Теплопроводность

                      1.Теплопроводность и закон Фурье.

Явление теплопроводности состоит  в переносе теплоты структурными частицами вещества – молекулами, атомами, электронами – в процессе их теплового движения. Механизм переноса теплоты зависит от агрегатного  состояния тела. В жидкостях и  твердых телах – диэлектриках – перенос теплоты осуществляется путем непосредственной передачи теплового  движения молекул и атомов соседним частицам вещества. В газообразных телах распространение теплоты  теплопроводностью происходит вследствие обмена энергией при соударении молекул, имеющих различную скорость теплового  движения. В металлах теплопроводность осуществляется главным образом  вследствие движения свободных электронов.

Основной закон теплопроводности. Он устанавливает количество тепла, проходящее через поверхность   за время   в зависимости от   и свойств материала. Закон установлен экспериментально.

 - гипотеза Фурье.

Основной закон теплопроводности.

 -коэффициент теплопроводности (теплофизическая характеристика  материала). Определяется экспериментально. Характеризует способность вещества  проводить тепло.

Различают теплоизоляционные  и теплопроводящие материалы.

Теплоизоляционные материалы  < 0,25

Коэффициент теплопроводности зависит от температуры материала, а также от его структуры.

Изотропные тела имеют  одинаковый коэффициент теплопроводности по всем направлениям. Для анизотропных тел вводятся три коэффициента теплопроводности 

Коэффициент теплопроводности численно равен плотности теплового  потока при единичном градиенте  температуры.

Теплопроводность  тел простой формы. 

Теплопроводность плоской  стенки.

Бесконечно большая плоская  стенка толщиной  теплопроводностью  передает тепло при постоянных температурах на границе   и  .

  Определить характер изменения температуры по толщине стенки и тепловой поток через стенку.

При рассматриваемых условиях теплота может распространяться только вдоль оси x, и температурное поле будет  одномерным. 

 (1) 

Проинтегрировав (1) дважды, найдем:

 (2)

x = 0: t = t₁

: t = t₂

     - уравнение температурного поля.

Определим плотность теплового  потока через плоскую стенку. В  соответствии с законом Фурье  с учетом равенства (2) можно записать

- термическое сопротивление  плоской стенки.

Если стенка многослойная, то термическое сопротивление ее будет складываться из термических  сопротивлений каждого слоя и  сопротивлений контактов.  

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 Теплопередача через тело простой формы. Теплопередача через плоскую стенку. Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки при граничных условиях третьего рода. Стенка состоит из n слоев с известными толщинами и коэффициентами теплопроводности. Известны также контактные термические сопротивления между отдельными слоями. Теплоносители имеют температуры   и  , а интенсивность их теплообмена с поверхностями стенки определяется коэффициентами   и  .

При стационарном режиме теплообмена  плотности теплового потока от первого  теплоносителя к стенке, через  стенку и от стенки ко второму теплоносителю  одинаковы. Для многослойной плоской  стенки плотности теплового потока определяются выражениями:

 (1)

 (2)

 (3)

Выразив из этих уравнений  разности температур в явном виде и просуммировав, левые и правые части полученных равенств, найдем формулу для плотности теплового  потока:

,

где k коэффициент теплопередачи, который выражается равенством

 .

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи  , называется общим термическим сопротивлением

. 

 

Общее термическое сопротивление  складывается из внешних термических  сопротивлений  , внутренних термических сопротивлений отдельных слоев   и контактных термических сопротивлений между ними ( ).

Температуры крайних поверхностей стенки определяются из равенств (1) и (3):

;  .

Температуры на поверхностях отдельных слоев стенки рассчитываются по формулам теплопроводности. 

 

Задача стационарной теплопроводности 

 

Стационарная задача- модель, предполагающая отсутствие изменений  во времени, хотя они существуют.

Теплопроводность однослойной плоской стенки

(задача при  граничных условиях первого рода) 

 

Рассчитать  тепловые потери через оконное стекло за один час 

 

Предполагаем:

- остекление одинаково 

 

- температурное поле является  стационарным,  т.е. условия теплообмена не изменяются    достаточно длительный промежуток времени 

 

-считаем, что условия  теплообмена не  изменяются за заданный промежуток 

времени 

 

- считаем температуры  поверхностей постоянными, а поверхности

изотермическими 

 

- краевые эффекты вблизи  рам отсутствуют 

 

- материалом стекла  - изотропный  и однородный, а толщина постоянная 

 

-считаем, что стекло  является бесконечной пластиной,  т.е. толщина << других размеров  

 

 

 

 

 

Допущения           

 

-∞ пластины 

-температуры поверхностей  в первом приближении можно  прировнять к темпера-            

турам теплоносителей     

 

 

 

Математическая  модель 

 

Считаем, что задачу можно  решить с использованием одномерной краевой задачи теплопроводности в  стационарном случае с постоянными  свойствами.

            

Краевые условия : 

 

 

            Начальные условия:

 только при численном решении    ∂²t                                                            

∂²x

Граничные условия:

Условия первого рода

X=0   t=t_п1

X=δ   t=t_п2 

 

Геометрические условия: δ  

 

Физические условия: λ, ρ, с=const.  

 

Решение                   

gradt=const

t=C₁x+C₂     x=0   => C₁0+C₂=t_п1  =>C₂= t_п1                     

x= δ =>C₁δ+C₂=t_п2  => C₁= (t_п2- t_п1)/ δ 

 

  -  gradt=(t_п2- t_п1)/ δ 

 

t= t_п1+x(t_п2- t_п1)/ δ

 

 

 

Q= - λ*gradt*F*τ

Q= λ*(t_п1- t_п2)/ δ* F*τ = k*(t_п2- t_п1)* F*τ = (t_п2- t_п1)* F*τ/R_t 

 

k-коэффициент тепловой проводимости плоского слоя

R_t –термическое сопротивление плоского слоя 

 

Выводы: 

 

1 Температурное поле любого  тела в стационарном режиме  не зависит от свойств

материала, а зависит только от условий теплообмена. 

 

2 Тепловые потери через  твердое тело пропорциональны  коэффициенту теплопроводности  при прочих равных 

 

3   Тепловые потери в системе любых тел можно рассчитать по уравнению вида: 

 

q= k*(t₁-t₂) =  (t₁-t₂)/R_t

k- коэффициент теплообмена

R_t общее термическое сопротивление системы

t₁, t₂-характерные температуры 

 

пусть 

k=α                 =>q=α*( t_п- t_c)-закон Ньютона-Рихмана  

t₁=t_п  

t₂=t_c  

 

 

 

пусть 

k=k                =>q=α*( t_п1- t_п2)- тепловые потери через однослойную плоскую                                                             t₂=t_п2                                                              систему

t₁=t_п1                                                             

 

 

  

 

 

 

 

 

Расчет тепловых потерь за время лекции через остекление аудитории

 

t_ву=-5 ⁰C                            Q= - λ*gradt*F*τ=0.8*25/0.08*20*5*400≈3*10⁶ Дж

tв=20⁰C                            

λ=0.8                                  Для того, чтобы представить объем тепловых

δ=8  мм                              потерь, рассчитаем сколько литров воды можно

F=20 м²                                            вскипятить при помощи 3*10⁶ Дж энергии

                                    Q=c*m*∆t=3*10⁶  =>m=1000кг 

 

 

  

 

Теплопередача через  многослойную плоскую пластину 

 

Теплопередача-теплообмен между  двумя теплоносителями  через твердое тело

Q^’ –тепловой поток, который подводится от теплоносителя к твердому телу

В стационарном случае при  отсутствии источников теплоты

Для тепловых потоков справедливо:  

 

 [Дж]

Q’=Q₁=Q₂=…=Q_n=Q’’ [Вт]            

Для плотности тепловых потоков

q’= q₁=…=q_n=q’’  [Вт/м²]            

 

в сплошных телах площадь  теплообмена переменна, поэтому  плотности потоков будут различаться  

 

 

 

q’= α₁*( t_c1- t_п1)

q₁=-λ*gradt= α*( t_п1-t’)/δ

…

q’’= α*( t_п1- t_с2) 

 

получили систему n+2 уравнений (n-количество слоев)  с n+2 неизвестными =>

система имеет единственное решение

 

 

t_c1- t_п1=q/α₁

t_п1-t’= (δ₁/λ₁)*q                           + =>  t_c1- t_с2=q(1/ α₁+ δ₁/λ₁+…+1/α₂)

…                                                          

t_п1- t_с2=q/α₂ 

 

неизвестные температуры  находятся последовательной подстановкой q в уравнения системы. 

 

Пример                                                     

R_t=1/5+1/5+0.008/0.8=0.41

t_ву=-5 ⁰C

tв=20⁰C                                            Q=25/0,4*20*5400≈7*10⁶ Дж

λ=0.8 [Вт/м/К]

δ=8  мм

F=20 м²

τ=5400 

α₁=α₂ =5 [Вт/м²/К]                           

 

2. Обратимые и необратимые процессы

 

 

В изолированной термодинамической  системе через некоторый промежуток времени устанавливается внутреннее равновесие, при котором рабочее  тело по всей массе имеет одинаковую температуру и давление.

При равенстве давлений в  системе и в окружающей среде  изменение объема рабочего тела прекращается, и передача энергии в форме  работы отсутствует (система находится  в механическом равновесии со средой). Равенство температур рабочего тела и среды обеспечивает термическое  равновесие. При этом между системой и окружающей средой не возникает  передачи энергии в форме теплоты. Термодинамический процесс возможен только при нарушении механического или термического равновесия, и чем сильнее нарушается равновесие, тем быстрее протекает процесс. Все реальные термодинамические системы не изолированы от окружающей среды, которая выводит их из равновесия. Поэтому они являются неравновесными. Учитывая чрезвычайную сложность теплотехнических расчетов таких процессов, на практике их заменяют равновесными, то есть такими, при которых система проходит последовательно бесчисленное множество равновесных состояний. Эти равновесные процессы называют квазистатическими.

Рис. 5.1. Линии обратимых  прямого A-B и обратного B-A процессов  на pv-диаграмме

Для любой термодинамической  системы можно представить два  состояния, между которыми будет  проходить два процесса: один от первого состояния ко второму  и другой, наоборот, от второго состояния  к первому. Первый процесс называют прямым, второй — обратным. Если после  прямого процесса 1—2 следует обратный 2—1 и при этом термодинамическая система возвращается в исходное состояние, то такие процессы принято считать обратимыми. При обратимых процессах система в обратном процессе проходит через те же равновесные состояния, что и в прямом процессе. При этом ни в окружающей среде, ни в самой системе не возникает никаких остаточных явлений, то есть не имеет значения идет процесс А-В или В-А (рис. 5.1).