Многозначная логика

Реферат на тему:

 

Многозначная логика

 

 

 

План:

 

Введение

• 1 Трёхзначные логики

• 2 Четырёхзначные логики

• 3 Конечнозначные логики

• 4 Бесконечнозначные логики

• 5 Теория вероятностей и многозначные логики Литература

 

 

Введение

 

Многозна́чная ло́гика â€” тип формальной логики, характерный наличием более чем двух возможных истинностных значений (истинности и ложности). Первую систему многозначной логики предложил польский математик Ян Лукасевич в 1920 году. В настоящее время существует очень много других систем многозначной логики, которые в свою очередь могут быть сгруппированы по классам. Важнейшими из таких классов являются частичные логики и нечёткие логики.

 

 

1. Трёхзначные логики

 

Трёхзначная логика была исторически первой многозначной логикой, и является простейшим расширением двузначной логики. Перечень истинностных значений трёхзначной логики помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое как правило трактуется как «неопределено», «неизвестно» или «ошибочно». В последнем случае логику обычно называют частичной.

 

В трёхзначной логике естественно не соблюдается закон исключённого третьего. Вместе с тем, важным свойством трёхзначных логик, отражающим их адекватность, является то, что все они представляют собой расширения классической двузначной логики. То есть, в предположении, что интерпретируемые символы не принимают третьего истинностного значения, семантика формул в трёхзначной логике такая же, как и в двузначной.

 

 

2. Четырёхзначные логики

 

Логика ложности FL4.^[1]

Паранепротиворечивая логика.^[2]

 

3. Конечнозначные логики

 

Конечнозначные логики (другое название â€” 'k'-значные) являются обобщением двузначной логики в том, что функция в ней может принимать не два значения (0 и 1), а значения от 0 до k−1. Существенным отличием 'k'-значной логики от двузначной является тот факт, что на данный момент не существует полного описания замкнутых классов при k>2. В двузначной логике напротив существует полное описание системы замкнутых классов, предложенное Эмилем Постом в 1940 Ð³Ð¾Ð´Ñƒ.

 

Существуют следующие переобозначения для функций конъюнкции и дизъюнкции:

 

• A∧B = min(A,B)

• A∨B = max(A,B)

 

 

4. Бесконечнозначные логики

 

Бесконечнозначную логику можно ввести следующим образом:

 

• Ð¸ÑÑ‚инностное значение находится в отрезке действительных чисел от 0 до 1;

• Ð¾Ñ‚рицание определяется как: ¬A = 1−A;

• ÐºÐ¾Ð½ÑŠÑŽÐ½ÐºÑ†Ð¸Ñ определяется как: A∧B = min(A, B);

• Ð´Ð¸Ð·ÑŠÑŽÐ½ÐºÑ†Ð¸Ñ определяется как: A∨B = max(A, B).

 

К формальным системам бесконечнозначной логики могут быть отнесены системы R-функций В. Ð›. Ð Ð²Ð°Ñ‡ÐµÐ²Ð°^[3].

 

 

5. Теория вероятностей и многозначные логики

 

Может показаться, что теория вероятностей очень похожа на бесконечнозначную логику: вероятность соответствует истинностному значению (1=истина, 0=ложь), вероятность ненаступления какого-либо события соответствует отрицанию, вероятность одновременного наступления двух событий соответствует конъюнкции, а вероятность наступления хотя бы одного из двух событий соответствует дизъюнкции.

 

Однако между многозначными логиками и теорией вероятностей есть принципиальное различие: в логиках истинностное значение любой функции целиком определяется истинностным значением её аргументов, в то время как в теории вероятностей вероятность составного события зависит не только от вероятностей входящих в него событий-компонентов, но и от их зависимости друг от друга (что выражается через их условные вероятности).

 

Это проявляется, в частности, в том, что в теории вероятностей выполняется эквивалент «закона исключённого третьего»: вероятность того, что {некоторое событие наступит или не наступит}, всегда равна единице, в то время как в многозначных логиках закон исключённого третьего не выполняется.

 

В теории вероятностей выполняется также эквивалент «закона противоречия»: вероятность того, что {некоторое событие одновременно наступит и не наступит}, всегда равна 0, в то время как в многозначных логиках закон противоречия не выполняется.

 

В то же время существует некоторая связь между истинностными значениями вышеописанной бесконечнозначной логики и вероятностями теории вероятностей, а именно:

 

• ÐµÑÐ»Ð¸ a â€” вероятность некоторого события, то вероятность ненаступления этого события составляет 1−a;

• ÐµÑÐ»Ð¸ a и b â€” вероятности некоторых двух событий, то вероятность совместного наступления этих двух событий не превышает min(a, b);

• ÐµÑÐ»Ð¸ a и b â€” вероятности некоторых двух событий, то вероятность наступления хотя бы одного из этих двух событий больше или равна max(a, b).

 

 

Литература

 

• Ð¯Ð±Ð»Ð¾Ð½ÑÐºÐ¸Ð¹ С. В. Введение в дискретную математику. 2-ое изд. М.: Наука, 1986. 384с. Глава 2.

• ÐœÐ½Ð¾Ð³Ð¾Ð·Ð½Ð°Ñ‡Ð½Ñ‹Ðµ логики и их применения: Логические исчисления, алгебры и функциональные свойства. Под ред. Финна В. К. Том 1. М.: УРСС, 2008. 416 с.

• ÐœÐ½Ð¾Ð³Ð¾Ð·Ð½Ð°Ñ‡Ð½Ñ‹Ðµ логики и их применения: Логики в системах искусственного интеллекта. Под ред. Финна В. Ðš. Ð¢Ð¾Ð¼ 2. М.: УРСС, 2008. 240 с.

• ÐšÐ°Ñ€Ð¿ÐµÐ½ÐºÐ¾ А. С. Многозначные логики. Логика и компьютер. Вып. 4. М.: Наука, 1997. 223с.

• ÐšÐ°Ñ€Ð¿ÐµÐ½ÐºÐ¾ А. С. Логики Лукасевича и простые числа. М.: Наука, 2000. 319с.

• Ð¡Ñ‚атьи по многозначным логикам в arxiv.org

• Ð›ÐµÐ²Ð¸Ð½ В. И.Бесконечнозначная логика в задачах кибернетики. М.: Радио и связь, 1982. 176 с.

• Rescher, N. «Many-Valued Logic», Mc.Graw-Hill, New York, 1969.

• Rosser, J. B., Turquette, A. R. «Many-Valued Logics», North Holland, Amsterdam, 1952.