Регрессионный анализ

Для проведения регрессионного анализа был выбран рынок жилья. В таблице представлены средние  цены на вторичном рынке жилья  по РФ (табл. 1).

Вторичное жилье – это совокупность квартир, находящихся в чьей-либо собственности. Собственность может быть как частная, так и государственная (муниципальная).

Таблица 1

Средние цены на вторичном  рынке жилья по Российской Федерации

на конец периода; рублей за 1 кв. метр общей площади

	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012
Все квартиры	6590	9072	11557	13967	17931	22166	36615	47206	56495	52895	59998	48243	56370
В том числе:
Квартиры низкого качества	5483	7152	9183	12004	15457	19247	32961	40589	50010	48439	54203	42368	48102
Квартиры среднего качества (типовые)	6422	8789	11254	13659	17911	21916	36198	44630	53752	48940	56762	44002	51279
Квартиры улучшенного  качества	7422	9927	12467	14720	18929	23486	38616	48383	57506	53956	60814	50858	60847
Элитные квартиры	12009	15476	16663	22906	30405	34995	67979	71549	83207	88140	105302	73168	84525

 

Регрессионный анализ будет  проводиться на примере типовых  квартир. Как видно по рис. 1 с 2000 – 2008 гг. средние цены на данный вид  жилья растут, возрастающая тенденция. С 2008 по 2012 год идет тенденция на убывание.

Рис. 1. Средние цены на типовые  квартиры

Для расчета параметров регрессии  построим расчетную таблицу (табл. 2)

 

 

Таблица 2

Параметры регрессии

Время	t	P	(t - )	(P - )			(t - )* (P - )
Год	2008	53752	-2	2805	4	7868025	-5610
	2009	48940	-1	-2007	1	4028049	2007
	2010	56762	0	5815	0	33814225	0
	2011	44002	1	-6945	1	48233025	-6945
	2012	51279	2	332	4	110224	664
Сумма, ∑	10050	254735	0	0	10	94053548	-9884
Среднее, ,	2010	50947	0	0	2	18810710	-1976,8

 

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε. Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Так как отклонения ε_i  для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β

2) Оценками параметров  α и β регрессионной модели  являются соответственно величины  а и b, которые носят случайный  характер, т.к. соответствуют случайной выборке.

Тогда оценочное уравнение  регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α  и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов  дает наилучшие (состоятельные, эффективные  и несмещенные) оценки параметров уравнения  регрессии.

Формально критерий МНК можно  записать так:

S = ∑(y - )² → min

Система нормальных уравнений.

a*n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y*x

Для наших данных система  уравнений имеет вид 

5a + 10050 b = 254735

10050 a + 20200510 b  = 512007466

Из первого уравнения  выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -988.4, a = 2037631

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = -988.4 x + 2037631

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициентам уравнения  линейной регрессии можно придать  экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = -988.4 показывает среднее изменение результативного  показателя (в единицах измерения  у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением  на 1 единицу y понижается в среднем  на -988.4.

Коэффициент a = 2037631 формально  показывает прогнозируемый уровень  у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к  неверным результатам, и даже если линия  регрессии довольно точно описывает  значения наблюдаемой выборки, нет  гарантий, что также будет при  экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение  регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь обратная.

 

Качество уравнения регрессии можно оценить с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

 

Ошибка аппроксимации  в пределах 5%-7% свидетельствует о  хорошем подборе уравнения регрессии  к исходным данным.

 

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом  детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.

Чаще всего, давая интерпретацию  коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R²= (-0.32)² = 0.1039

т.е. в 10.39 % случаев изменения  х приводят к изменению y. Другими  словами - точность подбора уравнения  регрессии - низкая. Остальные 89.61 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными  в модели.

Прогноз на следующий год: у = -988,4 * 2013 + 2 037631 = 47 981,8 руб. за 1 кв. метр.

По полученным результатам  можно сказать, что средние цены на вторичном рынке жилья для  квартир среднего качества по сравнению с 2012 годом снизятся на 3 297,2 руб. за 1 кв. метр.