Контрольная работа по «Теории электрической связи»

Задача 1

Запишите формулы для расчета спектральных коэффициентов ряда Фурье в тригонометрической форме. Вычислите спектральные коэффициенты для сигнала, приведенного на рис. 1. Интервал разложения равен [-τ/2; τ/2]. Число спектральных коэффициентов n = 5.

Рисунок 1 - Временная  диаграмма   сигнала

Длительность импульса τ = 20*10-3 с

 

Решение:

Любую периодическую функцию u(t)=(t+nT), удовлетворяющую в пределах  периода условиям Дирхле, можно представить в виде ряда Фурье:

В выражениях (1) и (2):

Т – период сигнала (здесь Т=τ),

ω1 = 2π/T

n – номер первой гармоники.

Ряд (1) можно записать в другой форме:

Отдельные составляющие этой функции называют гармониками. Коэффициенты ряда определяют по следующим формулам:

Величина U0 называется постоянной составляющей. Она равна среднему значению функции за период.:

Зависимость амплитуд гармоник от частоты ω или от номера гармоник n называют амплитудным спектром сигнала. Зависимость начальных фаз гармоник от частоты или от номера гармоник называют фазовым спектром сигнала.

По формулам (2) и (6) определим постоянную составляющую и 5 коэффициентов ряда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты Bn будут равны нулю, т.к. заданный сигнал симметричен оси ОУ. Если бы сигнал был симметричен относительно начала координат, то нулю были бы равны коэффициенты An.

 

Задача 2

Для сигнала с параметрами:

ak=5,

T=40 мс,

 

найти спектральную плотность и амплитудный спектр сигнала. Постройте временную и спектральную диаграммы сигнала.

Решение:

Так как функция сигнала представлена в общем виде ряда Фурье и по заданию известен только коэффициент ak, при чем неизвестно при каком значении k, то невозможно построить временную и определить амплитудный спектр сигнала. Если коэффициенты ak и bk брать как константы, то все частоты в спектре относительно ω0 будут равны 2ω0, 3 ω0,...,k ω0 c постоянной амплитудой. Спектр сигнала будет равномерный и дискретный, сигнал будет представлять собой бесконечную последовательность периодически следующих функций с периодом Т.

Для разложения в спектр непериодического сигнала используется прямое преобразование Фурье (интеграл Фурье)

 

              (7)

где u(t) - функция, описывающая сигнал.

Вычислим спектральную плотность в общем виде, подставляя заданный сигнал         в выражение (7):

Используя выражение δ-функции и формулы Эйлера

    

получим окончательное выражение для спектральной плотности:

подставим исходные данные:

Эта функция равна нулю для всех частот, кроме ω=ω1 и ω=-ω1, при которых F(щ) обращается в бесконечность. Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность при дискретных частотах ω=ω1 и ω=-ω1.

Построим спектральную диаграмму сигнала (рисунок 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2 – Спектральная диаграмма сигнала

 

Задача 3

Дайте определение автокорреляционной функции (АКФ) сигнала и запишите формулу для её расчета.

Для сигнала изображенного на рисунке 3 с параметрами:

τ = 3.4 мс,

T = 6.8 мс,

определить АКФ графическим способом.

Рисунок 3 – Вид сигнала

 

Решение:

Для количественного определения степени отличия сигнала U(t)  и его смещённой во времени копии   принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала U(t), равную скалярному произведению сигнала и его сдвинутой копии.

         (8)

Свойства АКФ:

1) При  автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

           (9)

2) АКФ – функция чётна

          (10)

3) Важное свойство автокорреляционной  функции состоит в следующем: при любом значении временного  сдвига  модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

4) Обычно, АКФ представляется  симметричной линей с центральным  максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от  вида сигнала U(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающей, так и колеблющийся характер.

Определим АКФ сигнала изображенного на рисунке 3 графическим способом (Рисунок 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4 – АКФ представленного сигнала

Так как АКФ является симметричной относительно оси ОУ, то правую часть функции построим методом зеркального отображения ее левой части. в результате получим АКФ одиночного видеоимпульса.

Рисунок 5 – АКФ одиночного видеоимпульса

Рисунок 6 – АКФ последовательности из 3- импульсов

 

Задание 4

Приведите формулу для определения энергии. Определите энергию сигнала u(t) = с параметрами:

f0 = 55 кГц

 

Интервал времени существования сигнала -∞ < t < ∞

Формула для определения энергии сигнала

(11)

Энергию сигнала так же можно получить через спектральную плотность энергии равенством Персифаля

(12)

 

где S(jω) – спектральная плотность сигнала.

Подставив в формулу (10) заданный сигнал найдем его энергию

 

 

 

 

Задача 5

Составьте структурную электрическую схему модулятора шумоподобного сигнала (ШПС), включающую и генератор ШПС. Опишите работу модулятора. В ячейках регистра сдвига генератора ШПС до подачи тактовых импульсов хранятся кодовые комбинации (1,0,1,0,0). Электронный ключ модулятора подключен к ячейке регистра, номер которой соответствует номеру группы р потока. Определите кодовую комбинацию на выходе генератора после поступления 10–p тактовых импульсов и период M последовательности, если длительность каждого импульса на выходе генератора , мкс. Рассчитать ширину спектра сигнала на выходе генератора ШПС.

Решение:

Рассмотрим амплитудный модулятор ШПС. Структурная схема приведена на рисунке 7.

Генератор ШС выдает шумоподобную последовательность u1(t). Формируется эта последовательность с помощью линейных схем на основе сдвигающих регистров. По заданию сдвигающий регистр состоит их пяти триггеров, которые выполняют роль дискретных элементов задержек, и сумматора. На триггеры поступают сдвигающие импульсы. Они следуют с тактовой частотой 1/τ0. Каждый тактовый импульс вызывает изменение состояний (напряжения на выходе) всех триггеров. при этом, напряжение на выходе каждого триггера (символ) становится равным напряжению (символу) на его входе для предыдущего такта. Символы могут принимать два значения (1 и 0). При суммировании любых комбинаций входных символов на выходе сумматора (сумматор по модулю 2) получаются только символы 1 и 0. Через управляемый тактовыми импульсами ключ генератор ШПС подключен к смесителю. Когда ключ замкнут в смесителе последовательность модулируется по амплитуде сигналом cos(ω0t). На выходе получается амплитудно-модулированная шумоподобная последовательность. Работа модулятора показана на рисунке 8.

Рисунок 8 – модулирование ШП сигнала.

Выходом генератора ШП может служить выход любой триггерной ячейки. Согласно заданию, электронный ключ модулятора подключен ко второму триггеру.

Рисунок 9 – Функциональная схема генератора ШС.

В ячейках регистра сдвига до подачи тактовых импульсов хранится кодовая комбинация 1,0,1,0,0 (“С”). На выходе схемы Mod 2 присутствует сигнал, определяемый состояниями триггеров 4 и 5. Так как эти состояния одинаковы, то на выходе схемы Mod 2присутствует 0. После прихода тактового импульса происходит смена состояний триггеров, а именно в триггеры со второго по пятый записываются значения впереди стоящих триггеров, в триггер 1 записывается значение с выхода схемы Mod 2. Данное состояние соответствует второй строке таблицы 1. Значение выходного сигнала определяется состоянием триггера 2.

Определим кодовую комбинацию на выходе генератора после поступления 8 тактовых импульсов. Все состояния схемы сведены в таблице 1.

Таблица 1.

Номер такта	Значение на выходе триггера
	Рг1	Рг2	Рг3	Рг4	Рг5
1	1	0	1	0	0
2	0	1	0	1	0
3	1	0	1	0	1
4	1	1	0	1	0
5	1	1	1	0	1
6	1	1	1	1	0
7	1	1	1	1	1
8	0	1	1	1	1

 

За время подачи 8 тактовых импульсов на выходе генератора сформировалась следующая последовательность:

U=01011111

Длительность импульса ШПС:

 

 

Период шумоподобной последовательности:

 

 

Период повторения:

с

Ширина спектра на выходе генератора

 Гц

 

Задача 6

Для заданного конечного числа выборочных значений сигнала и числа выборочных значений импульсной характеристики линейного дискретного фильтра

 

Входной сигнал	Импульсная характеристика
0,0,1,1,1	1,1,1,0,0

Найти:

– коэффициенты дискретного преобразования Фурье;

– коэффициенты передачи линейного дискретного фильтра;

– z – преобразование выборочных значений на входе фильтра и на выходе фильтра;

– z – преобразование выборочных значений импульсной характеристики.

Решение:

Последовательность коэффициентов, образующих дискретное преобразование Фурье (ДПФ) сигнала, рассчитывается по формуле:

,

 

(13)

 

где N – количество отсчетов.

Используя эту формулу вычисляем коэффициенты:

 

 

 

 

В частотной области цифровой фильтр характеризуется коэффициентом передачи:

,

(14)

 

где, hk – коэффициенты импульсной характеристики,

Δ – интервал дискретизации.

Подставляя в (14) отсчеты импульсной характеристики, получим комплексную передаточную функцию:

 

 

Z-преобразованием последовательности {xk} называется сумма ряда:

 

(15)

На основании выражения (15) можно непосредственно найти z-преобразование входного дискретного сигнала:

 

 

На основании рассчитанной комплексной передаточной функции определим системную функцию H(z) (является z-преобразованием импульсной характеристики).

Данная функция получается из К(jщ) заменой :

 

 

Теперь определим z-преобразование Y(z) выходного дискретного сигнала {yk}:

 

Литература

 

1. Клюев Л.Л. ”Теория электрической связи” - Минск, 1998 г.
2. Гоноровский И.И. “Радиотехнические цепи и сигналы”, Москва, Радио и связь, 1986 г.
3. Варакин Л.Е. “Системы связи с шумоподобными сигналами”, Москва, Радио и связь, 1985 г.
4. Баскаков С.И. “Радиотехнические цепи и сигналы”, Москва, Высшая школа, 1988 г.