Вероятностные сети

2.3.Алгоритм метода РЕRТ

Алгоритм метода РЕRТ аналогичен анализу сетевого графа с фиксированными значениями продолжительности операций.

1.Составить список всех  операций, входящих в проект, с  указанием непосредственно предшествующих  операций, а также оптимистического, наиболее вероятного и пессимистического  сроков их выполнения.

2. Построить сетевой граф.

3.В предположении, что  время выполнения любой операции  аппроксимируется          

р-распределением, оценить для каждой операции ожидаемое время ее выполнения и его дисперсию.

4. Используя ожидаемые  значения сроков выполнения операций, найти продолжительность проекта  в целом.

5. Определить критические  операции и критический путь.

6. С помощью значений дисперсии  для критических операций оценить  дисперсию ожидаемой продолжительности  всего проекта.

 

 

 

2.4. Задача

Задача1.

Компания с ограниченной ответственностью «Jubilee Computer Systems Ltd» выполняет заказ, полученный от ее потребителя. Необходимая информация приведена в таблице 1

Таблица1

оперция	непосредственно предшествующие операции	срок, дней			стоимость для ожидаемой  продолжительности ф.ст.
		оптимистический	наиболее вероятный	пессимистический
A	-	3	4	5	1000
B	-	4	7	10	1400
C	-	4	5	6	2000
D	A	5	6	7	1200
E	B	2	2,5	6	900
F	C	10	10,5	14	2500
G	D,E	3	4	5	800
H	G,F	1	2	9	300

Косвенные издержи, связанные  с выполнением проекта, составляют 300 ф.ст. в день. В контракте, заключенном  с потребителем, оговорено, что если заказ не будет выполнен в течение 15 дней, сумма штрафа составит 100 ф.ст. за каждый последующий день. Требуется:

1. Построить сетевой граф. Каково ожидаемое значение времени выполнения всего проекта? Каково значение соответствующей стоимости?
2. Какой пусть в графе является критическим? Прокомментируйте продолжительности некритического путей.
3. Какая вероятность того, что проект будет завершен без выплаты штрафов?

Решение :

1. Для начала построим сетевой граф. Он будет выглядеть таким образом:

 

 

 

 

 

 

Рисунок-2

2. Рассчитываем ожидаемое значение выполнение операций. Для это воспользуемся формулой (1) и рассчитаем сразу же дисперсию дней выполнения проекта по формуле (2). Все данные представим в виде таблице 2.

Таблица 2

Операция	ожидаемые сроки	Дисперсия, дней
A	4	1/9
B	7	1
C	5	1/9
D	6	1/9
E	3	4/9
F	11	4/9
G	4	1/9
H	3	16/9

По данным в таблице 2 составим сетевой граф и вычислим прямым и  обратным ходом ожидаемое время  выполнения всего проекта. После  вычисление мы получаем граф со следующими

данными:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок-3

на сетевой модели показаны данные. На основании их можно сказать  ,что ожидаемое выполнение всего проекта составит 19 дней. По данным в таблице 1 можно сказать, сколько будет стоить этот проект.

Стоимость=(1000+1400+2000+1200+900+2500+800+300)+300*19+100*3=16100

3. Критический путь в сетевой модели является C,F,H. Для сравнения приведем другие пути: A,D,G,H составит 17. B,E,G,H составит 17. Так как разница составляет всего 2 дня то изменение одной операции приведет к увеличению всего проекта.
4. Дисперсия ожидаемого выполнения всего проекта определяется как сумма дисперсий критических путей

 

Следовательно,

 

Стандартное отклонение времени  выполнения всего проекта составит:

 

Вероятность того, что выполнение проекта займет 15 дней, можно найти следующим образом: Пятнадцать дней составляют z стандартных отклонений от среднего, где:

По таблице стандартного нормального распределения находим:

Р (z ) =-0,4953.

Следовательно, вероятность  того, что выполнение проекта будет завершен без выплат штрафов, равна: -0,4953+0,5=0,0047   или 0,47%

 

 

Заключение

Сетевой анализ используется при разработке и планировании проектов. Он предполагает разбиение проекта  на отдельные виды работ или операции. Логическая взаимосвязь между операциями изображается с помощью сетевого графа. На основе значений сроков выполнения операций производится расчет общей  продолжительности проекта, возможных  сроков начала и окончания каждого  вида работ и определяются операции, принадлежащие критическому пути.

Операции в сетевых  графах можно изображать либо с помощью  стрелок, либо с помощью узлов. Альтернативным методом изображения сети операций является график Ганта, в котором  используется шкала времени.

Сроки выполнения операций могут быть подвержены влиянию неопределенности. В этом случае для анализа проекта  можно использовать метод оценки и пересмотра проектов (РЕRТ), основанный на предпосылке об аппроксимации сроков выполнения операций р-распределением с минимальным значением а, наиболее вероятным значением m и максимальным значением b. Ожидаемая продолжительность операции в методе РЕRТ рассчитывается по следующей формуле:  

, а соответствующая дисперсия  равна 

Продолжительность выполнения проекта имеет нормальное распределение, среднее значение которого равно  сумме значений ожидаемых сроков выполнения операций, принадлежащих  критическому пути. Дисперсия данного  нормального распределения есть сумма дисперсий критических  операций. Распределение времени  выполнения проекта в целом используют в расчетах вероятности завершения проекта к заранее заданному  сроку.

 

 

 

Список использованной литературы

1. В.К. Буторин, В. В. Карпов. Прикладной системный анализ: сетевой анализ и календарное планирование проектов, метод прогнозного графа: Учеб. Пособие, Кемерово ,2002г.
2. Л.С. Костевич . Математическое программирование ,Минск ООО «новое знание»,2003г. [гл. 8]
3. В.Ш.Трофимова. Исследование операций: методы и модели сетевого планирования и управления- Учеб. Пособие, Магнитогорск,2009г.

 

 

Приложение А

Таблица значений интегральной функции Лапласа

x	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)	x	Ф(х)
0,00	0,0000	0,50	0,1915	1,00	0,3413	1,50	0,4332	2,00	0,4772	3,00	0,49865
0,01	0,0040	0,51	0,1950	1,01	0,3438	1,51	0,4345	2,02	0,4783	3,20	0,49931
0,02	0,0080	0,52	0,1985	1,02	0,3461	1,52	0,4357	2,04	0,4793	3,40	0,49966
0,03	0,0120	0,53	0,2019	1,03	0,3485	1,53	0,4370	2,06	0,4803	3,60	0,499841
0,04	0,0160	0,54	0,2054	1,04	0,3508	1,54	0,4382	2,08	0,4812	3,80	0,499928
0,05	0,0199	0,55	0,2088	1,05	0,3531	1,55	0,4394	2,10	0,4821	4,00	0,499968
0,06	0,0239	0,56	0,2123	1,06	0,3554	1,56	0,4406	2,12	0,4830	4,50	0,499997
0,07	0,0279	0,57	0,2157	1,07	0,3577	1,57	0,4418	2,14	0,4838	5,00	0,499997
0,08	0,0319	0,58	0,2190	1,08	0,3599	1,58	0,4429	2,16	0,4846
0,09	0,0359	0,59	0,2224	1,09	0,3621	1,59	0,4441	2,18	0,4854
0,10	0,0398	0,60	0,2257	1,10	0,3643	1,60	0,4452	2,20	0,4861
0,11	0,0438	0,61	0,2291	1,11	0,3665	1,61	0,4463	2,22	0,4868
0,12	0,0478	0,62	0,2324	1,12	0,3686	1,62	0,4474	2,24	0,4875
0,13	0,0517	0,63	0,2357	1,13	0,3708	1,63	0,4484	2,26	0,4881
0,14	0,0557	0,64	0,2389	1,14	0,3729	1,64	0,4495	2,28	0,4887
0,15	0,0596	0,65	0,2422	1,15	0,3749	1,65	0,4505	2,30	0,4893
0,16	0,0636	0,66	0,2454	1,16	0,3770	1,66	0,4515	2,32	0,4898
0,17	0,0675	0,67	0,2486	1,17	0,3790	1,67	0,4525	2,34	0,4904
0,18	0,0714	0,68	0,2517	1,18	0,3810	1,68	0,4535	2,36	0,4909
0,19	0,0753	0,69	0,2549	1,19	0,3830	1,69	0,4545	2,38	0,4913
0,20	0,0793	0,70	0,2580	1,20	0,3849	1,70	0,4554	2,40	0,4918
0,21	0,0832	0,71	0,2611	1,21	0,3869	1,71	0,4564	2,42	0,4922
0,22	0,0871	0,72	0,2642	1,22	0,3883	1,72	0,4573	2,44	0,4927
0,23	0,0910	0,73	0,2673	1,23	0,3907	1,73	0,4582	2,46	0,4931
0,24	0,0948	0,74	0,2703	1,24	0,3925	1,74	0,4591	2,48	0,4934
0,25	0,0987	0,75	0,2734	1,25	0,3944	1,75	0,4599	2,50	0,4938
0,26	0,1026	0,76	0,2764	1,26	0,3962	1,76	0,4608	2,52	0,4941
0,27	0,1064	0,77	0,2794	1,27	0,3980	1,77	0,4616	2,54	0,4945
0,28	0,1103	0,78	0,2823	1,28	0,3997	1,78	0,4625	2,56	0,4948
0,29	0,1141	0,79	0,2852	1,29	0,4015	1,79	0,4633	2,58	0,4951
0,30	0,1179	0,80	0,2881	1,30	0,4032	1,80	0,4641	2,60	0,4953
0,31	0,1217	0,81	0,2910	1,31	0,4049	1,81	0,4649	2,62	0,4956
0,32	0,1255	0,82	0,2939	1,32	0,4066	1,82	0,4656	2,64	0,4959
0,33	0,1293	0,83	0,2967	1,33	0,4082	1,83	0,4664	2,66	0,4961
0,34	0,1331	0,84	0,2995	1,34	0,4099	1,84	0,4671	2,68	0,4963
0,35	0,1368	0,85	0,3023	1,35	0,4115	1,85	0,4678	2,70	0,4965
0,36	0,1406	0,86	0,3051	1,36	0,4131	1,86	0,4686	2,72	0,4967
0,37	0,1443	0,87	0,3078	1,37	0,4147	1,87	0,4693	2,74	0,4969
0,38	0,1480	0,88	0,3106	1,38	0,4162	1,88	0,4699	2,76	0,4971
0,39	0,1517	0,89	0,3133	1,39	0,4177	1,89	0,4706	2,78	0,4973
0,40	0,1554	0,90	0,3159	1,40	0,4192	1,90	0,4713	2,80	0,4974
0,41	0,1591	0,91	0,3186	1,41	0,4207	1,91	0,4719	2,82	0,4976
0,42	0,1628	0,92	0,3212	1,42	0,4222	1,92	0,4726	2,84	0,4977
0,43	0,1664	0,93	0,3238	1,43	0,4236	1,93	0,4732	2,86	0,4979
0,44	0,1700	0,94	0,3264	1,44	0,4251	1,94	0,4738	2,88	0,4980
0,45	0,1736	0,95	0,3289	1,45	0,4265	1,95	0,4744	2,90	0,4981
0,46	0,1772	0,96	0,3315	1,46	0,4279	1,96	0,4750	2,92	0,4982
0,47	0,1808	0,97	0,3340	1,47	0,4292	1,97	0,4756	2,94	0,4984
0,48	0,1844	0,98	0,3365	1,48	0,4306	1,98	0,4761	2,96	0,4985
0,49	0,1879	0,99	0,3389	1,49	0,4319	1,99	0,4767	2,98	0,4986