции организма и лечение не ведет к инвалидности. Однако очень часто после удаления опухоли отмечается злокачественный рост в легких. Метастазы также удаляют, но пятилетняя выживаемость при таком течении болезни составляет не более 20%.

Для снижения количества рецидивов в комплексном лечении обязательно применяют курсы лучевой и химиотерапии.

 

 

 

Задание

Цель работы: построить модель лечения солидной саркомы в программе MATLAB7; найти время жизни существа после лечения, ориентируясь на время жизни объекта до лечения.

Основные задачи: найти функцию с минимальным СКО исходя из заданного графика(Рис.1);  найти минимальные значения параметров a и b итоговой функции; вычислить запас жизненых сил объекта; включить в программу дозовую зависимость жизни объекта.

Рис. 1.  Экспериментальная кривая роста солидной саркомы

Заданные  экспериментальные данные:

V(t), см3	1.5	2	3.5	3.7	4.8	5	7	8	8.2	9.5	13.5	15	15.5	18
t, сутки	6.5	7	9	10	11	12	12.8	14	15.2	17	17.8	20	21	22

 

Дополнительные данные:

D=0.8, где D – водимая доза.

T(ж)=31, где T(ж) – время жизни или количество прожитых дней.

t1=7, где t1 – начало лечения или введение первой дозы.

n=3, где n – общее количество вводимых доз/инъекций.

td=6, где td – промежуток или количество дней между вводимыми дозами.

E=5, где E – эффект при максимально переносимой дозе.

 

3.Аппроксимация данных. Построение модели.

3.1. Выбор функции

Визуальный анализ распределения данных позволяет предположить, что исходные данные можно аппроксимировать экспоненциальной или степенной функцией.

Экспоненциальная функция:

   (2.1)

Степенная функция:

     (2.2)

3.2. Аппроксимация в MATLAB

Нахождение коэффициентов производился в пакете MATLAB 7.0 с помощью функций fminsearch(). (см. приложение) x = fminsearch(fun,x0,options,P1,P2,...) - передает зависимые от задачи параметры P1, P2 и т.д. непосредственно в функцию fun. Осуществляет безусловную минимизацию функций. Если опции не определены, используется опция = [] как структурный ноль.

 

Расчеты в MatLab дали следующие результаты:

 

1. Экспоненциальная функция:

;

0.820 

α = 0.1185

2. Степенная функция:

;

0.075

α =0.029 

β =2.065

Рис. 2. Динамические кривые аппроксимации экспериментальных данных роста опухоли двумя функциями.

3.3 Выбор оптимальной функции

 

Для выбора функции с большей корреляцией с исходными данными, необходимо рассчитать сумму квадратов отклонений (СКО) между исходными точками и аппроксимированными аналитической функцией.

1. Экспоненциальная функция:

СКО1=21.35

при  
0.820

α =0.1185

2. Степенная функция:

СКО2=0.922

при  
0.0755

α =0.028 

β = 2.065

Т.к. СКО2 < СКО1, степенная функция лучше аппроксимирует исходные данные. Следовательно, для дальнейших расчетов используем степенную функцию.

Рис. 3. График изменения СКО при различных значениях объема.

Рис.4. График изменения СКО при различных значениях объема.

4. Регрессионный анализ экспоненциальной функции.

Формула экспоненциальной функции:

.

Приводим ее к линейному виду y=a+b*x, где вместо x выступает t, логарифмируем:

Пусть , тогда:

 

Продифференцируем по a и приравняем к 0, т.е.:

 

Пренебрегаем множителем, раскрываем скобки и выносим а за знак суммирования:

 

Выведем формулу для a:

       (1)

Произведем численный расчет a. Для этого составим таблицу необходимых значений, учитывая, что   - значения размеров опухоли, равных  Взятое число точек m=14.

V(t)	1.35	1.8	2.25	2.7	4.1	4.45	7.3	7.7	8.2	9.1	11.8	15	15.4	18.2
t	6	7	9	10	11	12	13	14	15	17	18	19	21	22
	-0.02	0.27	0.49	0.67	1.17	1.66	1.72	1.78	1.88	2.14	2.38	2.32	2.41	2.58
	-0.12	1.89	4.41	6.7	11.99	14.04	21.58	24.08	26.7	31.96	38.52	45.22	50.6	56.76

 

Из таблицы получаем:

;

;

 

Подставим  полученные значения в формулу (1) и получим:

 

 

5. Регрессионный анализ степенной функции.

Формула степенной функции:

;

Действуя  аналогичными методами получаем:

Пусть , тогда:

 

Продифференцируем по a и по b и приравняем к 0, т.е.:

 

Пренебрегаем множителями и раскрываем скобки:

 

Преобразуем эти выражения:

 

 

 

Из полученного выразим a и b:

 

Произведем численный расчет a и b. Для этого составим таблицу необходимых значений, учитывая, что   - значения размеров опухоли, равных  Взятое число точек m=14.

 

V(t)	1.35	1.8	2.25	2.7	4.1	4.55	7.3	7.7	8.2	9.1	11.8	15	15.4	18.2
t	6	7	9	10	11	12	13	14	15	17	18	19	21	22
	0.3	0.587	0.81	0.99	1.41	1.492	1.945	2.079	2.104	2.2	2.468	2.708	2.74	2.89
ln	1.791	1.945	2.197	2.302	2.394	2.484	2.549	2.639	2.721	2.833	2.879	2.995	3.044	3.091
ln	3.2	3.783	4.826	5.299	5.745	6.17	6.497	6.964	7.403	8.025	8.288	8.97	9.265	9.554

 

Из таблицы получаем:

;

;

;

;

Подставим полученные значения в (2) и (3):

 

Исходя из произведенных расчетов можно утверждать, что расчетное значение коэффициента а для степенной функции приближенно равно значению, найденному с помощью составленной программы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Расчет запаса жизненных сил. Время жизни после лечения.

Геометрический смысл переменой – площадь под выбранной кривой. Следовательно, расчет запаса жизненных сил производится по формуле:

При подстановке значений в нашу программу получаем:

Далее находим эффект вводимой инъекции в зависимости от максимально допустимой дозы (МДП).

, где

Отсюда:

E(D)= D*E=4

Рис. 5. – График дозовой зависимости

 

 

 

Учитывая эффект от дозы, можно найти время жизни организма после лечения:

- временные интервалы,

 запас жизненных сил на  заданном интервале, площади под  кривыми зависимости от доз.  Стоит отметить, что сумма  численно должна быть равна . Исходя из этого вычисляем жизненные силы на каждом интервале для степенной функции.

Запас жизненных сил величина постоянная и не зависит от производимой терапии, расчёт времени жизни после лечения будет производиться по следующей формуле:

 

После подстановки данных получен следующий результат:

T(ж)= 44,6.

 

 

Рис. 6. Кривые роста опухоли до и после лечения (при многократном введении дозы n=3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Проанализировав исходные данные и сделав определенные расчеты времени жизни при однократном введении максимально переносимой дозы и при многократном введении (n=5) дозы D=0.8 МПД с интервалом t=6 суток, я пришел к выводу, что проведение длительного лечения эффективнее, следовательно, продолжительность жизни организма увеличивается в данном случае на 10 суток.

На основании исходных данных и расчетов СКО можно сделать вывод, что развитие опухоли лучше всего аппроксимирует степенная функция.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Бабушкина Н.А. Математическое  моделирование как метод изучение  функционирования организма. М.:МИРЭА, 1995. -63с.

2. Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. – М: Эдиториал УРСС, 2006, 435 c.

3. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной  регрессионный анализ. Множественная  регрессия. Изд.2, перераб. и доп. –М.: Диалектика, 2007, 212 с.