Игры с природой в условиях неопределенности

Риском игрока rij при выборе стратегии i в условиях (состояниях) природы j называется разность между максимальным выигрышем, который можно получить в этих условиях и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя стратегию i.

Если бы игрок знал заранее будущее состояние природы j, он выбрал бы стратегию, которой соответствует максимальный элемент в данном столбце: , и тогда риск: .

Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать решение, обеспечивающее минимальное значение максимального риска:

ZS= .      (7)

Критерий Лапласа.

В ряде случаев представляется правдоподобным следующее рассуждение: поскольку неизвестны будущие состояния природы, постольку можно считать их равновероятными. Этот подход к решению используется в критерии “недостаточного основания” Лапласа.

Для решения задачи для каждого решения подсчитывается математическое ожидание выигрыша (вероятности состояний природы полагаются равными qj = 1/n, j = 1:n), и выбирается то решение, при котором величина этого выигрыша максимальна.

ZL=

.

Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

Критерий Байеса-Лапласа.

Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:

ZBL= .

Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и, прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы. То есть, основываясь на предыдущих наблюдениях прогнозировать будущее состояние природы (статистический принцип).

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

• вероятности появления состояний Вj известны и не зависят от времени;
• решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;
• для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск исключён.

Исходная позиция применяющего – критерий оптимистичнее, чем в случае критерия Вальда, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.

Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной:

Выбор критерия (как и выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной, чтобы нельзя было получить хотя бы частичной информации относительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы, применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводят эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.

 

3. Практическая часть.

Выпуск продукции фирмы существенно зависит от скоропортящегося материала, например, молока или ягод, поставляемого партиями стоимостью 100ед. Если поставка не прибывает в срок, фирма теряет 400 ед. от недовыпуска продукции. Фирма может послать к поставщику свой транспорт (расходы 50 ед.), однако опыт показывает, что в половине случаев транспорт возвращается ни с чем. Можно увеличить вероятность получения материала до 80%, если предварительно послать своего  представителя, но расходы увеличатся еще на 50 ед. Существует возможность приобретать более дорогой (на 50%) материал-заменитель у другого, вполне надежного поставщика, однако, кроме расходов на транспорт (50 ед.) возможны дополнительные издержки хранения материала в размере 30 ед., если его  количество на складе превысит допустимую норму, равную одной партии.

Какой стратегии должен придерживаться завод в сложившейся ситуации?

Формализация. У природы два состояния: поставщик надежный и поставщик ненадежный. У фирмы - четыре стратегии: 1) не осуществлять никаких дополнительных действий, 2) послать к поставщику свой транспорт, 3) послать к поставщику представителя и транспорт, 4) купить и привезти материал-заменитель от другого поставщика.

Составим таблицу расчетов:

 

	Затраты и убытки фирмы-изготовителя
Ситуация	Стоимость материала	Недовыпуск продукции	Транспорт	Команди-ровочные расходы	Издержки хранения	Общая сумма
1 1	- 100	0	0	0	0	- 100
1 2	0	- 400	0	0	0	- 400
2 1	- 100	0	- 50	0	0	- 150
2 2	- 50	- 200	- 50	0	0	- 300
3 1	- 100	0	- 50	- 50	0	- 200
3 2	- 80	- 80	- 50	- 50	0	- 260
4 1	- 250	0	- 50	0	- 30	- 330
4 2	- 150	0	- 50	0	0	- 200

 

Решение. На основе полученных результатов вычислений можно составить платежную матрицу:

 

 

		min	max
- 100	- 400	- 400
- 150	- 300	- 300
- 200	- 260	- 260	- 260
- 330	- 200	- 330

 

Ответ. Нужно придерживаться третьей стратегии и затраты не превысят 260 ед., если послать к поставщику представителя и транспорт.

1. Рассмотренный способ поиска оптимального решения называется критерием Вальда (Максиминный критерий принятия решения). Выбирается решение, гарантирующее получение выигрыша не меньше, чем maxmin:

vW = maxi minj aij = -260 ед.

Применяя этот критерий мы представляем на месте природы активного и злонамеренного противника. Это пессимистичный подход.

2. Максимаксный критерий. Самый благоприятный случай:

vM = maximaxj aij = -100 ед.

Если фирма ничего не предпримет, то потратит не больше 100 единиц. Это критерий абсолютного оптимизма.

 

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

Воспользуемся критерием пессимизма-оптимизма Гурвица.

ZHW = , 

	Степень оптимизма
Решение		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
А1	1 стратегия	-370	-340	-310	-280	-250	-220	-190*	-160*	-130*
А2	2 стратегия	-285	-270	-255	-240	-225*	-210*	-195	-180	-165
А3	3 стратегия	-254*	-248*	-242*	-236*	-230	-224	-218	-212	-206
А4	4 стратегия	-317	-304	-281	-278	-265	-252	-239	-226	-213

 

Величина ZHW для каждого значения γ отмечена. При    γ £ 4/9 критерий Гурвица рекомендует решение А3, при 4/9£ γ £2/3 - решение А2. В остальных случаях А1. А4 не выгодно во всех случаях.

 

Критерий Сэвиджа (критерий минимакса риска).

Теперь воспользуемся критерием Сэвиджа.

ZS= .

 В рассматриваемой задаче минимакс риска достигается сразу при двух стратегиях А2 и А3:

 

		max	min
0	200	200
50	100	100	100
100	60	100	100
230	0	130

 

Критерий Лапласа.

Решением игры по критерию Лапласа является вторая стратегия:

 

	max
-250
-225	-225
-230
-265

Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

Критерий Байеса-Лапласа.

Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:

ZBL= .

 

Возвращаясь к нашей игре предположим, что руководители фирмы-потребителя, прежде чем принять решение, проанализировали, насколько точно поставщик ранее выполнял сроки поставок, и выяснили, что в 25 случаях из 100 сырье поступало с опозданием.

Исходя из этого, можно приписать вероятность наступления первого состояния природы вероятность yj = 0,75 = (1-0,25), второго - yj = 0,25. Тогда согласно критерию Байеса-Лапласа оптимальным является решение А1.

 

Стратегии	å aij qj
А1	- 175*
А2	-187,5
А3	- 215
А4	- 297,5

Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной:

 

Решение	Критерии
Стратегии	Вальда	maxmax	Гурвица	Сэвиджа	Лапласа	Байеса-Л
А1		*	*			*
А2			*	*	*
А3	*		*	*
А4

 

Из таблицы видно, что от выбранного критерия (а в конечном счете - от допущений) зависит и выбор оптимального решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Выводы.

Выбор критерия ( как и выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной,  чтобы нельзя было получить хотя бы частичной информации относительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводят эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Список литературы.

1. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М., Физматгиз,1966
2. Оуэн Г. Теория игр. М., Мир 1971
3. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1981