Асимметричные системы шифрования. Криптосистема rsa

Заметим, что подписанное  сообщение   не зашифровано. Оно пересылается в исходном виде и его содержимое не защищено от нарушения конфиденциальности. Путём совместного применения представленных выше схем шифрования и цифровой подписи в системе RSA можно создавать сообщения, которые будут и зашифрованы, и содержать цифровую подпись. Для этого автор сначала должен добавить к сообщению свою цифровую подпись, а затем — зашифровать получившуюся в результате пару (состоящую из самого сообщения и подписи к нему) с помощью открытого ключа принадлежащего получателю. Получатель расшифровывает полученное сообщение с помощью своего секретного ключа. Если проводить аналогию с пересылкой обычных бумажных документов, то этот процесс похож на то, как если бы автор документа поставил под ним свою печать, а затем положил его в бумажный конверт и запечатал, с тем чтобы конверт был распечатан только тем человеком, кому адресовано сообщение.

Поскольку генерация  ключей происходит значительно реже операций, реализующих шифрование, расшифрование, а также создание и проверку цифровой подписи, задача вычисления   представляет основную вычислительную сложность. Эта задача может быть разрешена с помощью алгоритма быстрого возведения в степень. С использованием этого алгоритма для вычисления   требуется   операций умножения по модулю.

Чтобы проанализировать время выполнения операций с открытым и закрытым ключами, предположим, что открытый ключ   и закрытый ключ  удовлетворяют соотношениям  ,  . Тогда в процессах их применения выполняется соответственно   и   умножений по модулю.

Таким образом время  выполнения операций растёт с увеличением  количества ненулевых битов в двоичном представлении открытой экспоненты e. Чтобы увеличить скорость шифрования, значение e часто выбирают равным 17, 257 или 65537 — простым числам, двоичное представление которых содержит лишь две единицы: 17₁₀=10001₂, 257₁₀=100000001₂, 65537₁₀=10000000000000001₂ (простые числа Ферма).

По эвристическим оценкам  длина секретной экспоненты  , нетривиальным образом зависящей от открытой экспоненты   и модуля  , с большой вероятностью близка к длине  . Поэтому расшифрование данных идёт медленнее чем шифрование, а проверка подписи быстрее чем её создание.

Алгоритм RSA намного медленнее  чем AES и другие алгоритмы блочного шифрования.

Стойкость алгоритма  основывается на сложности вычисления обратной функции к функции шифрования

.

Для вычисления   по известным   нужно найти такой  , чтобы

то есть

Вычисление обратного элемента по модулю не является сложной задачей, однако злоумышленнику неизвестно значение  . Для вычисления функции Эйлера от известного числа   необходимо знать разложение этого числа на простые множители. Нахождение таких множителей и является сложной задачей, а знание этих множителей — «потайной дверцей» (англ. backdoor), которая используется для вычисления   владельцем ключа. Существует множество алгоритмов для нахождения простых сомножителей, так называемой факторизации, самый быстрый из которых на сегодняшний день — общий метод решета числового поля, скорость которого для k-битного целого числа составляет

 для некоторого  .

В 2010 году группе учёных из Швейцарии, Японии, Франции, Нидерландов, Германии и США удалось успешно  вычислить данные, зашифрованные  при помощи криптографического ключа  стандарта RSA длиной 768 бит. Нахождение простых сомножителей осуществлялось общим методом решета числового поля. По словам исследователей, после их работы в качестве надежной системы шифрования можно рассматривать только RSA-ключи длиной 1024 бита и более. Причём от шифрования ключом длиной в 1024 бит стоит отказаться в ближайшие три-четыре года.

Кроме того, при неправильной или неоптимальной реализации или  использовании алгоритма возможны специальные криптографические  атаки, такие как атаки на схемы  с малой секретной экспонентой или на схемы с общим выбранным значением модуля.

 

Основные достоинства  и недостатки метода

Преимущества:

• Преимущество асимметричных шифров перед симметричными шифрами состоит в отсутствии необходимости предварительной передачи секретного ключа по надёжному каналу.
• В симметричной криптографии ключ держится в секрете для обеих сторон, а в асимметричной криптосистеме только один секретный.
• При симметричном шифровании необходимо обновлять ключ после каждого факта передачи, тогда как в асимметричных криптосистемах пару (E,D) можно не менять значительное время.
• В больших сетях число ключей в асимметричной криптосистеме значительно меньше, чем в симметричной.

Недостатки:

• Преимущество алгоритма симметричного шифрования над несимметричным заключается в том, что в первый относительно легко внести изменения.
• Хотя сообщения надежно шифруются, но «засвечиваются» получатель и отправитель самим фактом пересылки шифрованного сообщения.
• Несимметричные алгоритмы используют более длинные ключи, чем симметричные.
• Процесс шифрования-расшифрования с использованием пары ключей проходит на два-три порядка медленнее, чем шифрование-расшифрование того же текста симметричным алгоритмом.
• В чистом виде асимметричные криптосистемы требуют существенно больших вычислительных ресурсов, потому на практике используются в сочетании с другими алгоритмами.
• Для ЭЦП сообщение предварительно подвергается хешированию, а с помощью асимметричного ключа подписывается лишь относительно небольшой результат хеш-функции.
• Для шифрования они используются в форме гибридных криптосистем, где большие объёмы данных шифруются симметричным шифром на сеансовом ключе, а с помощью асимметричного шифра передаётся только сам сеансовый ключ.

Таблица - 2

Сравнение некоторых  алгоритмов

Алгоритм	Ключ	Назначение	Криптостойкость, MIPS	Примечания
RSA	До 4096 бит	Шифрование и подпись	2,7•1028 для ключа 1300 бит	Основан на трудности  задачи факторизации больших чисел; один из первых асимметричных алгоритмов. Включен во многие стандарты
ElGamal	До 4096 бит	Шифрование и подпись	При одинаковой длине ключа криптостойкость  равная RSA, т.е. 2,7•1028 для ключа 1300 бит	Основан на трудной задаче вычисления дискретных логарифмов в конечном поле; позволяет быстро генерировать ключи  без снижения стойкости. Используется в алгоритме цифровой подписи DSA-стандарта DSS
DSA	До 1024 бит	Только подписание		Основан на трудности задачи дискретного логарифмирования в конечном поле; принят в качестве гос. стандарта США; применяется для секретных и несекретных коммуникаций; разработчиком является АНБ.
ECDSA	До 4096 бит	Шифрование и подпись	Криптостойкость и скорость работы выше, чем у RSA	Современное направление. Разрабатывается  многими ведущими математиками

 

Применение  на практике

Система RSA используется для защиты программного обеспечения и в схемах цифровой подписи.

Также она используется в открытой системе шифрования PGP и иных системах шифрования (к примеру, DarkCryptTC и формат xdc) в сочетании с симметричными алгоритмами.

Из-за низкой скорости шифрования (около 30 кбит/с при 512 битном ключе на процессоре 2 ГГц), сообщения обычно шифруют с помощью более производительных симметричных алгоритмов со случайным ключом (сеансовый ключ), а с помощью RSA шифруют лишь этот ключ, таким образом реализуется гибридная криптосистема. Такой механизм имеет потенциальные уязвимости ввиду необходимости использовать криптостойкий генератор случайных чисел для формирования случайного сеансового ключа симметричного шифрования и эффективно противостоящий атакам симметричный криптоалгоритм (в данное время широкое применение находят AES,IDEA, Serpent, Twofish).

Криптосистема RSA используется в самых различных продуктах, на различных платформах и во многих отраслях. В настоящее время криптосистема RSA встраивается во многие коммерческие продукты, число которых постоянно увеличивается. Также ее используют операционные системы Microsoft, Apple, Sun и Novell. В аппаратном исполнении RSA алгоритм применяется в защищенных телефонах, на сетевых платах Ethernet, на смарт-картах, широко используется в криптографическом оборудовании Zaxus (Racal). Кроме того, алгоритм входит в состав всех основных протоколов для защищенных коммуникаций Internet, в том числе S/MIME, SSL и S/WAN, а также используется во многих учреждениях, например, в правительственных службах, в большинстве корпораций, в государственных лабораториях и университетах. На осень 2000 года технологии с применением алгоритма RSA были лицензированы более чем 700 компаниями.

Технологию шифрования RSA BSAFE используют около 500 миллионов  пользователей всего мира. Так как в большинстве случаев при этом используется алгоритм RSA, то его можно считать наиболее распространенной криптосистемой общего (public) ключа в мире и это количество имеет явную тенденцию к увеличению по мере роста Internet.

Криптосистема RSA – часть многих мировых стандартов. Стандарт ISO 9796 описывает RSA как совместимый криптографический алгоритм, соотвествующий стандарту безопасности ITU-T X.509. Кроме этого криптосистема RSA является частью стандартов SWIFT, ANSI X9.31 rDSA и проекта стандарта X9.44 для американских банков. Австралийский стандарт управления ключами AS2805.6.5.3 также включает систему RSA.

Алгоритм RSA используется в Internet, в частности он входит в  такие протоколы как S/MIME, IPSEC (INTERNET PROTOCOL SECURITY) и TLS (которым предполагается заменить SSL), а также в стандарт PKCS, применяемый в важных приложениях.

Для разработчиков приложений с применением PKCS организация OSI Implementers' Workshop (OIW) выпустила соглашение, которое  в частности посвящено алгоритму RSA.

Множество других разрабатываемых в настоящее время стандартов включают в себя либо сам алгоритм RSA или его поддержку либо рекомендуют криптосистему RSA для обеспечения секретности и/или установления подлинности (аутентификации). Например, включают в себя систему RSA рекомендации IEEE P1363 и WAP WTLS.

На начало 2001 года криптосистема RSA являлась наиболее широко используемой криптосистемой открытого (public) ключа  и зачастую называется стандартом де факто. Вне зависимости от официальных  стандартов существование такого стандарта чрезвычайно важно для развития электронной коммерции и вообще экономики. Единая система открытого (public) ключа допускает обмен документами с электронно-цифровыми подписями между пользователями различных государств, использующими различное программное обеспечение на различных платформах; такая возможность насущно необходима для развития электронной коммерции. Распространение системы RSA дошло до такой степени, что ее учитывают при создании новых стандартов. При разработке стандартов цифровых подписей, в первую очередь в 1997 был разработан стандарт ANSI X9.30, поддерживающий Digital Signature Standard (стандарт Цифровой подписи). Годом позже был введен ANSI X9.31, в котором сделан акцент на цифровых подписях RSA, что отвечает фактически сложившейся ситуации в частности для финансовых учреждений.

Недостатки защищенной аутентификации (установления подлинности) были главным препятствием для замены бумажного документооборота электронным; почти везде контракты, чеки, официальные  письма, юридические документы все еще выполняются на бумаге. Именно это – необходимость элементов бумажного документооборота – не позволяло полностью перейти к электронным транзакциям. Предлагаемая RSA цифровая подпись – инструмент, который позволит перевести наиболее существенные бумажные документо-потоки в электронно-цифровой вид. Благодаря цифровым подписям многие документы – паспорта, избирательные бюллетени, завещания, договора аренды – теперь могут существовать в электронной форме, а любая бумажная версия будет в этом случае только копией электронного оригинала. Все это стало возможным благодаря стандарту цифровых подписей RSA.