Теория катастроф

Мы привыкли к стабильности и постоянству. Мы ступаем по твердой поверхности Земли и верим, что она всегда будет служить нам опорой. Мы знаем, что вслед за зимой придет лето, станет тепло и солнечно, и так будет всегда. Мы думаем, что мир вокруг нас не может внезапно измениться, и, исходя из этого, формируем свой образ жизни и приоритеты, планируем свои действия.

Такая привычная, “бытовая” точка зрения на устойчивость нашего мира нашла свое отражение в науке XVIII века, когда создавалось классическое естествознание. Его основой стал математический язык дифференциального и интегрального исчислений; считалось, что все зависимости можно описывать непрерывными функциями, для которых характерно небольшое изменение значения функции при малых приращениях аргументов. Казалось бы, логично: приложено чуть больше усилий – получен чуть больший результат... Более того, если математические модели не отвечали этим условиям, то они считались некорректными, а значит, лишенными реального содержания.

Но... Легкий поворот выключателя приводит в действие управляющие механизмы, и открываются створки плотины, мощные потоки воды обрушиваются на лопатки турбин, заставляя крутиться многотонный вал генератора. Легкий удар по детонатору вызывает взрыв, при котором мгновенно высвобождается энергия, сравнимая с энергией маленького солнца. Есть примеры и нерукотворных природных процессов, когда в результате слабого воздействия пробуждаются силы, во много раз более мощные: маленький камешек может вызвать горный обвал, страшную по своим последствиям снежную лавину и даже землетрясение. Научная и инженерная мысль открыла множество примеров скачкообразного изменения системы при малых воздействиях, но, как ни странно, на наши представления об окружающем мире до недавнего времени это почти не влияло.

Еще в древности, например в античной Греции, среди философов существовало представление, что вся природа живет и развивается благодаря соразмерности и гармонии величайших сил – противоположностей, находящихся в равновесии. Нарушение этого равновесия может разрушить весь мир. За гармонию противоположностей отвечают боги, и они прикладывают немалые усилия для ее сохранения. Вспомним миф о Фаэтоне, который упросил своего отца Гелиоса дать ему небесную колесницу в доказательство его божественного происхождения. Руки смертного не удержали небесных коней, он не сумел провести колесницу по безопасному пути, где солнечные лучи не опаляют землю, но и не дают ей замерзнуть. Последствия не заставили себя ждать:

Трещины почва дала, и в Тартар

проник через щели

Свет, и подземных царя с супругою

в ужас приводит.

Море сжимается.

Вот уж песчаная ныне равнина,

Где было море вчера;

покрытые раньше водою

Горы встают...

Овидий. Метаморфозы

Чтобы вернуть мир из хаоса, потребовалось вмешательство верховного божества Зевса, восстановившего порядок.

Древние философы понимали, что даже малые изменения, нарушающие гармонию, могут существенно изменить мир, ввергнуть его в хаос. Многие столетия их внимание занимали именно законы этой гармонии, ибо в ней они видели проявление божественной воли, удерживающей мир в порядке. Начиная с пифагорейцев, открывших, что эти законы могут быть записаны на языке цифр и геометрических фигур, математику стали использовать как средство отражения идеальных законов природы, в которой все противоположности соразмерны и уравновешены. Может быть, этим и объясняется упорное нежелание “классических” математиков рассматривать неустойчивые математические модели, в которых возможно резкое нарушение равновесия.

Лишь в ХХ веке появились работы, в которых всерьез заговорили о том, что такие неустойчивости столь же реальны, как и состояния гармонии. Было осознано, что любая система, развиваясь, проходит этапы перестройки, резкого изменения, во время которых происходит перегруппировка сил, переустройство равновесия. Эти этапы характеризуются временным преобладанием одной из сил, что приводит к хаосу, разрушающему предыдущие структуры; затем происходит гармонизация, равновесие восстанавливается, но уже в новом, качественно ином состоянии.

Одной из математических теорий, описывающих резкие переходы, является теория катастроф. Как научная дисциплина она появилась в 70-х годах прошедшего века. Важным достоинством этой теории является то, что она не требует подробных математических моделей и может описывать ситуации не “количественно”, а “качественно”, а ее результаты и выводы иллюстрируются простыми геометрическими образами.

Такая “наглядность” теории катастроф привела к бурному росту числа публикаций, и наряду с серьезными работами, посвященными, например, устойчивости кораблей, описанию психических явлений, социальных и экономических процессов, появились работы полушутли вого характера. Ниже мы приведем один из примеров такого “спекулятивного” использования метода теории катастроф, наглядно поясняющий ее суть. Но прежде объясним, насколько это возможно, на каких представлениях основана эта теория.

Положим, вам нужно описать зависимость некоторой величины x от двух параметров – m1 и m2. Для этого удобно использовать график этой зависимости, который изображается некоторой поверхностью, “висящей” над плоскостью параметров: два числовых значения параметров задают точку на плоскости, а высота поверхности над этой точкой дает значение исследуемой величины. Поверхность, из общих соображений и в соответствии с классическими положениями, будем считать “гладкой"; ее можно представить как лист бумаги, свернутый без разрезов и разрывов.

Зависимость не будет иметь особенностей, если каждому значению параметров соответствует только одна точка поверхности, - это случай, когда наш лист бумаги не имеет складок. Если же складки имеются, то возможны особенности двух типов. Одна из них так и называется “складка”.

А другая получается, когда в одной точке (на плоскости параметров) встречаются две складки поверхности. Она носит название “сборка”. Проекция сборки на плоскость параметров обозначена буквой B.

Подчеркнем, что, кроме указанных особенностей, никаких других в принципе быть не может – все остальные могут лишь комбинироваться из этих простейших элементов. “Катастрофа”, то есть резкое изменение значения величины x, происходит, например, когда изменяется параметр m1 вдоль прямой A1-A2. Однако иное качественное поведение можно получить при изменении параметров в окрестности точки B.

Вернемся к обещанному примеру. Он принадлежит английскому математику К. Зиману и приведен в замечательной популярной книге В. Арнольда “Теория катастроф”. Речь идет об описании творческого процесса ученого, и величина Д характеризует его достижения в зависимости от увлеченности и владения техникой и навыками исследователя (параметр Т).

Если увлеченность невелика, то достижения вяло и монотонно увеличиваются с ростом профессиональных навыков. Если же увлеченность высока, то наступают качественно новые явления: с ростом профессионализма достижения могут возрастать скачком. Такая “катастрофа” вполне желанна. Область высоких достижений в этом случае можно назвать словом “гении”. Данная ситуация соответствует движению из точки 1 к точке 2.

Если же рост увлеченности не подкреплен соответствующим ростом профессионализма, то происходит катастрофа в полном смысле этого слова: достижения скачком падают, и мы попадаем в область, обозначенную словом “маньяки” (это происходит при движении из точки 3 в точку 4. Интересно, что скачки из состояния “гении” в состояние “маньяки” происходят на разных линиях, и при достаточно большом значении увлеченности гений и маньяк при равной технике и увлеченности различаются лишь уровнем достижений.

Заметим, что скачок достижений происходит при разных значениях параметров в зависимости от того, движемся ли мы слева направо или справа налево вдоль прямой A1-A2. Это так называемая петля гистерезиса, демонстрирующая, что если вы из-за потери увлеченности потерпели катастрофу в уровне достижений, то для того, чтобы вернуть их на прежний уровень, необходима значительно большая увлеченность, чем та, что имелась накануне скачка.

Несмотря на всю привлекательность и интуитивную ясность подобных рассуждений, профессиональные математики весьма скептически относятся к обоснованности построений такого рода. Однако есть и более строгие результаты, касающиеся, например, математических проблем устойчивости развивающихся во времени процессов.

Теория катастроф на качественном уровне объясняет множество явлений. Вот, например, как можно пояснить возможность резкого изменения экологической обстановки на нашей планете. Для простоты введем некоторый обобщенный параметр x, характеризующий качество рассматриваемой ситуации с экологической точки зрения, например среднее содержание вредных примесей в атмосфере. Пусть реализуемы только такие значения x, при которых некоторая функция принимает свое минимальное значение – по аналогии с механикой, где все тела стремятся к минимуму потенциальной энергии. Следуя аналогии, назовем эту функцию “потенциалом”.

Пусть при некоторых условиях зависимость потенциала от x изображается графиком (условия, определяющие характер этой зависимости, остаются “за кадром"). Малые возмущения системы, обусловленные, например, деятельностью человека, могут лишь немного изменять загрязненность атмосферы – устойчивое состояние находится в одной из точек локального минимума в нижней части графика (система “сидит” в этой точке надежно, как тяжелый шарик, скатившийся на дно лунки). Перевод системы в опасное состояние – в соседний локальный минимум, соответствующий высокой загрязненности, – практически невозможен: нужен слишком большой толчок, заставляющий систему (в нашей аналогии – тяжелый шарик) преодолеть высокий барьер, отделяющий точки минимума.

Однако при изменении условий (например, при накоплении отходов промышленного производства) характер зависимости потенциала от x может измениться. Тогда даже небольшой толчок может заставить систему “свалиться” в устойчивое состояние с высоким уровнем загрязненности атмосферы. Такой переход может совершиться очень быстро, в считанные годы.

Теория катастроф, наряду с другими современными теориями динамических систем, уже в значительной степени изменила привычные представления об устойчивости и инерционности мира. Благодаря ей мы сегодня (хочется надеяться) лучше понимаем свою ответственность за возможные нарушения гармонии и равновесия противоположных природных сил, к которым ведет неограниченный рост промышленного производства в обществе потребления. Сейчас раздается все больше голосов за то, чтобы провести переоценку ценностей в современном мире и вслед за мудрецами древности вновь начать ценить красоту и соразмерность выше материального изобилия. Ведь если этого не произойдет, то поистине пророческими могут стать слова творца теории катастроф французского ученого Рене Тома: “Быть может, удастся доказать неизбежность некоторых катастроф, например болезней или смерти. Познание не обязательно будет обещанием успеха или выживания: оно может вести также к уверенности в нашем поражении, в нашем конце”.

Но наряду со столь мрачными перспективами эта теория открывает и другие возможности. Действительно, коль скоро мы уверились в том, что при определенных условиях очень малые воздействия могут привести к значимым результатам, есть резон не опускать руки даже в самых тупиковых ситуациях – ведь, может быть, кажущаяся безысходность есть лишь признак надвигающейся “катастрофы”, обещающей нам новый период расцвета.

История дает немало примеров, когда в критические моменты судьбы народов зависели от решения одного человека, и если ему удавалось “поймать момент”, понять необходимость того или иного действия, то начиналось новое время, открывались новые перспективы, воплощались великие идеи. Так, Перикл, обратившись к идеалам единства и гармонии, после страшных разрушений греко-персидских войн привел Аттику к золотому веку классики, когда создавались совершенные вещи – скульптуры, храмы, научные и философские концепции, – к которым мы и сегодня обращаемся как к эталону. При Перикле творили великие Фидий, Анаксагор, Геродот; при нем заново отстроили Акрополь, ставший образцом прекрасного на многие века. Так же девятнадцать веков спустя Козимо Медичи, поддержав возникший интерес к античной культуре, положил начало Ренессансу – эпохе, перевернув шей жизнь средневековой Европы.

Поскольку в определенных ситуациях – в точках катастроф – даже незначительные движения могут повлиять на ход развития, очень полезным окажется умение определять, далеко ли от такой точки находится система. Формально для этого следует изучить зависимость системы от внешних параметров в математических моделях, однако на практике нередко встречаются случаи, когда у исследователя нет даже туманных соображений о том, каким эволюционным уравнением описывается развитие системы. Тем не менее даже в этих ситуациях, патологических с точки зрения математического моделирования, можно указать некоторые косвенные признаки того, что изучаемая система находится вблизи точки катастрофы.

Речь идет о так называемых “флагах катастроф” – особенностях поведения системы, по которым можно судить о приближении критической точки. Перечислим некоторые из них, чаще всего встречающиеся вместе:

– наличие нескольких различных (устойчивых) состояний;

– существование неустойчивых состояний, из которых система выводится слабыми “толчками";

– возможность быстрого изменения системы при малых изменениях внешних условий;

– необратимость системы (невозможность вернуться к прежним условиям);

– гистерезис, который мы уже рассматривали в примере с “гениями” и “маньяками”.

Чтобы проиллюстрировать эти ситуации, можно привести множество примеров из физики, но обратимся лучше к примерам более “жизненным”. Всем нам после окончания средней школы приходилось выбирать дальнейший жизненный путь. Первый “флаг катастрофы” – существование различных устойчивых состояний – проявляется в том, что мы можем видеть несколько различных привлекательных для нас вариантов деятельности. Это могут быть несколько институтов, в которые мы можем поступить (в последние годы благодаря вступительным олимпиадам школьник к моменту окончания школы может быть уже зачислен в несколько вузов), несколько фирм, где нас согласны принять на работу, и т. п. Наряду с этим присутствует и второй “флаг” – неустойчивые состояния – места, где мы уж точно надолго не задержимся. Третий “флаг": приняв решение и став, например, студентом, мы испытываем стремительное изменение – и внешнее (меняется наш социальный статус, у нас появляются собственные деньги, пусть небольшие), и внутреннее (мы стремительно взрослеем). Четвертый “флаг": после выбора обратный путь практически невозможен – чтобы нас отчислили с первого курса, еще до сессии, нужно натворить что-то очень грандиозное. Но уж если отчислили, то просто так обратно не примут, и надо ждать подходящих условий – новых приемных экзаменов. Это пятый “флаг катастрофы”.