Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Сентября 2014 в 19:32, лабораторная работа
Цель работы: ознакомиться с назначением и принципами записи чисел в различных системах счисления, освоить методику перехода из одной системы счисления в другую.
Лабораторная работа
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.
Цель работы: ознакомиться с назначением и принципами записи чисел в различных системах счисления, освоить методику перехода из одной системы счисления в другую.
Краткие сведения из теории.
Системой счисления называется совокупность приемов наименования и обозначения (записи) чисел. Существует два типа систем счисления: позиционные и непозиционные,
В непозиционных системах счисления количественное значение цифры не зависит от ее положения в числе и определяется только ее графическим обозначением. Примером таких систем счисления являются римская система счисления и система счисления в остаточных классах.
Пример: В римской системе счисления для обозначения цифр ис пользуются следующие знаки:
1-один L-пятьдесят U-тысяча V-пять С-сто Х-десять D-пятьсот
Все остальные целые числа записываются с помощью указанных знаков по известным правилам:
lX-девять, XIV-четырнадцать.
В записанных числах каждый отдельный знак сохраняет свое значение.
Непозиционные системы счисления мало приспособлены для выполнения вычислений и поэтому редко применяются.
В позиционных системах счисления один и тот же цифровой знак имеет различное количественное значение в зависимости от его местоположения (позиции) в числе.
Пример: Число в десятичной системе счисления:
555
Самая младшая цифра означает число единиц (пять), следующая - число десятков (пятьдесят), старшая - число сотен, т.е. значение одного и того же знака (5) меняется в зависимости от положения в числе.
В общем виде число позиционной системы счисления можно представить в виде следующего полинома:
где аi - цифра целой части числа
bi - цифра дробной части числа
R - основание системы счисления
В зависимости от цифры, принятой за основание системы счисления, можно получить двоичную (R=2), десятичную (К=10), троичную (R=3) и т.д. системы счисления
Десятичная система счисления (R=IO)
Для записи всех чисел используются десять цифр: О, 1, 2... 9. Любое число в десятичной системе счисления можно записать в виде следующего полинома:
Из полинома видно, что каждый разряд десятичного числа представляет собой степень числа десять, т.е. слева направо от запятой идут разряды единиц (100=1) десятков (101=10), сотен (102=100) и т.д.
Поскольку десятичная система счисления является общепринятой при обозначении чисел и ручных расчетах, то все остальные системы счисления рассматриваются относительно нее и, следовательно, необходимо знать правила преобразования из десятичной системы в любую другую и обратно.
Перевод целых чисел из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления производится методом последовательного деления на основание новой системы до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания системы. Число в новой системе счисления записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, справа налево.
Десятичная дробь переводится в новую систему счисления путем последовательного умножения дробной части на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю. Для некоторых чисел данное условие не выполняется. В этом случае количество цифр после запятой определяется требуемой точностью. Дробь в новой системе счисления записывается в виде целых частей полученных произведении, начиная с первого числа.
Перевод чисел, имеющих целую и дробную часть, осуществляется в два этапа. Сначала переводится целая часть числа (делением), а затем дробная (умножением).
Обратный перевод из какой-либо позиционной системы счисления в десятичную осуществляется составлением полинома с основанием данной системы, для которого затем подсчитывается его значение.
Двоичная система счисления (R=2)
Для записи всех чисел используются только две цифры : 0 и 1. Полином В данном случае запишется следующим образом:
Из полинома видно, что каждый разряд числа в двоичной системе представляет собой степень числа два, т.е. слева направо от запятой идут разряды единиц (2°=1), двоек (21=2), четверок (22=4), восьмерок (23=8) и т.д.
Примеры. 1) Дано число 2510. Требуется перевести его в двоичную систему.
2) Дано число 0,310 Требуется перевести его в двоичную систему (точность- до пяти знаков после запятой).
2) Дано число FF16. Требуется перевести его в десятичную систему.
Двоично-десятичная система счисления
Если необходимо выполнять вычисления на ЦВМ непосредственно н десятичной системе, то используется двоично-десятичная система счисления. Это объясняется тем, что ЦВМ воспринимает только последовательность нулей и единиц и поэтому нужен простой способ записи десятичных чисел с помощью двоичных цифр.
В двоично-десятичной системе каждая цифра десятичного числа кодируется четырехзначным двоичным числом (тетрадой).
Пример. Дано число 834,2510. Требуется перевести его в двоично-десятичную систему.
Для обратного перехода в десятичную систему двоично-десятичное число разделяют на тетрады вправо и влево от запятой и заменяют их соответствующими десятичными цифрами.
Пример. Дано число 100000110100,001001012-10. Требуется перевести его в десятичную систему.
100000110100,001001012-10=834,
Запись десятичных чисел в двоичной и двоично-десятичной системах не совпадает.
Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и обратно.
Основание восьмеричной системы счисления представляет собой целую степень числа два (8=23), поэтому для перевода восьмеричного числа в двоичное каждая его цифра представляется тремя двоичными (триадой).
Пример. Дано число 351,728. Требуется перевести его в двоичную систему.
Для обратного перевода двоичное число разделяют на триады вправо и влево от запятой и заменяют триады восьмеричными цифрами. Если крайние триады числа окажутся неполными, то их дополняют нулями.
Пример. Дано число 1011101,00112. Требуется перевести его в восьмеричную систему.
Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную и обратно.
Основание шестнадцатеричной системы счисления также, как в предыдущем случае, представляет собой целую степень числа два (16=24), ни в данном случае для переводи используются тетрады, т.е. четыре двоичных цифры. Принцип перевода аналогичен предыдущему случаю.
Примеры. 1) Дано число A3CD16. Требуется перевести его в двоичную систему.
2) Дано число 1011101,0012. Требуется перевести его в шестнадцатеричную систему.
3) Дано число 25,12510. Требуется перевести его в двоичную систему.
4) Дано число 11001,0012. Требуется перевести его в десятичную систему.
Двоичная система счисления является основной для представления информации в ЦВМ. Это объясняется тем, что двоичную систему технически проще реализовать, чем любую другую систему счисления. В двоичной системе любое число представляется в виде последовательности нулей и единиц, поэтому для физической реализации достаточно использовать только два устойчивых состояния: есть ток в электрической цепи - 1, нет тока - 0, включена кнопка - 1, выключена - 0 и т.д.
Для реализации двоичной системы счисления в ЦВМ используются двухпозиционные элементы (транзисторы, триггеры и т.д.)
Второе достоинство двоичной системы, из-за которого она применяется в ЦВМ, это простота двоичной арифметики.
Недостатком двоичной системы счисления является громоздкость записи чисел и трудность их восприятия. Для устранения этого недостатка при ручных расчетах используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, которые обеспечивают более компактную запись чисел.
Восьмеричная система счисления (R=8).
Для записи чисел используются восемь цифр: 0, 1, 2... 7. В виде полинома числа записываются следующим образом:
Примеры. 1) Дано число 190,687510. Требуется перевести в восьмеричную систему.
2) Дано число 276,58 . Требуется перевести его в десятичную систему.
Шестнадцатеричная система счисления (R=16)
Базисными в данной системе являются цифры от 0 до 15, но поскольку каждая базисная цифра должна изображаться только одним символом, то в данной системе приняты следующие обозначения:
0, 1, 2, З... 9, А, В, С, D, Е, F.
где А соответствует цифре 10, В - цифре 11, С - цифре 12 и т.д.
Полином для записи чисел:
Примеры: 1) Дано число 25510. Требуется перевести его в шестнадцатеричную систему.
Задание.
Получить у преподавателя исходное число X.
Требуется выполнить преобразования из одной системы счисления в другую по следующей цепочке:
10®8®2®16®10®16®2®10®2-10®10
Содержание и оформление отчета по работе
Отчет оформляется в специальной тетради, ручкой и должен содержать:
1. Название лабораторной работы.
2. Цель работы и задание преподавателя.
3. Вычисления и конечный
4. Выводы по работе.
1. Что такое система счисления?
2. Что такое позиционная система счисления?
3. Что такое непозиционная система счисления?
4. Почему при переходе от двоичной системы к восьмеричной используются триады, а от двоичной к шестнадцатеричной и от двоично-десятичной к десятичной тетрады?
5. Как перевести число из
6. Как перевести число ил
7. Почему в ЦВМ используется двоичная система счисления?