Степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем

Самостоятельная работа студента 1 курс по теме Степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем (6 часов)

 

ЗАДАНИЕ:

1. Изучить теоретический материал и сделать конспект (2 часа)
2. Разгадать кроссворд (2 часа)
3. Выполнить домашнюю контрольную работу (2 часа)

 

 

Справочный  и дидактический материал представлен  ниже

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О понятии  степени с рациональным показателем

 

Некоторые наиболее часто встречающиеся

Виды  трансцендентных функций, прежде

Всего показательные, открывают доступ ко

Многим  исследованиям.

Л.  Э й л е р

Из практики решения-все более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями  возникла необходимость обобщения  понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.

Равенство а⁰ = 1 (для ) применял в своих трудах в начале XV в. самаркандский ученый ал-Каши. Независимо от него нулевой показатель был введен Н. Шюке в XV в. Последний ввел и отрицательные показатели степени. Идея дробных показателей содержится у французского математика Н. Орема (XIV в.) в его

труде «Алгоризм  пропорций». Вместо нашего знака  он писал , вместо он писал 4. Орем словесно формулирует правила действий со степенями, например (в современной записи): , и т.п.

Позже дробные, как и отрицательные, показатели встречаются в «Полной арифметике» (1544) немецкого математика М. Штифеля  и у С. Стевина. Последний пишет  о том, что корень степени п из числа а можно считать как степень а с дробным показателем .

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и  дробных показателей и современных  символов впервые подробно писал  в 1665 г, английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени  с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения  понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применимы те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени, а именно:

 

 

 

 

Новое определение  степени с рациональным показателем  не противоречит старому определению  степени с натуральным показателем, т. е. смысл нового определения степени  с рациональным показателем сохраняется  и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В несовершенной форме его высказал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г. Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятии числа и расширении его до понятия действительного числа, а до этого — при введении понятия умножения на дробь и т. п.

 

Степенная функция и графическое решение уравнений и неравенств

 

Благодаря открытию метода координат и аналитической  геометрии начинай с XVII в. стало возможным общеприменимое графическое исследование функций и графическое решение уравнений.

Степенной функцией называют функцию вида

,                                                                (1)

 

где α— постоянное вещественное число. Вначале мы ограничимся, однако, лишь рациональными значениями α и вместо равенства (1) запишем:

 ,                                                          (2)

 

где — рациональное число. Для и по определению соответственно имеем:

у =1, у =х.

 

Графиком первой из этих функций на плоскости является прямая, параллельная оси Ох, а второй — биссектриса 1-го и 3-го координатных углов.

При графиком функций является парабола . Декарт, который первое неизвестное обозначал через z, второе — через у, третье — через x:, записывал уравнение параболы так: (z— абсцисса). Параболой он часто пользовался для решения уравнений. Чтобы решить, например, уравнение 4-й степени

                                                  (3)

 

Декарт с  помощью подстановки

                                                             (4)

 

 

получил квадратное уравнение с двумя неизвестными:

                                    (5)

 

изображающее  окружность, расположенную в одной  плоскости (zх) с параболой (4). Таким образом, Декарт, вводя вторую неизвестную (х), разбивает уравнение (3) на два уравнения (4) и (5), каждое из которых представляет определенное геометрическое место точек. Ординаты точек их пересечения и дают корни уравнения (3).

 

 

 

Притча:

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет первым помощником». Никто даже не притронулся к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.

Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку».

И мы сегодня  будем пытаться, пробовать, чтобы  прийти к правильному решению.

1. С каким  математическим понятием связаны слова:

Основание

Показатель (Степень)

Какими словами  можно объединить слова:

Рациональное  число

Целое число

Натуральное число

Иррациональное  число  (Действительное число)

Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

Задачи:

– повторить  свойства степени

– рассмотреть  применение свойств степени при  вычислениях и упрощениях выражений

– отработка  вычислительных навыков.

 Итак, а^р, где р – число действительное.

Приведите примеры (выберете из выражений 5^–2, , 43, ) степени

– с натуральным  показателем

– с целым  показателем

– с рациональным показателем

– с иррациональным показателем 

При каких значениях  а имеет смысл выражение

аⁿ, где n    (а – любое)

а^m, где m   (а не равно 0) Как от степени с отрицательным показателем перейти к степени с положительным показателем?

, где p , q (а > 0)

Какие действия (математические операции) можно выполнять  со степенями?

Установите  соответствие:

При умножении степеней с равными основаниями	Основания умножаются, а показатель остаётся прежним
При делении  степеней с равными основаниями	Основания делятся, а показатель остаётся прежним
При возведении степени в степень	Основание остаётся прежним, а показатели умножаются
При умножении  степеней с равными показателями	Основание остаётся прежним, а показатели вычитаются
При делении  степеней с равными показателями	Основание остаётся прежним, а показатели складываются

 «Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись –  радовать глаз,

Поэзия –  пробуждать чувства,

Философия –  удовлетворять потребности разума,

Инженерное  дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

А математика способна достичь всех этих целей»

– Так сказал американский математик Морис Клайн.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 1

 

 

 

 

Вариант 2

 

 

Домашняя  контрольная работа «Степень с действительным показателем».

Вариант №1 [Вариант №2].

1)Вычислить:

 

2) Упростить  выражение при а

                                ;

3) Сократить  дробь    

 

4) Сравнить числа  _и