Задачи оптимизаци

7. Определяют координаты  точки максимума (минимума) функции  и вычисляют значение целевой  функции в этой точке.

Пример 1. Два больших  войсковых соединения и   к новому месту дислокации перевозятся по железной дороге. Для их погрузки выделяются три станции , с различными возможностями. Перевозка соединений осуществляется с соблюдением следующих ограничений:

1. Количество перевозимых  частей в соединении  равно 6, а в –9.

2. Каждая станция может принять определенное количество частей: .

3. На погрузку одной  части станции затрачивают различное  время (в сутках), которое указано  в таблице.

Соединения	Станция погрузки
	3,0 4,5	4,0 6,5	2,5 3,5

Определить оптимальный  вариант распределения частей по станциям погрузки, исходя из минимума суммарных затрат времени на погрузку.

 

 

Решение.

Решение штабов соединений состоит в распределении частей по станциям погрузки. Обозначим через   число частей i-го соединения (i =1,2) на j-ой станции (j=1, 2, 3).

Мы можем записать:

    

количество частей соединений на станциях погрузки  соответственно.

 - количество частей соединения   на местах погрузки.

 - количество частей соединения   на местах погрузки.

Общая сумма затрат времени (в сутках) на погрузку есть

В этой задаче 6 переменных, но мы можем свести к двум.

Пусть 

Тогда 

Целевая функция имеет  вид

Итак, надо найти   при ограничениях:

которая решается графически

Возьмем прямую   и начнем строить параллельные ей в направлении антиградиента, где  .

 

 

Последняя вершина многоугольника решений есть точка С, получаемая пересечением прямых (1) и (4). Решая, получим  С (1;5).

     Итак, оптимальные значения будут следующими:  , а общие затраты времени (суток).

 
                             3 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ

Пусть дана целевая функция  .

Для нахождения наибольшего  и наименьшего значения функции и (одной) вещественных переменных надо найти критические точки, в которых частные производные (производная) функции f по всем переменным обращается в 0. Кроме того, надо исследовать точки границы, если она принадлежит области определения. Среди них выбрать значения, где f принимает наибольшее и наименьшее значение.

Пример 2. Определить оптимальный  по времени маршрут выдвижения танкового  подразделения из пункта А в пункт F, если допустимая скорость движения танков до дороги  , по дороге , за дорогой  . Удаление от дороге пункта А равно , пункта F  . Расстояние между точками В и Е равно L = 90 км.

Составим математическую модель, то есть найдем функцию цели. Нас интересует время. Время выдвижения из пункта А в пункт F.

ВС = х км; DE = y км; АС = 

CD = L – x – y; DF =   

Составим функцию цели, которая зависит от двух переменных

Найдем критические  точки

При данных условиях 

Найдем значение t при  полученных x и y

При вычислении значения t на границе, значения получаются больше, чем 4,24 часа. Следовательно, оптимальное решение будет при

х = 6,9 км, у = 24 км, .

 

 

 

 

                                                 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной  структуры производства, управления войсками, углублением общественного  разделения труда, предъявлением высоких  требований к методам планирования хозяйственного и военного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству хозяйственной жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства. Научного подхода требует и решение тактических и стратегических задач, руководство военными операциями.

В настоящее время  новейшие достижения математики и современной  вычислительной техники находят  все более широкое применение как в экономических исследованиях  и планировании, так и в решении  военных тактических задач. Этому способствует развитие таких разделов математики как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники. Уже накоплен большой опыт постановки и решения экономических и тактических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального управления. Ярким примером применения современных математических методов является война Америки с Ираком и «Буря в пустыне». Там быстро развивается экономика и производство, где широко используются математические методы.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                         

                                                            ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А. Н., Костомаров Л. П. Вводные лекции по прикладной математике. М., Наука, 1984.

2. Кудрявцев Е. Н.  Исследования операций в задачах,  алгоритмах и программах. М., Наука, 1982.

3. Кузнецов Ю. Н., Кузубов  В. И., Волощеноко А. В. Математическое  программирование. М., Высшая школа, 1980.

4. Ильин В. А., Позняк  Э. Г. Основы математического  анализа. М., Наука, 1979.