Современные представления о симметрии

 

 

Московский  Государственный Технический Университет  им. Н.Э.Баумана

 

ФАКУЛЬТЕТ «ИНЖЕНЕРНЫЙ БИЗНЕС И МЕНЕДЖМЕНТ»

 

 

 

Реферат на тему: «Современные представления о симметрии»

 

 

 

 

 

 

Студентка: Адекова Марианна Дмитриевна

 ИБМ 1 – 41

Преподаватель: Докукин Михаил Юрьевич

 

 

Москва 2012

 

 

 

Введение 

Одним из важных открытий  современного  естествознания является тот факт, что все многообразие окружающего нас физического мира связано с тем или иным  нарушением определенных видов  симметрий. Чтобы это утверждение стало более понятным, рассмотрим подробнее понятие  симметрии . «Симметричное обозначает нечто, обладающее хорошим соотношением пропорций, а  симметрия  – тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в целое. Красота тесно связана с  симметрией », - писал Г. Вейль в своей книге «Этюды о  симметрии ». Он ссылается при этом не только на пространственные соотношения, т.е. геометрическую  симметрию . Разновидностью симметрии  он считает гармонию в музыке, указывающую на акустические приложения симметрии .

Зеркальная  симметрия  в геометрии относится к операциям отражения или вращения. Она достаточно широко встречается в природе. Наибольшей  симметрией  в природе обладают кристаллы (например,  симметрия  снежинок, природных кристаллов), однако не у всех из них наблюдается зеркальная  симметрия . Известны так называемые оптически активные кристаллы, которые поворачивают плоскость поляризации падающего на них света. В общем случае  симметрия  выражает степень упорядоченности какой-либо системы или объекта. Например, круг более упорядочен и, следовательно, симметричен, чем квадрат. В свою очередь, квадрат более симметричен, чем прямоугольник. Другими словами, симметрия  – это неизменность (инвариантность) каких-либо свойств и характеристик объекта по отношению к каким-либо преобразованиям (операциям) над ним. Например, окружность симметрична относительно любой прямой (оси  симметрии ), лежащей в ее плоскости и проходящей через центр, она симметрична и относительно центра. Операциями симметрии  в данном случае будут зеркальное отражение относительно оси и вращение относительно центра окружности.

В широком смысле  симметрия  – это понятие, отображающее существующий в объективной действительности порядок, определенное равновесное состояние, относительную устойчивость, пропорциональность и соразмерность между частями целого. Противоположным понятием является понятие асимметрии, которое отражает существующее в объективном мире нарушение порядка, равновесия, относительной устойчивости, пропорциональности и соразмерности между отдельными частями целого, связанное с изменением, развитием и организационной перестройкой. Уже отсюда следует, что асимметрия может рассматриваться как источник развития, эволюции, образования нового. Симметрия  может быть не только геометрической. Различают геометрическую и динамическую формы  симметрии  (и, соответственно, асимметрии). К геометрической форме  симметрии  (внешние  симметрии ) относятся свойства пространства – времени, такие как однородность пространства и времени, изотропность пространства, эквивалентность инерциальных систем отсчета и т.д.

К  динамической форме относятся  симметрии , выражающие свойства физических взаимодействий, например,  симметрии  электрического заряда,  симметрии  спина и т.п. (внутренние  симметрии ).  Современная  физика, однако, раскрывает возможность сведения всех  симметрий  к геометрическим  симметриям .

1.  Симметрия  в науке и ее связь с законами  сохранения.

1.1. Симметрия в физике. Одной из важнейших особенностей геометрических  симметрий  является их связь с законами сохранения. Значение законов сохранения (законы сохранения импульса, энергии, заряда и др.) для науки трудно переоценить. Дело в том, что понятие  симметрии применимо к любому объекту, в том числе и к физическому закону.

Вспомним, что согласно принципу относительности Эйнштейна, все  физические законы имеют одинаковый вид в любых инерциальных системах отсчета. Это означает, что они  симметричны (инвариантны) относительно перехода от одной инерциальной системы  к другой.

Теорема Нетер. Наиболее общий подход к взаимосвязи  симметрий  и законов сохранения содержится в знаменитой теореме Э. Нетер. В 1918 г., работая в составе группы по проблемам теории относительности, доказала теорему, упрощенная формулировка которой гласит: если свойства системы не меняются относительно какого-либо преобразования переменных, то этому соответствует некоторый закон сохранения.

Рассмотрим переходы от одной  инерциальной системы к другой. Поскольку  есть разные способы таких переходов, то, следовательно, есть различные виды  симметрии, каждому из которых, согласно теореме Нетер, должен соответствовать закон сохранения.

Переход от одной инерциальной системы (ИСО) к другой можно осуществлять следующими преобразованиями:

1. Сдвиг начала координат.  Это связано с физической эквивалентностью  всех точек пространства, т.е.  с его однородностью. В этом  случае говорят о  симметрии относительно переносов в пространстве.

2. Поворот тройки осей  координат. Эта возможность обусловлена  одинаковостью свойств пространства во всех направлениях, т.е. изотропностью пространства и соответствует симметрии  относительно поворотов.

3. Сдвиг начала отсчета  по времени, соответствующий  симметрии  относительно переноса по времени. Этот вид  симметрии  связан с физической эквивалентностью различных моментов времени и однородностью времени, т.е. его равномерным течением во всех инерциальных системах –отсчета. Смысл эквивалентности различных моментов времени заключается в том, что все физические явления протекают независимо от времени их начала (при прочих равных условиях).

4. Равномерное прямолинейное  движение начала отсчета со  скоростью V, т.е. переход от покоящейся системы к системе, движущейся равномерно и прямолинейно.

Это возможно, т.к. такие системы  эквивалентны. Такую  симметрию  условно называют изотропностью пространства-времени. Переход же осуществляется с помощью преобразований Галилея или преобразований Лоренца. (Важно отметить, что физические законы не являются симметричными относительно вращающихся систем отсчета. Вращение замкнутой системы отсчета можно обнаружить по действию центробежных сил, изменения плоскости качания маятника и др. Кроме того, физические законы не являются симметричными и относительно масштабных преобразований систем – т.н. преобразований подобия. Поэтому законы макромира нельзя автоматически переносить на микромир и мегамир.)

Описанные выше 4 вида  симметрии  являются универсальными. Это означает, что все законы природы относительно них инвариантны с большой степенью точности, а соответствующие им законы являются фундаментальными. К этим законам относятся соответственно:

1. Закон сохранения импульса  как следствие однородности пространства.

2. Закон сохранения момента  импульса как следствие изотропности пространства.

3. Закон сохранения энергии  как следствие однородности времени.

4. Закон сохранения скорости центра масс (следствие изотропности

пространства-времени).

Как уже было сказано ранее, описанные виды  симметрий  относятся к геометрическим. Связь с законами сохранения обнаруживают и динамические симметрии. С динамическими симметриями  связан закон сохранения электрического заряда (при превращении элементарных частиц сумма электрических зарядов частиц остается неизменной), закон сохранения лептонного заряда (при превращении элементарных частиц сумма разность числа пептонов и антилептонов не меняется) и т.д.

Так закон сохранения электрического заряда вытекает из электромагнитной калибровочной  симметрии. Ее суть состоит в том, что при масштабных преобразованиях силовые характеристики электромагнитного поля (напряженность электрического поля и индукция магнитного поля B остаются неизменными. Из этого закона вытекает, в частности, устойчивость электрона – самой мелкой фундаментальной заряженной частицы, способной существовать в свободном состоянии.

При рассмотрении действия тех или иных фундаментальных  законов не следует забывать, что  каждому виду  симметрии  соответствует своя асимметрия.

Асимметричные условия исключают  наличие резкой грани между законами и условиями их действия. Поэтому  содержание законов всегда должно включать определенные моменты асимметричных  условий.

1.2. Симметрия в химии. Симметрия молекул - совокупность операций симметрии, применение которых переводит молекулу в физически тождественный объект (саму в себя). Операциями симметрии молекул считаются преобразования пространства и времени, а также перестановки тождественных частиц. Выполнение операций симметрии молекул оставляют без изменений уравнения, выражающие физические законы; иными словами, эти уравнения инвариантны относительно операций симметрии. При последовательном выполнении нескольких операций симметрии инвариантность сохраняется на каждом шаге; операции симметрии образуют в материальном смысле группу. В частности, физические законы должны быть сформулированы так, чтобы они отражали постулируемые на основании опытных данных однородность и изотропность пространства и неразличимость тождественных частиц.

Операции симметрии молекул. В отсутствие внешних сил произвольные трансляции (линейные движения в пространстве без вращения) и повороты молекулы как целого не меняют ее свойств и не меняют вид уравнений, определяющих ее поведение; это находит отражение в сохранении полного импульса молекулы и ее момента импульса. Операциями симметрии молекулы как пространственного тела, совмещающегося при таких операциях со своей исходной конфигурацией, являются: 1) повороты вокруг оси симметрии на угол 2pk/n (обозначаются ), где k и n-целые числа (k и); эта ось называется осью вращения n-го порядка; 2) отражения в плоскости (обозначаются s); 3) зеркальные повороты (обозначаются ), которые сводятся к поворотам Ckn и последующему отражению в плоскости sn, перпендикулярной оси вращения; 4) инверсия относительно начала системы координат, когда все координаты x, у и z переходят в — x, — у и — z соотв. (обозначается i или E*). К. числу операций симметрии относят и тождественную (тривиальную) операцию, оставляющую пространственное тело без изменений (обозначается E).

В рамках классического представлений о строении молекул свойства симметрии рассматривают прежде всего для равновесных конфигураций ядер. Например, линейная молекула СО2 переходит сама в себя при любых поворотах вокруг ее оси и при отражении в плоскости, перпендикулярной этой оси и проходящей через атом С; молекула СН4 имеет симметрию правильного тетраэдра и т.п. В квантовой механике в наиболее общем смысле симметрия молекул определяется той группой преобразований, по отношению к которым инвариантно уравнение Шрёдингера , или в релятивистской квантовой теории - уравнение Дирака либо уравнение Брейта-Паули. Каждая группа преобразований носит название группы соответствующего уравнения (например, группы уравнения Шрёдингера ). Эти группы включают: а)произвольные трансляции и повороты свободных молекулы как целого; б) инверсию координат всех частиц относительно центра масс молекулы; в) обращение времени, эквивалентное обращению знака у всех операторов импульса и момента импульса; г) перестановки тождественных частиц, например, электронов; д) все операции точечной группы симметрии, при которых совмещается сама с собой ядерная конфигурация молекулы. Основную роль играют перестановки тождественных частиц и операции точечной группы симметрии, при которых совмещается сама с собой ядерная конфигурация молекулы, а также инверсия, поскольку именно они специфичны для каждой конкретной молекулы.

1.3. Симметрия в биологии. Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором, как отмечал академик В. И. Вернадский (1863—1945), «слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений". «Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мери и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм". Это слова другого нашего замечательного соотечественника, посвятившего изучению симметрии всю свою долгую жизнь, академика А. В. Шубникова (1887—1970). Геометрический объект или физическое явление считаются симметричными, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными. Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72° (360° : 5), займет первоначальное положение, а ваш будильник одинаково звенит в любом углу комнаты.

Первый пример дает понятие  об одном из видов геометрической симметрии — поворотной, а второй иллюстрирует важную физическую симметрию  — однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства. Благодаря последней симметрии все физические приборы (в том числе и будильник) одинаково работают в разных точках пространства, если, конечно, не изменяются окружающие физические условия. Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы эта симметрия была нарушена! Итак, в современном понимании симметрия — это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем. Важнейшим свойством симметрии является сохранение (инвариантность) тех или иных признаков (геометрических, физических, биологических и т. д.) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Математическим аппаратом изучения симметрии сегодня является теория групп и теория инвариантов. Во всех случаях, когда отрезки прямой, плоские фигуры или пространственные тела были подобными, но без дополнительных действий совместить их было нельзя, «практически» нельзя, мы встречались с явлением симметрии. Эти элементы соответствовали друг другу, как картина и ее зеркальное отражение. Как левая и правая рука. Если мы возьмем на себя труд заглянуть в «Современный словарь иностранных слов», то обнаружим, что под симметрией понимается «соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра... такое расположение точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии...» В математике слово «симметрия» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметрические матрицы). В логике существуют симметричные отношения. Важную роль играет симметрия в кристаллографии. Интересно интерпретируется понятие симметрии в биологии. Там описывается шесть различных видов симметрии. Мы узнаем, например, что гребневики дисимметричны, а цветки львиного зева отличаются билатеральной симметрией. Мы обнаружим, что симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит здесь от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично.

Виды симметрии. В отличие от искусства или техники, красота в природе не создаётся, а лишь фиксируется, выражается. Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. К числу таких образов относятся некоторые кристаллы, многие растения. В конформной (круговой) симметрии главным преобразованием является инверсия относительно сферы. Для простоты возьмём круг радиуса R с центром в точке O. Инверсия этого круга определяется как такое преобразование симметрии, которое любую точку P переводит в точку P", лежащую на продолжении радиуса, проходящего через точку P на расстоянии от центра: OP"=R2 / OP Конформная симметрия обладает большой общностью. Все известные преобразования симметрии: зеркальные отражения, повороты, параллельные сдвиги представляют собой лишь частные случаи конформной симметрии. Главная особенность конформного преобразования состоит в том, что оно всегда сохраняет углы фигуры и сферу и всегда переходит в сферу другого радиуса. Порассуждаем о зеркальной симметрии. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична. Сначала представляется, что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль. В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо. Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся «нечитабельными». Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла.