Логіка предикатів

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Східноєвропейський  університет економіки та менеджменту

Канівська філія

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

з дисципліни: «Логіка»

на тему: «Логіка предикатів»

 

 

 

 

        Виконала:

                                      студентка групи ЗМЕ – 91ка

                 Синьоока Т. М.

         Перевірив:

                     старший викладач 

                    Компанієць В. О.

   Оцінка:

 

 

 

Канів 2013

Зміст

Вступ………………………………………………………………………3-4

1. Предикат………………………………………………………………..5-6

2.Логіка предикатів……………………………………………………….7

3.Числення предикатiв…………………………………………………....8-10

4. Відмітні риси логіки предикатів……………………………………....11-13

Список  використаної літератури………………………………………...14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

Ло́гіка (грец. λογιχη від грец. logos — слово, сенс, думка, мова) — наука про  закони і форми мислення, методи пізнання та умови істинності знань  і суджень[1]. Головним об'єктом дослідження  логіки є описові системи мислення, тобто системи які пропонуються як інструкція для людей (а також, можливо інших розумних істот/машин) як слід правильно мислити. При цьому, такі інструкції не слід розглядати як опис того, як люди насправді мислять, що є предметом дослідження інших  дисциплін, наприклад коґнітивної  психології.

У щоденній мові, логіка є способом судження, що полягає в отриманні висновку із набору припущень. Формальніше, логіка стосується виведення — процесу  що продукує нові твердження із вже  встановлених. Саме тому у логіці особлива увага приділяється структурам виводу — конкретніше, формальним відношенням  між вихідними твердженнями та висновками, де «формальний» означає що ці відносини  є незалежними від самих тверджень. Не менш важливим є дослідження істинності виводу, включаючи різноманітні можливі  визначення істинності та передумови що на практиці уможливлюють її встановлення. Таким чином очевидною є важлива  роль що її відіграє логіка у епістемології, забезпечуючи останню механізмом розширення знання.

Побічним  продуктом логіки є рецепти мислення, тобто опис того як люди та інші розумні  істоти/машини/системи повинні мислити. При цьому такі рецепти не є  суттєвими для предмету самої  логіки, але є радше одним із її практичних застосувань. Більш того, вони не повинні розглядатись як опис того як люди насправді мислять, що є предметом дослідження інших  дисциплін, зокрема коґнітивної  психології.

Традиційно  логіка вивчається як галузь філософії. Починаючи із середини вісім сотих років минулого тисячоліття логіка стає предметом дослідження математики, а останнім часом і інформатики. Як наука, логіка досліджує та класифікує структури тверджень та аргументів та розробляє схеми їх кодифікації. Таким чином, предмет дослідження логіки може бути дуже широким, включаючи судження про ймовірність та причинність. Логікою також досліджуються структури логічних хиб та парадокси. Стародавні греки поділяли діалектику на логіку та риторику. Риторика має справу з переконливою аргументацією, що може певною мірою розглядатись як протиставлення логіці.

Предикат

Предикат - в традиційній логіці один з  двох термінів думки, а саме той, в  якому щось мовиться про предмет  мови (суб'єкт). До кінця 19 ст. у логіці суб'єкт думки, як правило, ототожнювався  з граматичним підметом, а предикат - з іменною частиною граматичного присудка, що виражається, наприклад, прикметником, традиційним оглядом. Форма присудка (предикативний зв'язок) зводилася  до атрибутивного зв'язку, означала, що предмету (суб'єктові) властива певна  ознака.

Новий погляд характеризується узагальненням поняття "Предиката" на основі поняття  особливого роду функції - логічної (або  пропозиціональної) функції, значеннями якої служать вислови (або їх істинне  значення - "істина" і "брехня").

Наприклад, вислову "Сократ є людина" в  традиційному розумінні відповідала  схема "S є Р". Якщо S і Р розглядати як змінні, що мають різні області  значень: S - область "індивідуальних предметів", а Р - область "розумінь, напр., при виборі поняття "людина" як значення змінної Р отримаємо  вираз "S є людина", або вираз "... є людина" (де крапки замінюють  букву S), так ще, по суті, функцію  від однієї змінної, яка стає висловом (приймає значення "істина" або "брехню"), коли на місце крапок (або змінній S) ставлять ім'я деякого  суб'єкта (напр., "Сократ"), що грає тут звичайну роль аргументу функції. Аналогічно цьому вираз "... більше, чим..." є функція від двох змінних, а вираз "... знаходиться між... і..." - функція від трьох змінних  і т. п.

В математичній логіці функції, значеннями яких служать  вислови (або їх істинне значення "відмітка" і "брехня"), і називають  предикат. Новий погляд на логічну  структуру думки зводиться до того, що традиційні поняття предиката  і суб'єкта замінюються відповідно на точні математичні поняття  функції і її аргументів.²

 Відповідно  до цього предикат визначаються  на множинах (областях предметів), елементи доелементи яких служать  аргументами, або значеннями відповідних  змінних, нове трактування предикат  додає необхідну спільність логічному  міркуванню, яке об'єднує висновки  не тільки силогізму, але і  несилогізму, а функціональна  форма запису відкриває широкі  можливості для формалізації  висловів будь-якій науковій теорії.

Логіка предикатів

Логіка  предикатів - або: Функціональна логіка, теорія квантифікації, логіка квантора, - основний розділ сучасної (математичної, символічної) логіки, в якому описуються виводи, що враховують внутрішню (суб'єктний-предикативну) структуру висловів. Логіка Предикатів є розширеним варіантом логіки висловів.

У Логіці Предикатів - на додаток до засобів  логіки висловів - вводяться логічні  оператори " ("для всіх") і $ ("для  деяких" або "існує"), звані кванторами спільності і існування відповідно.

Для виявлення  суб’єктно-предикативної структури висловів вводиться нескінченний перелік індивідних змінних: х, у, z..., х1, у1, zl..., що представляють різні об'єкти, і нескінченний перелік предикативних змінних: Р, Q, R..., Р1, Q1, Л1..., представленої властивості і відношення об'єктів.

Індивідні змінні приймають значення в довільній (не порожній) області; разом з цими змінними можуть вводитися індивідні константи, або імена власні. Запис ("х) Р (х) означає "Всякий х володіє властивістю Р"; ($х) Р (х) - "Деякі х володіють властивістю Р"; ($x) Q (xy) - "Існує х, що знаходиться відносно Q з у" і так дальше. Індивідна змінна, що входить в область дії квантора по цій перемінній, називається зв'язаною; змінна, що не є зв'язаною, називається вільною.⁴

Так, у  всіх трьох приведених формулах змінна х зв'язана, в останній формулі  перемінна у вільна. Справжньою змінною  є тільки свобідна змінна: замість  неї можна підставити одне з її значень і отримати осмислений вираз. Зв'язані перемінні називаються фіктивними. Формула логіки предикатів називається загально значною, якщо вона істинна в кожній інтерпретації. Тавтологія логіки висловів являється окремим випадком загально значної формули. У Логіки Предикатів, на відміну від логіки висловів, немає ефективного процесу, дозволяє для довільно узятої формули вирішити, є вона загально значна чи ні.

Числення предикатів

Числення  висловлень, що розглядалось у попередніх розділах, як алгебра висловлень і  як формальна (аксіоматична) теорія, є  важливою і невід’ємною складовою  частиною всіх числень математичної логіки. Однак воно є занадто бідним для опису та аналізу найпростіших логічних міркувань науки і практики.

Однією  з причин цього є те, що у численні висловлень будь-яке просте висловлення  розглядається як вихідний об’єкт дослідження, неподільне ціле, позбавлене частин і внутрішньої структури, яке має лише одну властивість - бути або істинним, або хибним.

Для того, щоб побудувати систему правил, яка  дозволяла б проводити логічні  міркування для виведення нетривіальних  правильних висновків з урахуванням  будови і змісту простих висловлень, пропонується формальна теорія, що дістала назву числення предикатів.

Теорія  предикатів починається з аналізу  граматичної будови простих висловлень і ґрунтується на такому висновку: прості висловлення виражають той  факт, що деякі об’єкти (або окремий  об’єкт) мають певні властивості, або що ці об’єкти знаходяться  між собою у певному відношенні.

Наприклад, в істинному висловленні "3 є  просте число" підмет "3" - це об’єкт, а присудок "є просте число" виражає деяку його властивість.

У латинській граматиці присудок називається  предикатом, звідси цей термін і  увійшов у математичну логіку. Головним для логіки предикатів є  саме друга складова речення-висловлення - присудок-властивість. Вона фіксується, а значення об’єкта пропонується змінювати так, щоб кожен раз  отримувати осмислені речення, тобто  висловлення.

Наприклад, замінюючи у наведеному вище висловленні 3 на 1, 5, 9 або 12, матимемо відповідно такі висловлення: "1 є просте число", "5 є просте число", "9 є просте число", "12 є просте число", з  яких друге є істинним, а решта - хибними висловленнями.³

Таким чином, можна розглянути вираз "x є просте число", який не є висловленням, а  є так званою пропозиційною (висловлювальною) формою. Тобто формою (або формуляром), після підстановки в яку замість  параметра (змінної) x об’єктів (значень) з певної множини M, дістаємо висловлення.

Аналогічно  можна трактувати, наприклад, пропозиційні форми "a є українцем", "b і c є  однокурсники", "c важче d", або "точка x лежить між точками y і z". У перші  дві з них можна підставляти  замість параметрів a, b і c прізвища конкретних людей. У третю замість c і d назви будь-яких об’єктів (предметів), які мають вагу. Для четвертої  множиною M значень змінних x, y і z є  множина точок певної прямої.

Перша з  цих пропозиційних форм задає, як і в наведеній раніше формі, певну  властивість для об’єкта a. Інші три форми описують деякі відношення між відповідними об’єктами.

Розглянувши конкретні приклади і коротко  зупинившись на мотивації та змістовній інтерпретації подальших понять, перейдемо до формальних математичних означень.

n-місним  предикатом P (x1, x2,..., xn) на множині  M називається довільна функція типу MnB, де B = {0,1} - бульовий (двійковий) алфавіт.

Множина M називається предметною областю, або  універсальною множиною, а x1, x2,..., xn - предметними змінними, або термами  предиката P.

Множина елементів (a1, a2,..., an) Mn таких, що P (a1, a2,..., an) = 1 називається областю істинності (або характеристичною множиною) предиката P.

Якщо P (a1, a2,..., an) = 1, то згідно з логічною інтерпретацією будемо говорити, що предикат P є істинним на (a1, a2,..., an). У противному разі, казатимемо, що предикат P є хибним.

Взагалі кажучи, можна означити так званий багатосортний предикат, як функцію типу M1M2... MnB, дозволивши різним його аргументам приймати значення з різних множин. Іноді це буває доцільним; однак частіше в логіці предикатів використовують наведене раніше означення.

Неважко зрозуміти, що пропозиційна форма є  одним зі способів задання предиката.

Для n = 1 предикат P (x) називається одномісним або унарним, для n = 2 P (x, y) - двомісним  або бінарним, для n = 3 P (x, y, z) - трьохмісним  або тернарним предикатом.

Очевидно, що коли в n-арному предикаті P (x1, x2,..., xn) зафіксувати деякі m змінних (тобто  надати їм певних значень з множини M), то отримаємо (n-m) -місний предикат на множині M. Це дозволяє вважати висловлення  нульмісними предикатами, які утворено з багатомісних предикатів підстановкою замість усіх їхніх параметрів певних значень з предметної області. Таким  чином, висловлення можна розглядати як окремий випадок предиката.

Для довільної  множини M і довільного n існує взаємно  однозначна відповідність між сукупністю всіх n-місних предикатів на M і множиною всіх n-арних відношень на M. А саме, будь-якому предикату P (x1, x2,..., xn) відповідає відношення R таке, що (a1, a2,..., an) R тоді і тільки тоді, коли P (a1, a2,..., an) = 1. Очевидно, що при цьому R є областю істинності предиката P.

Крім  того, за будь-якою відповідністю C між множинами A і B (тобто C A B) можна побудувати бінарний двосортний предикат P (x, y) таким чином: