Логические основы построения вычислительных машин

Для описания работы логических элементов используют простую алгебру логики, или булеву алгебру, называемую по имени разработавшего ее математика Д. Буля. В ее основе лежат три основных логических операции:

- логическое отрицание, или  операция НЕ (инверсия);

- логическое сложение, или  операция ИЛИ (дизъюнкция);

- логическое умножение, или  операция И (конъюнкция).

Операция НЕ над переменной X записывается в виде. Операция ИЛИ над двумя переменными X и Y записывается в виде, а операция И – в виде.

Фактически каждая логическая операция задает функцию своих аргументов (переменных). Поэтому можно говорить о функциях дизъюнкции, конъюнкции и инверсии. Число аргументов функции дизъюнкции и конъюнкции может быть произвольным (больше двух). Некоторая логическая функция может быть задана в алгебраической форме или в виде таблицы истинности.

Таблицей истинности называется таблица, содержащая все возможные комбинации значений входных переменных и соответствующие им значения логической функции. Для логической функции n переменных таблица истинности будет содержать 2n строк и n + 1 столбцов.

Логические элементы, реализующие основные логические функции, на принципиальных схемах изображают прямоугольником (основное поле), в верхней части которого указывают символ функции (& или 1). Входы показывают с левой стороны, а выходы – с правой. Инверсия по выходу (входу) обозначается кружком (○) в контуре прямоугольника, изображающего логический элемент.

В табл. 1 приведены примеры условных графических обозначений некоторых логических элементов, булево выражение реализуемой логической функции и их таблицы истинности.

Таблица 1

Обозначения логических элементов и таблицы истинности соответствующих им функций

Из этих узлов, в свою очередь, строятся интегральные микросхемы высокого уровня интеграции: микропроцессоры, модули ОЗУ, контроллеры внешних устройств и др.

Пример 1. Построение таблицы истинности и логической схемы по заданному логическому выражению.

Построим для формулы

таблицу истинности и логическую схему.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 23 = 8. Количество логических операций в формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3 + 5 = 8.

Таблица 1

Таблица истинности для примера 1

Поскольку число логических операций в заданной формуле равно 5, то число элементов на логической схеме также будет 5. Логическая схема для формулы будет иметь вид, показанный на рис. 3.1.

Рис. 1. Логическая схема для примера 3.1

Пример 2. Построение логического выражения и таблицы истинности по заданной логической схеме.

Пусть требуется по заданной логической схеме (рис. 2) составить логическое выражение и заполнить для него таблицу истинности.

Рис. 2. Логическая схема для примера 2

Для заданной схемы логическое выражение будет иметь следующий вид:

Таблица 2

Таблица истинности для примера 2

Список литературы

1. Турчин Д.Е. Информационные  технологии. – Кемерово: КузГТУ, 2012.

2. Кудинов Ю.И., Пащенко  Ф.Ф. Основы современной информатики. – 2-е изд. испр. – М.: Издательство "Лань", 2011.

3. Могилев А.В. Информатика: учеб. пособие для студентов вузов / А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер; под  ред. Е.К. Хеннера – 6-е изд., стер. – М.: Издательский центр "Академия", 2008.

4. Макарова Н.В., Волков  В.Б. Информатика: Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2011.