Золотое сечение

 

Содержание

 

 

           1.1. Золотое сечение                                                                           2       

          1.2. Числа Фибоначчи и их связь

                с Золотым сечением                                                                6

             1.3. Роль Золотого сечения и чисел

                Фибоначчи в формообразовании

               биологических объектов                                                         8

         1.4. Естественнонаучные основы гармонии                                     11

         Список литературы                                                                             12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У истоков учения о гармонии мира

Все элементы мироздания гар-

монично связаны между собой.

Цицерон

1.1. Золотое сечение

Начнем издалека... Древняя  Греция, VI в. до н. э. Пифагор Самосский — это имя известно каждому школьнику по его знаменитой теореме: «Пифагоровы штаны на все стороны равны». Уже в ранней юности Пифагор проявил недюжинные способности к различным наукам и, как тогда было принято, отправился совершенствовать свои знания в Египет. Здесь он прожил долгих 22 года и здесь, у египетских жрецов получил свои знания в области геометрии и астрономии. VI в. до н. э. — это эпоха бурных персидских войн. Войска Кира II захватили обширные территории от Армении на севере до Египта на юге и от Африки до Индии с запада на восток. Египет завоевывал сын Кира II Камбис. Пифагор попал в плен к Камбису и был вывезен на территорию Вавилонии, где провел еще 12 лет. В Вавилонии он имел возможность познакомиться с обрядовой мистикой персидских магов и математическими знаниями халдейских мудрецов. Халдеями греки называли семитские народы. Некоторые авторы уверяют, что Пифагор побывал также и в Индии. В этом ничего невозможного нет, так как ее значительная часть тогда также входила в громадную Персидскую державу. На родину Пифагор вернулся уже зрелым человеком. Пора было обзаводится учениками и, вот, в городе Кротон (теперь это северная часть Италии, а тогда — территория Древней Греции) он создает свою школу, или пифагорейский союз. Статут союза был весьма суров. Прежде чем быть в него принятым, претендент должен был пройти трехлетний испытательный срок, отказаться от принадлежащего ему имущества в пользу союза, приучиться соблюдать множество правил и запретов. Затем следовало пятилетнее обучение в качестве ученика низшей ступени — акусматика, т. е. слушателя. Акусматики не видели самого Учителя, а могли только слушать его голос из-за занавеса. Ученики, успешно закончившие обучение на низшей ступени, после дополнительных испытаний переводились на высшую ступень. Теперь они становились математиками (от греч. mathematike — полное знание).

 

Что же это за полное знание, которому учил Пифагор? В основном оно сводилось к двум основным положениям. Первое — это учение о метемпсихозе — переселении души после смерти в иное тело. Второе — учение о четырех первоосновах (стихиях) мироздания: огонь, воздух, вода и земля. Обе концепции в VI в. до н. э. были чрезвычайно распространены в индийских философских школах. Это является дополнительным косвенным свидетельством того, что Пифагор в Индии бывал. Разумеется, древние мыслители не были столь наивны, чтобы считать, что все сущее буквально состоит из этих первоэлементов. Просто, ввиду отсутствия разработанной научной терминологии, они называли землей любое твердое состояние вещества, водой — жидкое, воздухом — газообразное, а огнем — то, что теперь называют плазмой. Действительно, эти четыре агрегатные состояния вещества полностью определяют любые его возможные формы. Пифагор решил их обозначить какими-то элементарными символами. Таковыми он считал числа. Рассуждал он приблизительно так: все тела ограничены поверхностями, поверхности ограничены линиями, линии состоят из точек, а точки можно пересчитать. Поэтому, по мнению Пифагора, нет ничего более элементарного, чем число. Вот он и обозначил упомянутые выше первоосновы цифрами 1, 2, 3, 4. Тогда вся Вселенная, содержащая в себе все первоосновы, может быть обозначена как 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Именно десятку Пифагор избрал символом своего союза, запечатлев ее в виде геометрического образа — пентаграммы (рис. 1.1).

Изучая пентаграмму, Пифагор  и его ученики вскоре выяснили, что она состоит из подобных треугольников вида ABC и BCD. Тогда

Так как BC = AD, то

т. е. большая часть AD отрезка AC так относится к его меньшей части DC, как длина всего отрезка относится к его большей части (так называемое Золотое сечение). Обозначив AD = Ф, а DC = 1, пропорцию (1.1) можно переписать в виде

откуда следует квадратное уравнение

положительный корень которого

Таким образом, для разбиения  кого-либо тела в Золотом сечении, необходимо, чтобы его большая часть превышала меньшую приблизительно в 1,618 раз. Эта пропорция нашла свое практическое воплощение в древнегреческих архитектурных сооружениях и творениях выдающегося скульптора Фидия (в честь которого Золотое сечение и обозначается буквой Ф). Затем, после упадка Древней Греции и захвата ее Римом, найденная греками пропорция была использована римским архитектором Витрувием (I в.), а в эпоху Возрождения заново воскрешена великим Леонардо да Винчи. Именно он ввел термин «Sectio aurea» —  Золотое сечение. Современник и друг Леонардо, монах францисканского ордена, профессор теологии и математики Лука Пачоли назвал Золотое сечение «Divina proportione» — Божественной пропорцией, написав о ней полную восторженных эпитетов книгу, иллюстрированную Леонардо. Вдохновленные этой книгой, Золотое сечение использовали многие архитекторы и художники эпохи Возрождения: Микеланджело, Паладио, Боттичелли, Дюрер и др.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Числа Фибоначчи  и их связь с Золотым сечением

Средневековая Италия, 1202 г. Интересующийся математикой купец Леонардо Пизанский по прозвищу Фибоначчи (сокр. от староитал. figlio bonta natura — сын доброй природы), решая задачу о размножении кроликов, находит числовую последовательность вида

Числа Фибоначчи (1.3) оказались  тесно связаны с Золотым сечением. Для доказательства этого факта рассмотрим последовательность цепных дробей вида

В силу бесконечной повторяемости предельной бесконечной цепной дроби Ф можем записать эквивалентное выражение: Ф = 1+ + 1/Ф. Откуда Ф2 – Ф – 1 = 0. Решение этого квадратного уравнения нам уже известно: Сравнивая приближающие к Ф конечные цепные дроби, записанные выше, с числами Фибоначчи, видим, что

В теории цепных дробей доказывается, что цепные дроби с ограниченным числом звеньев наиболее медленно сходятся к своим иррациональным пределам, выражаемым бесконечными цепными дробями, если образующие их цифры одинаковы, причем тем медленнее, чем эти цифры меньше. Следовательно, Золотое сечение представляет собой такое иррациональное число, которое труднее всего аппроксимировать сходящейся последовательностью рациональных чисел, а числа Фибоначчи являются последовательностью чисел, отношения соседних членов которой медленнее всего сходятся к этому рациональному числу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Роль Золотого  сечения и чисел Фибоначчи в формообразовании биологических объектов

 

Оказалось, что пропорции  Золотого сечения широко присутствуют в строении живых организмов.

1. Как показал великий немецкий математик и астроном И. Кеплер (1571—1630), количество лепестков у цветов, имеющих форму правильной розетки, равно числам Фибоначчи либо, если они располагаются в два яруса, удвоенным числам Фибоначчи:

Например, цветы растений семейств осоковых (осока, циперус), злаковых (пшеница, рожь, овес) и рогозовых (рогоз) вообще не имеют лепестков. Ароидные (калла, эминиум, цантедеския) имеют по 1 лепестку. Некоторые губоцветные (пустырник, шалфей) — по 2 лепестка. Лимнохарисовые (гидроклеис) и марантовые (таллия) — по 3 лепестка. Маковые (мак, чистотел), крестоцветные (сурепка, капуста, редис, редька), гидрангиевые (жасмин), маслиновые (сирень) — по 4 лепестка. Розоцветные (шиповник, яблоня, груша, слива, вишня), вересковые (рододендрон, багульник), тыквенные (тыква, арбуз, дыня, огурец), пасленовые (картофель, томат, перец), жимолостные (бузина, калина) — по 5 лепестков. Луковые (лук, блюмерия), лилейные (лилия, тюльпан, геждия, купена), ирисовые (ирис, гладиолус, шафран) — по 6 лепестков. Цветы сложноцветных растений могут иметь 8 краевых цветков — лепестков (космея), 13 (гайлярдия), 21 (ромашка обыкновенная), 34 (календула), 55 (подсолнух).

2. Филлотаксис (от греч. phyllon — лист, taxis — порядок) — расположение листьев на стеблях покрытосеменных растений (рис. 1.2) — характеризуется дробью, в числителе которой указывается количество листьев, которые нужно пройти, чтобы добраться до более молодого листа, находящегося на той же ортостихе, а в знаменателе — число оборотов вокруг стебля, которое при этом требуется совершить.

Для большинства растений филлотаксисные дроби выражаются отношением чисел Фибоначчи, взятых через одно:

Так, например, это отношение  равно 2/1 у березы и липы, 3/1 — у вербы, 5/2 — у яблони, груши и других розоцветных, 8/3 — у барбариса, 13/5 — у облепихи. Но из всякого правила есть исключения. Скажем, филлотаксис ясеня, клена, сирени характеризуется не отношением чисел Фибоначчи, а отношением чисел Люка́ ({Ln}:1, 2, 3, 4, 7, 11, 18, …): {Ln+2 / Ln} = 4/1, причем в этом случае имеется две спиралисо взаимно противоположным направлением закручивания и супротивным расположением листьев (рис. 1.2 б). Впрочем, числа Люка, названные так по имени предложившего их французского математика Ф. Люка (1842—1891), обладают тем же самым свойством, что и числа Фибоначчи: их отношения (большего к меньшему) по мере увеличения номера также стремятся к Золотому сечению (только несколько быстрее, чем отношения чисел Фибоначчи). Филлотаксисные спирали возникают не только в растительном мире. Они встречаются в формообразовании чешуи рыб и пресмыкающихся, в расположении щупальцев медуз, в строении раковин фораминифер — отряда простейших из класса корненожек. Эти закономерности проявляются уже на уровне белковых молекул. В αспиралях полипептидов расположение аминокислотных остатков по ходу спирали описывается числами вида

В числителе этого ряда стоят числа Люка, а в знаменателе  — числа Фибоначчи.

3.  У покрытосеменных растений семейства сложноцветных, таких как подсолнух, одуванчик, ромашка, семена собраны в корзинку плоской или полушаровидной формы. В расположении семян можно заметить два семейства спиралей, раскручивающихся в противоположные стороны и пересекающихся под углами, близкими к прямым (рис. 1.3).

Похожим образом расположены  семена в шишках хвойных растений. Отношение числа длинных парастих к числу коротких парастих представляет из себя дроби следующего вида:

Например, для европейской  лиственницы и сибирского кедра  это отношение равно 8/5, различных видов сосны — 8/5, 13/8, 21/13, европейской ели — 3/8. У подсолнуха встречаются сорта с отношением числа парастих 55/34, 89/55, 144/89.

 

 

 

 

 

 

1.4. Естественнонаучные  основы гармонии

Что же является причиной того факта, что в живой природе  доминируют пропорции Золотого сечения (см. выражения (1.5) — (1.7))? Из физики известно, что любая система, выведенная из состояния равновесия, стремится перейти в состояние с минимальной свободной энергией. Поэтому в ходе морфогенеза соединительные ткани, отделяющие одни части живого организма от других, располагаются в местах, беспечивающих организму минимальные затраты энергии в процессе жизнедеятельности. Организмы, не удовлетворяющие этому принципу, выбраковываются под действием естественного отбора. Как же природа находит оптимальные места для листьев и семян у растений, камер в раковинах моллюсков, суставов у позвоночных животных и т.д.? Ситуацию здесь проясняет известная из математики теорема об оптимальном шаговом плане поиска экстремума неизвестной функции. Согласно этой теореме, при заданном числе шагов поиска, экстремум находится с минимальной погрешностью методом Золотого сечения. Суть метода состоит в том, что область поиска делится на Fn+2 равных отрезков, где n — число шагов. Рис. 1.4 иллюстрирует применение этого метода для отыскания минимума некоторой функции F (x), каковой может быть, например, свободная энергия биологической системы. Природа не имеет возможности бесконечно долго искать места ее минимумов для стыковки пар каких-либо органов тела, поэтому поступает по фибоначчиевому плану. По этой же причине в строении живых организмов и встречаются так часто пропорции Золотого сечения.

 

 

Список литературы

 

1. Волошинов А. В. Пифагор: Союз истины, добра и красоты/ А. В. Во-

лошинов. — М.: Просвещение, 1993. — 224 с.

2. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи/Н. Н. Воробьев. — М.: Наука,

1984. — 144 с.

3. Шевелев И. Ш. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии/

И. Ш. Шевелев. — М.: Стройиздат, 1990. — 342 с.