Моделирование теплового поля однородного стержня

Министерство образования и науки РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра КТРС

Пояснительная записка

к расчетно-графической работе по дисциплине:

«Моделирование и автоматическое проектирование устройств связи»

РГЗ№1

«Моделирование теплового поля

однородного стержня»

 

 

 

Факультет: РЭФ

Группа: РКС10- 01

Студент: Предводителева Я. К

Преподаватель: Девятков Г.Н.

 

 

 

 

Новосибирск, 2014

 

Содержание:

 

1. Задание……………………………………………………………………………………2
1. Исходные данные……………………………………………………………2
2. Постановка задачи…………………………………………………………..2
3. Формализация задачи………………………………………………………..2
4. Условия задачи………………………………………………………………3
5. Алгоритм численного решения и его описание…………………………..3
2. Расчетная часть………………………………………………………………………….5
3. Заключение……………………………………………………………………………...11
4. Список используемой литературы…………………………………………………….12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Задание

 

1. Исходные данные

Метод решения задачи	Метод явных разностных схем
, с	5
Длина стержня , м	9
,°С	80
,°С	0
С, МДж/м³К	2.4
К, Дж/мКс	200

 

-температура окружающей среды, материал стержня алюминий (коэффициент  теплоёмкости С=2,4 МДж/м³К, теплопроводимости К=200Дж/мКс).

 

 

2. Постановка задачи:

Рассмотрим однородный стержень длиной L, один конец которого соединен с идеальным теплопроводом (рис.1). В момент времени к свободному концу стержня прикладывается «тепловая ступенька». Считаем что мощность источника тепла достаточна для поддержания постоянной температуры на свободном конце стержня, а отвод тепла происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении.

Цель:Требуется формализовать задачу, получив уравнения теплопроводности непосредственно в конечных разностях, и решить ее методом явных разностных схем, определив температурный профиль по длине   стержня в заданный момент времени .

 

 

 

 

3. Формализация задачи

Данная задача  является одномерной, так как по условию отвод тепла происходит только за счет теплопроводности стержня в продольном направлении, т.е. тепловые потоки в поперечных направлениях стержня равны нулю. Выделив из стержня элементарный объем (Рис.2), запишем уравнение баланса количества теплоты, предварительно разделив обе части уравнения на объем элемента и рассматриваемый период времени τ:

 

 

 

 

    ,        (1)

где Jx+ , Jx-   - удельные плотности входящего и выходящего тепловых потоков;

       hx           - длина элементарного объема;

       θis+1- θis  - приращение температуры элементарного объема i за время  τ;

       S             -номер шага по времени (номер временного слоя).

Считая, что свойства среды линейны, на основании закона Фурье уравнение (1) можно записать, выразив соответствующие потоки Jx+ , Jx- через разности температур соседних объемов, в явной форме:

,           (2)

Уравнение (2) содержит одну неизвестную .

 

4. Условия задачи

Граничные условия задачи

 

Считаем, что в любой момент времени температура свободного конца стержня равна θ1, а закрепленного в теплоотводе θср (рис.3).

 

Начальные условия задачи

 

Будем считать, что в момент времени температура во всех внутренних узлах модели равна θср(рис.3).

 

5. Алгоритм численного решения и его описание

Уравнение (2) преобразуется относительно единственной неизвестной :

,     (4)

Соответствующая разностному уравнению (4) форма расчётной ячейки показана на рис.3. Расчётная ячейка позволяет наглядно представить, значения температур каких узлов следует подставлять в уравнение (4) при вычислении неизвестной . Для простоты принимаем . Так как граничные и начальные значения нам не известны, то, передвигая ячейку из одного крайнего положения в другое по оси Х, можно определить значения на неизвестном временном слое S+1.

Рис. 3. Форма расчетной ячейки в случае неявной разностной схемы и ее начальное положение в момент времени t=t0.

 

Схема алгоритма решения задачи показана на рис. 4:

Рис. 4. Схема алгоритма решения задачи с помощью явной разностной схемы

 

 

2. Расчетная часть.

Прежде, чем проводить вычисления, выберем шаги

и по координатам.

Параметр для явных разностных схем выбирают из условия устойчивости вычислительного процесса, которое легко получить, исследуя уравнение (4) с помощью спектрального признака устойчивости:

        (5)

Параметр нужно выбирать из условия заданной точности решения. Возьмём по длине стержня 8 узлов (рис.3),  и мы получим приемлемую точность:

м

 

Чтобы попасть в заданный момент времени Тз = 5с, и исходя из условия (5)выберем и подставим в уравнение (4):

 

Найдем количество временных слоев:

 

Вычислим значение температуры во всех точках слоя

S1

 

 

 

S2

 

 

 

 

S3

 

 

 

 

S4

 

 

 

 

 

S5

 

 

 

 

 

 

 

S6

 

 

 

 

 

 

 

S7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В итоге получаем таблицу ответов:

 

Счетчик циклов
L	S
	0	1	2	3	4	5	6	7
	Вычисления
	80	80	80	80	80	80	80	80
	0	37.663	39.863	48.339	49.81	53.682	54.78	57.021
	0	0	17.731	19.803	27.844	29.696	34.32	35.878
	0	0	0	8.347	9.811	15.532	17.17	21.146
	0	0	0	0	3.93	4.848	8.466	9.704
	0	0	0	0	0	1.85	2.391	4.536
	0	0	0	0	0	0	0.871	1.176
	0	0	0	0	0	0	0	0.41
	0	0	0	0	0	0	0	0

На основании расчётов построим график температурного профиля по длине стержня в момент времени .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем численное значение

так, чтобы условие устойчивости было нарушено:

 

 

Выберем (следовательно Smax=5) и подставим в уравнение (4):

 

 

В итоге получаем таблицу ответов:

 

Счетчик циклов
L	S
	0	1	2	3	4	5
	Вычисления
	80	80	80	80	80	80
	0	52.675	35.984	64.109	40.724	74.817
	0	0	34.683	12.703	53.223	10.692
	0	0	0	22.837	1.128	44.587
	0	0	0	0	115.036	-4.022
	0	0	0	0	0	9.901
	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0

 

На основании расчётов построим график температурного профиля по длине стержня в момент времени .

При (нарушении условия устойчивости) наблюдаем неравномерное распределение температур в разные моменты времени по всей длине стержня, а также появляются температуры меньше 0 , что недопустимо. Таким образом, таблица ответов неверна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Заключение
1. Метод решения задачи теплопроводности является достаточно универсальным, в задаче можно задавать любые начальные и граничные условия.
2. В процессе решения получается полная картина распределения температуры по всей области стержня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

1. Девятков Г.Н. Информационные технологии проектирования радиоэлектронных средств

Методические указания к расчетно-графическим и курсовой работам для студентов IV курса РЭФ (направление21200, специальности 210201, 210404) дневного и заочного отделений, Новосибирск 2011.