Шпаргалка по "Логике"

Это животное полосатое.

Это животное - тигр

4. Все ушастые тюлени – ластоногие.

Все ушастые тюлени - водные млекопитающие

_____________________________________

Все водные млекопитающие  -ластоногие.

 

В третьем умозаключении  обе посылки - истинные сужде­ния, но полученное заключение может быть как ложным, так и истинным потому, что нарушено было одно из правил умозаклю­чения. В четвертом умозаключении обе посылки - истинные суждения, но заключение - ложное, т. к. нарушено правило по­строения умозаключения (в соответствии с правилом, вместо слова “все” должно стоять слово “некоторые”).

Итак, с точки зрения содержания мышление может давать истинное или  ложное отражение мира, а со стороны  формы оно может быть логически  правильным или неправильным. Истинность есть соответствие мысли действительности, а правиль­ность мышления - соблюдение законов и правил логики. Нель­зя отождествлять (смешивать) следующие понятия: “истин­ность” (“истина”) и “правильность”, а также понятия “ложность” (“ложь”) и “неправильность”.

Современная логика - это  интенсивно развивающаяся наука, которая  включает в себя логику формальную и логику диалекти­ческую. На их базе формируется логика научного познания, использующая методы обеих наук для анализа научного знания.

Как уже отмечалось, формальная логика - наука о законах и формах правильного мышления. Формальная логика в определен­ном смысле подобна грамматике. К. Д. Ушинский считал логику грамматикой мышления. Подобно грамматике, придающей языку стройный и четко осмысленный характер, логика обеспе­чивает доказательность и стройность мышления.   

ВОПРОС 7

В мышлении мы оперируем  не только простыми, но и сложны­ми  суждениями, образуемыми из простых  посредством логичес­ких связок (или операций) - конъюнкции, дизъюнкции, имплика­ции, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанали­зируем, каким образом перечисленные логические связки выра­жаются в естественном (русском) языке.

 

Конъюнкция (знак “^”) выражается союзами: “и”, “а”, “но”, “да”, “хотя”, “который”, “зато”, “однако”, “не только..., но и” и др. В логике высказываний знак “U”соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз “и” и дру­гие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять суще­ствительные, глаголы, наречия, прилагательные и иные части речи. Например: “Дети пели и смеялись” (а ^ b) ; “Интересная и кра­сиво оформленная книга лежит на столе”. Последнее высказы­вание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией:

“Интересная книга лежит  на столе” и “Красиво оформленная  книга лежит на столе”, так как  создается впечатление, что на столе  лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует  закон коммутативности конъ­юнкции (а ^ b) = ( b^а). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитыва­ется последовательность во времени, употребление союза “и” некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, та­кие два высказывания: 1) “Джейн вышла замуж, и у нее родился ребенок” и 2) “У Джейн родился ребенок, и она вышла замуж”.

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с за­пятой, тире. Например: “Сверкнула молния, загремел гром, по­шел дождь”.

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в книге “Математическая  логика”. В разделе “Анализ рассуждений” он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены

символами “^” (или “&”). Формула А ^ В в естественном языке может выражаться так                                                                        

“Не только А, но и В                              Как А, так и В.

 

В, хотя и А.                                             А вместе с В.

 

В, несмотря на А                                     А, в то время как В”'.

Придумать примеры на все  эти структуры предоставляем читателю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначен­ная а b и а ? b) выражается союзами: “или”, “либо”, “то ли..., то ли” и др. Например: “Вечером я пойду в кино или в библио­теку”; “Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным”; “Сочинение будет то ли по произведениям Л. Н. Толстого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского”.

В логике высказываний различается  нестрогая дизъюнкция, например: “Я подарю ей цветы или книги” (а  b) и строгая дизъ­юнкция, например: “Данный студент находится в институте или дома” (а ? b). В нестрогой дизъюнкции члены дизъюнкции не исключают друг друга, а в строгой - исключают. Для обоих ви­дов дизъюнкции действует закон коммутативности:

в естественном языке эта  эквивалентность сохраняется. Например, суждение “Я куплю масло или хлеб”  эквивалентно суждению “Я куплю хлеб или масло”.

С. Клини показывает, какими разнообразными способами мо­гут быть выражены в естественном языке импликация (А  В) и эквиваленция (А~В)2. (Буквами А и В обозначены переменные высказывания).

Приведем структуры и  соответствующие им примеры, иллюстрирующие разнообразные способы выражения  имплика­ции А  В (где А - антецедент, а В - консеквент):

1. Если А. то В. Если  пойдет дождь, то экскурсия в лес не состоится.

2. Коль скоро А, то В. Коль скоро приближается буря, то медузы приплывают к берегу моря.

3. В случае А имеет место В.

В случае, когда наступает  инфляция, имеет место снижение жизненного уровня трудящихся.

4. Для В достаточно А.

Для того чтобы металл расплавить, достаточно его нагреть до температуры плавления.

5. Для А необходимо В.

Для сохранения мира на Земле  необходимо увеличить уси­лия всех государств в борьбе за мир.

6. А (материально) влечет  В.

Овладение искусством общения  влечет улучшение межлично­стных отношений.

7. А, только если В.

Ваши коммуникации будут  успешнее, только если вы займете позицию: “У меня все в порядке - у тебя все в порядке”'.

8. В, если А.

Мы поедем отдыхать в санаторий, если у нас будет путевка.

Приведем структуры и  соответствующие им примеры разнооб­разных способов выражения эквиваленции:

1. А, если и только если В.

Посевная пройдет успешно, если и только если вовремя бу­дут отремонтированы сельскохозяйственные машины.

2. Если А, то В, и обратно.

“Если вы твердо уверены, что  ваши аргументы убедительнее, но ваш  коллега, стоящий на той же ступеньке  служебной лестни­цы, не хочет этого замечать, то избегайте призывать на помощь вашего начальника”2, и обратно.

3. А, если В, и В, если А.

Всякое число является четным, если оно делится на 2, и  чи­сло делится на 2, если оно является четным.

4. Для А необходимо и достаточно В. Для того, чтобы число без остатка делилось на 5, необходи­мо и достаточно, чтобы его последняя цифра была 0 или 5.

5. А тогда и только тогда, когда В.

B коллективе возникает  хороший психологический климат  тогда и только тогда, когда  будут однозначно определены  зада­чи, ответственность и компетенция каждого сотрудника'.

Из приведенных выше схем и соответствующих им высказыва­ний с конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколько многогранны в естественном языке (в частности, рус­ском) средства выражения импликации и эквиваленции и других логических связок (логических терминов). Это можно сказать и о других естественных языках2.

 

Импликация (а ® 6) не совсем соответствует по смыслу сою­зу “если..., то” естественного языка, так как в ней может отсутство­вать содержательная связь между суждениями а и b. В логике высказываний законом является формула: (а ® b) = (a  b) Но в естественном языке дело обстоит иначе. Иногда союз “если..., то” выражает не импликацию, а конъюнкцию. Например: “Если вчера было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце”. Это сложное суж­дение выражается формулой а^b.

В логике, кроме логических связок, для выражения общих и  ча­стных суждений используется квантор общности и квантор суще­ствования. Запись с квантором общности хР(x) обычно читает­ся так: “Все х (из некоторой области объектов) обладают свойст­вом Р”, а запись с квантором существования хР(х} читается так: “Существуют такие х (в данной области), которые обладают свойством Р”, Например, х (х > 100) читается так: “Существуют такие х, которые больше 100”, где под х подразумевают числа. В русском языке квантор общности выражается словами: “все”, “вся­кий”, “каждый”, “ни один” и др. Квантор существования выража­ется словами: “некоторые”, “существуют”, “большинство”, “мень­шинство”, “только некоторые”, “иногда”, “тот, который”, “не все”, “многие”, “немало”, “немногие”, “много”, “почти все” и др.

С. Клини пишет о том, что, переводя выражения обычного язы­ка с помощью табличных пропозициональных  связок, мы лишаем­ся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в точности.

Контрфактическими называют условные высказывания, выраженные в сослагательном наклонении. Например: “Если бы на Земле не было кислорода, то жизнь на ней была бы невозмо­жна”; “Если бы водитель не нарушил правила, то авария бы не произошла”. В импликации а®b переменная а является основа­нием (она называется антецедентом). Переменная b - след­ствием (заключением), она называется консеквентам.

Сослагательное наклонение показывает, что антецедент и консеквент в таких высказываниях ложны, т. е. не соответствуют реальному положению дел. Однако, подобно всем другим высказываниям, контрфактическое высказывание в целом мо­жет быть истинным. Оно истинно, если между его антецеден­том и консеквентом имеется связь такого рода, что истинность антецедента влечет истинность консеквента. И ложно, если такой связи нет. Например, высказывание “Если бы сейчас была ночь, то на улице было бы темно” истинно, а высказывание “Если бы сейчас была ночь, то на улице было бы светло” ложно (для несеверных широт, так как на Севере летом бывают белые ночи). Поскольку антецедент и консеквент контрфактического выска­зывания оба ложны, установление их истинности связано с серьезными трудностями.

Контрфактическое высказывание имеет структуру: “Если бы а, то было бы b”. Контрфактические высказывания широко используются в научной практике. Так, например, историки для оценки событий, намерений, мотивов, политических планов и т. п. часто употребляют контрфактические предложения, говорящие, то могло бы быть, если бы дело обстояло не так, как это произошло в действительности. Контрфактичесиое предложение, изъявительные формы антецедента и консеквента которого обозначены соответственно через а и b, принято записывать как а a b.

Примером сложного контрфактического высказывания является следующее истинное высказывание: “Последствия стихии могли быть тяжелее, если бы не мужество и сплоченность людей, четкая организация спасательных работ, неукоснительное выполнение всеми порученного дела”. Чтобы записать формулу этого сложного контрфактического высказывания, надо его сначала привести к четкой логической форме. Она такая: “Если бы не было мужества и сплоченности людей, четкой организации спасательных работ, неукоснительного выполнения всеми пору­ченного дела, то последствия стихии могли бы быть тяжелее”. формула этого контрфактического высказывания такая:

(а^b^с^d) →е.

Здесь а обозначает высказывание “Мужество людей отсутст­вовало”, b - высказывание “Сплоченность людей отсутствова­ла”, с - “Четкая организация работ отсутствовал”, d- “Неукос­нительное выполнение всеми порученного дела отсутствовало”. Все четыре высказывания соединены знаками конъюнкции. Знак “a ” обозначает импликацию в контрфактическом высказыва­нии, соответствующую союзу “если бы..., то было бы”. Буква е обозначает высказывание “Последствия стихии оказались тяже­лее”. Следует заметить, что знак “a” отсутствует в класси­ческой логике высказываний.

Контрфактические высказывания довольно часто встреча­ются не только в научной, но и в художественной литературе -как в прозе, так и в поэзии.

 

В практике математических и иных рассуждений имеются понятия  “необходимое условие” и “достаточное условие”. Ус­ловие называется необходимым, если оно вытекает из заклю­чения (следствия). Условие называется достаточным, если; .из него вытекает заключение (следствие). Ниже предлагаются задачи, требующие в каждом из следующих предложений вме­сто многоточия поставить слова: “необходимо”, “достаточно” или “необходимо и достаточно”.

1. Для того чтобы сумма  двух целых чисел была четным  числом ... чтобы каждое слагаемое было четным.

2. Для того чтобы число  делилось на 15 ... чтобы оно дели­лось на 5.

3. Для того чтобы произведение (х-3)*(х+2)*(х-5) было равно 0,... чтобы  х = 3.

4. Для того чтобы четырехугольник  был прямоугольником ... чтобы  все его углы были равны.

ВОПРОС 8,9

Логика высказываний (или пропозициональная логика от англ. propositional logic, или исчисление высказываний — это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка.

Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой  и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений

Основные понятия Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, и (пропозициональная) формула, определяемой индуктивно следующим образом:

Если P — пропозициональная  переменная, то P — формула.

Если A — формула, то A —  формула.

Если A и B — формулы, то (A \to B), (A \wedge B) и (A \vee B) — формулы.

Других формул нет.

Множество пропозиционных формул называется языком логики высказываний (англ. propositional language, PL).

Знаки (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками. Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.

Правила построения формул логики высказываний[править | править исходный текст]

 

Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня. Если элементарное логическое высказывание всегда верно, мы будем его обозначать буквой И, а если оно всегда неверно, — буквой Л. Тогда формулы первого уровня — это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка.

Пусть Ф1 и Ф2 — формулы ненулевого уровня. Тогда записи (¬(Ф1)), ((Ф1)\vee(Ф2)), ((Ф1)\wedge(Ф2)), ((Ф1)→(Ф2)) также являются формулами. Если же одна из формул Ф1 и Ф2 , к которым применяется логическая связка, имеет нулевой уровень, то она в скобки не заключается.