Математическая модель организации рекламной кампании

(6), 
, 
.

Поскольку в данном случае в исходной формуле используется 2 коэффициента, то для их определения необходимо найти уже не 1, а 2 точки зависимости f(E_A), а затем решить нелинейную систему 2-х уравнений:

, откуда можно найти коэффициенты k и E_A0:

, .

Например, маркетологи  фирмы определили, что при затратах на рекламу 5 тыс. долл. (E_A1=5) охват целевой аудитории составит 16% (f₁=0.16), а при затратах 25 тыс. долл. (E_A2=25) - 88% (f₂=0.88). Подставив эти значения, получим значения коэффициентов E_A0=4.32, k=1.21. Из формулы (6) находится оптимальное значение величины рекламного бюджета E_Aopt = 8.34 тыс. долл. Оптимальный охват целевой аудитории составит при этом f=0.55 (55%).

В оригинале этого  метода для характеристики затрат на рекламу используется некая промежуточная  величина общих рейтинговых единиц GRPs (Gross Rating Points). Чисто математически это не оправдано, поскольку между затратами на рекламу и количеством GRPs в методе устанавливается достаточно однозначное соответствие.

Теперь необходимо отметить, что функция f(E_A), аппроксимирующая зависимость величины охвата целевой аудитории от величины рекламного бюджета, может иметь и другой вид. Например, эту зависимость можно аппроксимировать функцией . Здесь так же, как и в формуле (5), f стремится к 1 при E_A стремящемся к бесконечности. Значения коэффициентов k и E_A0 аналогично находятся решением системы уравнений. Значение же E_Aopt в данном случае нельзя найти аналитически, что не мешает найти это значение методом подстановки. Для тех же значений f₁, f₂ и E_A1, E_A2 значение E_Aopt=10.39 тыс. долл. для данного вида аппроксимирующей функции. Оптимальный охват целевой аудитории составит при этом f=0.46 (46%).

Главная методологическая ошибка данного метода состоит, пожалуй, в том, что в качестве критерия принятия решения выступает максимум отношения величин охвата целевой аудитории и затрат на рекламу. Фактически это отношение эквивалентно рентабельности вложений в рекламу:

, где I - прибыль, обусловленная вложениями в рекламу E_A, с учетом этих затрат.

Пусть, например, рекламный  модуль в каком-либо издании стоит 5000 тенге, а прибыль, принесенная  этим рекламным модулем, составит 2500 тенге. Допустим, теперь, что модуль в 2 раза больший по площади стоит 10000 тенге., а прибыли он принесет 4000 тенге. Тогда рентабельность 1-го модуля составит 2500/5000=0.5 (50%), а рентабельность 2-го модуля составит 4000/10000=0.4 (40%). Если следовать критерию оптимальности, принятому в методе Данахера-Руста, нужно выбрать модуль, меньший по площади. Однако на самом деле все зависит от рентабельности альтернативных вложений. Ведь маленький модуль стоит тысячу рублей. А как можно использовать вторую тысячу рублей? Если рентабельность альтернативных вложений второй тысячи рублей составит величину меньшую 0.3 (<30%), тогда общая прибыль при вложении двух тысяч рублей будет меньше, чем при взятии большего по площади модуля. Например, рекламный модуль в другом издании будет стоить также 1000 руб., однако он принесет 200 руб. прибыли. Тогда общая прибыль составит 500+200=700 руб., что меньше 800 руб., которые получит фирма, если возьмет больший по величине модуль в первом издании.

Из приведенных выше рассуждений можно сделать следующий вывод. Если рекламные вложения самые рентабельные, то рекламный бюджет должен быть не ниже оптимальной величины по методу Данахера-Руста. Далее все зависит от величины альтернативных вложений. Чем менее они рентабельны по сравнению с рентабельностью рекламных вложений, тем больше должна быть величина рекламного бюджета относительно оптимальной величины по методу Данахера-Руста.

 

Глава 3 Простейшая математическая модель.

 

Фирма начинает рекламировать, новый товар или услугу. Разумеется, что прибыль от будущих продаж должна с лихвой покрывать издержки на дорогостоящую кампанию. Ясно, что вначале расходы могут превышать прибыль, поскольку лишь малая часть потенциальных покупателей будет информирована о новинке. Затем, при увеличении числа продаж, уже возможно рассчитывать на заметную прибыль, и, наконец, наступит момент, когда рынок насытится, и рекламировать товар далее не станет бессмысленно.

Модель рекламной кампании основывается на следующих основных предложениях. Считается, что величина dN/dt – скорость изменения со временем числа потребителей, узнавших о товаре и готовых купить его    (t-время, прошедшее с начала рекламной кампании, N(t) -число уже информированных клиентов).- пропорциональна числу покупателей, еще не знающих о нем, т.е. величине a₁ (t)(N₀ – N(t)), где N₀ – общее число платежеспособных потенциальных покупателей, a₁ (t)>0 характеризует интенсивность рекламной кампании (фактически определяемую затратами на рекламу в данный момент времени). Предполагается также, что узнавшие о товаре потребители тем или иным образом распространяют полученную информацию среди неосведомленных, выступая как бы дополнительными рекламными «агентами» фирмы. Их вклад равен величине a₁ (t)(N₀ – N(t)) и тем больше, чем больше число агентов. Величина a₂ (t)>0 характеризует степень общения покупателей между собой (она может быть установлена, например, с помощью опросов).

В итоге получаем уравнение

 

dN/dt=[a₁ (t)+ a₂ (t) N(t)](N₀-N).    (1)

 

При a₁ (t)>> a₂ N(t) из (1) получается модель типа модели Мальтуса, при противоположном неравенстве – уравнение логической кривой

 

dN/dt=N(N₀ – N), dt=a₂ (t)dt.

 

решением этого уравнения  является выражение

 

N(t)= N_p N(0) e^at  / (N_p N(0)(1- e^at  ) ).

 

Полученная аналогия вполне понятна, так как при построении данной модели и модели роста численности популяции использовалась одна и та же идея «насыщения»: скорость роста со временем какой-либо величины пропорциональна произведению текущего значения этой величины N(t) на разность N₀ –N(t) между ее равновесным (популяция) либо предельным (покупатели) и текущими значениями.

Аналогия между обоими процессами заканчивается, если в какой  то момент времени величина a₁   + a₂N становится нулевой или даже отрицательной (для этого необходимо, чтобы один или оба коэффициента a₁ (t),  a₂ (t) стали отрицательными). Подобный негативный эффект довольно часто встречается в рекламных кампаниях различного рода и должен побудить их организаторов либо изменить характер рекламы, либо вовсе отказаться от дальнейшей пропаганды. Мероприятия по увеличению популяции товара могут, в зависимости от значении величин a₁ (t), a₂ (t),

N(t), направляться на улучшение результатов как прямой (параметр a₁ ), так и косвенной(параметр a₂ ) рекламы.

Модель (1) лишена очевидного недостатка, присущего логическому  уравнению. Действительно, оно не имеет решений, обращающих в нуль в конечный момент времени (N(t)®0 t®-¥). Применительно к рекламе это означало бы, что часть покупателей еще до начала кампании уже знают о новом товаре. Если же рассмотреть  модель(1) в окрестности точки  
N(t=0) =  N(0) = 0 (t=0 – момент начала кампании), считая, что N<<N₀,      a₂ (t)N<<a₁ (t), то уравнение(1) принимает вид

 

dN/dt =  a₁ (t) N₀

 

и имеет решение

N(t) = N_{0    0} ò^t a₁ (t) dt,    (2)

 

Удовлетворяющее естественному  начальному условию при t=0.

Из (2) относительно легко  вывести соотношение между рекламными издержками и прибылью в самом  начале кампании. Обозначим через p величину прибыли от единичной продажи, какой бы она была без затрат на рекламу. Считаем для простоты, что каждый покупатель приобретает лишь одну единицу товара. Коэффициент  a₁ (t) по своему смыслу – число равнозначных рекламных действий в единицу времени (например, расклейка одинаковых афиш). Через s обозначим стоимость элементарного акта рекламы. Тогда суммарная прибыль есть

 

P = pN(t) = pN_{0    0} ò^t a₁ (t) dt,     (3)

 

А произведенные затраты

 

S = s  ₀ ò^t a₁ (t) dt.

 

Прибыль превосходит  издержки при условии pN₀ > s, и если реклама действенна и недорога, а рынок недостаточно емок, то выигрыш достигается с первых же моментов кампании (в реальности между оплатой рекламы, рекламным действием и последующей покупкой имеет место так называемый лаг – временная задержка, которая может быть учтена в более полных моделях). При не слишком эффективной или дорогой рекламе фирма на первых шагах несет убытки. Однако это обстоятельство, вообще говоря, не может служить основанием для прекращения рекламы. Действительно, выражение (3) и полученное с его помощью условие pN₀>s справедливы лишь при малых значениях N(t), когда функции P и S растут со временем по одинаковым законам. При увеличении N(t) отброшенные в (1) члены становятся заметными, в частности усиливается действие косвенной рекламы. Поэтому функция N(t) может стать более «быстрой» функцией времени, чем в формуле (3). Этот нелинейный эффект в изменении величины N(t) при неизменном темпе роста издержек дает возможность скомпенсировать финансовую неудачу начальной стадии кампании.

Поясним данное утверждение  в частном случае уравнение (1) с  постоянным коэффициентом a₁ ,a₂ . Заменой

N^’ = a₁ /a₂ + N

Оно сводится к логическому  уравнению

 

dN^’/dt = a₂ N^’(N^’₀ – N^’),    N^’₀ = a₁ /a₂ + N₀   (4)

 

имеющему решение

 

N^’(t) = [1+(N^’₀ a₂ /a₁ – 1) e ^{-N’0 a2 t} ]^-1            (5)

 

При этом N^’ (0) = a₁ /a₂ , так как N (0) = 0, и начальное условие выполняется. Из (4) видно, что производная функции N^’(t) и, следовательно, функции N(t) может при t>0 быть больше ее начального значения (при условиях N^’₀ > 2a₁ /a₂ или N₀ > a₁ /a₂). Максимум производной достигается при N^’ = N^’₀ /2, N^’ = (a₁ /a₂ + N₀)/2:

(dN^’/dt)_m = (dN/dt)_m = a₂ N^’₀² = a₂(a₁ /a₂ + N₀)² /4.

 

В этот период для текущей, т.е. получаемой в единицу времени  прибыли имеем

P_m = p*dN/dt = pa₂ (a₁ /a₂ + N₀)² /4.

 

Вычитая из P_m начальную текущую прибыль, получаем

 

P_m- P₀ = p(a₁ /Öa₂ - Öa₂N₀)² / 4,

 

Т.е. разница между  начальной и максимальной текущей  прибылью может быть весьма значительной. Суммарный экономический эффект от кампании (его необходимым условием является, очевидно, выполнение неравенства   P_m = p(a₁ /Öa₂ - Öa₂N₀)² / 4 >a₁ s) определяется всем ее доходом , характеристики которого вычисляются из (4), (5) с помощью квадратуры.

Как следует из (4), начиная  с некоторого момента, продолжать рекламу  становится невыгодно. Действительно, при N^’(t), близких к N^’₀ , уравнение (4) записывается в виде

dN^’/dt = a₂ N^’₀(N^’₀ – N^’).      (6)

Его решение стремится  при t®0 к предельному значению N^’₀ (а функция  N(t) – к N₀) по медленному экспоненциальному закону. В единицу времени появляется ничтожное малое число новых покупателей, и поступающая прибыль при любых условиях не может покрыть продолжающихся издержек.

Аналогичные характеристики вычисляются для уравнения (1) и  различных его обобщений, широко используемых также для описания внедрения технологических и  иных новшеств.

По функции (5) попробуем построить график зависимости экономического эффекта от коэффициентов a₁  и a_2. 

 

 

 

 

На первом графике  мы брали

a₁  и a₂ равными единице (=1).

График 1

На втором графике a₁ =2, а a₂=1.

Мы можем  заметить, что в первое

время график быстро возрастает,

 но последующее время он идет

по-горизонтали.

График 2

Третьи график постоянно  возрастает, но медленно (здесь не наблюдается  такого резкого скачка,  как во втором графике).

 

 

 

График 3    

Исследуя эти 3 графика  становится явным то, что в самом  начале рекламной кампании ее эффективность определяется значением прямой рекламы, а последующее время - действием косвенной рекламы.

 

Заключение

При написании данной работы, мы убедились в правильности нашей гипотезы: эффективность рекламной  кампании напрямую зависит от ее интенсивности (фактически определяемую затратами на рекламу в данный момент времени), и конечно, степенью общения покупателей между собой     (она может быть установлена, например, с помощью опросов). Графики, построенные нами, полностью характеризует эту зависимость.     Конечно, не стоит просто вкладывать большие деньги на рекламу и ждать когда придет клиент, надо убедиться в ее качестве, ведь реклама – это такое сильное средство, которое может помочь продвижению даже самого неконтурентноспособного товара.

 

Литература:

1. Самарский А.А., Михайлов  А.П.  Математическое моделирование.  М.:Наука. Физматлит. Москва 1997.

2. Краснощеков П.С., петров  А.А. Принципы построения моделей.  – М.:Изд-во МГУ, 1983.

3. Дж. Эндрюс, Р.Мак-Лоун. Математическое моделирование. Пер.с англ. – М.:Мир, 1979.

4. Петров А.А., Поспелов  И.Г., Шананин А.А. Опыт математического  моделирования экономики. - М.:Энергоиздат,1996.

5.Самарский А.А. Математическое  моделирование и вычислительный  эксперимент. Вестник АН СССР.-1979.

6. Комзолов А.А., Максимов А.К., Миловидов К.Н. «Финансово-математические модели» изд. «РГУНГ им .И.М. Губкина» 1997.

7.Батра Р., Маейрс Дж., Аакер Д.А. Рекламнвй менеджмент. М.:СПб.,Киев,1999.

8. Энджел Дж.Ф., Блэкуэлл Р.Д., Миниард  П.У. Поведение потребителей. М.:СПб., Киев.,1999.