Логика высказываний

Если обозначить буквой А произвольное высказывание, то выражение не-A (неверно, что А) будет отрицанием этого высказывания.

Идея, выражаемая законом противоречия, проста: высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными.

Закон противоречия выражается формулой:

~ (А & ~ А),

неверно, что А и не-А

2. Закон исключенного третьего.

Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух противоречащих высказываний одно является истинным.

Символически:

A v ~ A,

А или не-А. Например: "Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер в этом году", "Личинки мух имеют голову или не имеют ее" и т.п. Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.

С законом исключенного третьего косвенно связан следующий методологический принцип: анализ каждого объекта должен вестись до тех пор и быть настолько полным, чтобы относительно любого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет. Это требование полноты и всесторонности исследования не относится, конечно, к законам логики. Оно полезно, но нередко оказывается невыполнимым. В случае рассуждений о бесконечных и неопределенных совокупностях объектов, об изменяющихся, текущих состояниях и т.п. изучение объекта не всегда способно достичь такой полноты, чтобы на любой вопрос о нем удалось ответить однозначно "да" или "нет".

3.Закон тождества

Внешне самым простым из логических законов является закон тождества. Он говорит: если высказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием своей истинности. Символически:

А → А,

если А, то А. Например: "Если дом высокий, то он высокий", "Если трава черная, то она черная" и т.п.

В приложениях закона тождества к конкретному материалу с особой наглядностью обнаруживается отмечавшаяся ранее общая черта всех логических законов. Они представляют собой тавтологии, как бы повторения одного и того же и не несут содержательной, "предметной" информации. Это – общие схемы, отличительная особенность которых в том, что подставляя в них любые конкретные высказывания (как истинные, так и ложные), мы обязательно получим истинное выражение.

Закон тождества нередко ошибочно подменяется требованием устойчивости, определенности мышления. Действительно, в процессе рассуждения значения понятий и утверждений не следует изменять. Они должны оставаться тождественными самим себе, иначе свойства одного объекта незаметно окажутся приписанными совершенно другому. Если мы начали говорить, допустим, о спутниках как небесных телах, то слово "спутник" должно, пока мы обсуждаем эту тему, обозначать именно такие тела, а не каких-то иных спутников. Требование не изменять и не подменять значения слов в ходе рассуждения, конечно, справедливо. Но, очевидно, что оно не является законом логики. Точно так же, как не относится к ним совет выделять обсуждаемые объекты по достаточно устойчивым признакам, чтобы уменьшить вероятность подмены в рассуждении одного объекта другим.

4.Закон двойного отрицания

Этим именем называется закон логики, позволяющий отбрасывать двойное отрицание. Этот закон можно сформулировать так: отрицание отрицания дает утверждение, или: повторенное дважды отрицание дает утверждение. Например: "Если неверно, что Вселенная не является бесконечной, то она бесконечна".

В символической форме закон записывается так:

~~ А → А,

если неверно, что не-А, то верно А.

Другой закон логики, говорящий о возможности не снимать, а вводить два отрицания, принято называть обратным законом двойного отрицания: утверждение влечет свое двойное отрицание. Например: "Если Шекспир писал сонеты, то неверно, что он не писал сонеты".

Символически:

A → ~~ A

если А, то неверно что не-А.

Объединение этих законов дает так называемый полный закон двойного отрицания:

~~ А ↔ А,

неверно, что не-А, если и только если верно А.

5.Законы контрапозиции

Законы контрапозиции говорят о перемене позиций высказываний с помощью отрицания: из условного высказывания "если есть первое, то есть второе" вытекает "если нет второго, то нет и первого", и наоборот.

Символически:

(А → В) → (~ В → ~ А),

если дело обстоит так, что если А, то В, то если не-В, то не-А;

(~ В → ~ А) → (А → В),

если дело обстоит так, что если не-В, то не-А, то если А, то В.

К примеру: из высказывания "Если есть следствие, то есть и причина" следует высказывание "Если нет причины, нет и следствия", и из второго высказывания вытекает первое.

6.Модус поненс

Слово "модус" в логике означает разновидность некоторой общей формы рассуждения. "Модус поненс" – термин средневековой логики, обозначающий определенное правило вывода и соответствующий ему логический закон.

Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого

  Если А, то В; А  

Здесь "если А, то B" и "А" – посылки, "B" – заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова "следовательно". Другая запись:

Если А, то B. А. Следовательно, В.

Благодаря этому правилу от посылки "если А, то В", используя посылку "А", мы как бы отделяем заключение "B". Например:

Если у человека грипп, он болен.

У человека грипп.

Человек болен.

7.Модус толленс.

Так средневековые логики называли следующую схему рассуждения:

Если А, то B; неверно В.

Неверно А.

Другая запись:

Если А, то В. Не-B. Следовательно, не-A.

Эта схема часто называется принципом фальсификации: если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, это означает, что и само утверждение ложно. Посредством схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания данного высказывания. Например:

Если гелий – металл, он электропроводен.

Гелий неэлектропроводен.

Гелий – не металл.

8.Модус толлендо поненс

Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не первое; значит, второе. Первая посылка умозаключения – разделительное (дизъюнктивное) высказывание, вторая – категорическое высказывание, отрицающее один из членов дизъюнкции; заключением является другой ее член:

  А или В; неверно А  

В

Или:

  А или В; неверно В  

А

Другая форма записи:

А или В. Не-А Следовательно, В.

А или В. Не-В. Следовательно, А.

Например:

Множество является конечным или оно бесконечно.

Множество не является конечным.

Множество бесконечно.

9.Закон приведения к абсурду.

Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-то положения путем выведения из него абсурда, т.е. логического противоречия. Если из высказывания А выводится как высказывание В, так и его отрицание, то верным является отрицание А. Например, из высказывания "Треугольник – это окружность" вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы (быть треугольником значит иметь три угла), с другой, что у него нет углов (поскольку он окружность); следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание "Треугольник не является окружностью".

Закон приведения к абсурду представляется формулой:

(А → В) & (А → ~ В) → ~ А,

если (если А, то В) и (если А, то не-B), то не-А

10. Закон косвенного доказательства.

Закон косвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-то высказывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие. Например: "Если из того, что 17 не является простым числом, вытекает как то, что оно делится на число, отличное от самого себя и единицы, так и то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое число".

Символически закон косвенного доказательства записывается так:

(~ А → В) & (~ А → ~ В) → А,

если (если не-А, то В) и (если не-А, то не-В), то А.

Законом косвенного доказательства обычно называется и формула:

(~ А → (В & ~ В)) → А,

если (если не-А, то В и не-B), то А. К примеру: "Если из того, что 10 не является четным числом, вытекает, что оно делится и не делится на 2, то 10 – четное число".

11.Закон Клавия.

Закон Клавия характеризует связь импликации и отрицания. Он читается так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или, короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно. Или иначе: если необходимым условием ложности некоторого высказывания является его истинность, то это высказывание истинно. Например, если условием того, чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает.

Закон назван именем Клавия – ученого-иезуита, жившего в XVI в., одного из изобретателей григорианского календаря. Клавий первым обратил внимание на этот закон в своем комментарии к "Геометрии" Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал, выведя из ее допущения, что она является ложной.

Символически закон Клавия представляется формулой:

(~ А → А) → А,

если не-А имплицирует А, то верно А.

Из закона Клавия вытекает следующий совет, касающийся доказательства: если хочешь доказать А, выводи А из допущения, что верным является не-А Например, нужно доказать утверждение "У трапеции четыре стороны". Отрицание этого утверждения: "Неверно, что у трапеции четыре стороны". Если из этого отрицания удается вывести само утверждение, это будет означать, что оно истинно.

Закон Клавия – один из случаев общей схемы косвенного доказательства: из отрицания утверждения выводится само это утверждение, оно составляет вместе с отрицанием логическое противоречие; это означает, что отрицание ложно, а верным является само утверждение.

К закону Клавия близок по своей структуре уже упоминавшийся логический закон, отвечающий этой же общей схеме: если из утверждения вытекает его отрицание, то последнее истинно. Например, если условием того, что поезд прибудет вовремя, будет его опоздание, то поезд опоздает. Иначе говоря: если необходимым условием истинности некоторого утверждения является его ложность, то утверждение ложно. Данный закон представляет собой схему рассуждения, идущего от некоторого утверждения к его отрицанию. Можно сказать, что он в некотором смысле слабее, чем закон Клавия, представляющий рассуждение, идущее от отрицания утверждения к самому утверждению.

12.Закон транзитивности.

Закон транзитивности в обычном языке можно передать так: когда верно, что если первое, то второе, и если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье. Например: "Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растет средняя продолжительность жизни человека". Иначе говоря, если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго – истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого.

Символически данный закон представляется формулой:

((А → В) & (В → C) → (А → С),

если (если А, то В) и (если В, то C), то (если А, то C).

13.Законы ассоциативности и коммутативности

Законами ассоциативности называются логические законы, позволяющие по-разному группировать высказывания, соединяемые с помощью "и", "или" и др.

Операции сложения и умножения чисел в математике ассоциативны:

(а + в) + с = а + (в + с),

(а × в) × с = а × (в × с).

Ассоциативностью обладают также логическое сложение (дизъюнкция) и логическое умножение (конъюнкция). Символически соответствующие законы представляются так: