Системы счисления. Операции над числами в позиционных системах счисления

ПРАКТИЧЕСКОЕ  ЗАНЯТИЕ №1.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ

В ПОЗИЦИОННЫХ  СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ.

1 Цель работы:

Ознакомиться с основными  системами счисления, применяемыми для вычислений в компьютере. Научиться  переводить числа из одной системы  счисления в другую, выполнять  арифметические операции сложения, вычитания.

2 Теоретическая  часть.

2.1 Основные понятия.

Система счисления - это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.

Системы счисления делят  на две большие группы: непозиционные  и позиционные.

Непозиционными системами счисления называются системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления.

 

Таблица  1 – Римская система счисления

Римские цифры	I	V	X	L	C	D	M
Значение (обозначаемое количество)	1	5	10	50	100	500	1000

 

 

Позиционными системами счисления называются системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Примером может служить десятичная система счисления, считать в которой учат в школе. Значение каждой цифры в числе зависит от ее местоположения. Сравните два числа: 50 и 500. В первом числе пять стоит в разряде десятков, во втором числе – в разряде сотен.

Основными достоинствами  любой позиционной системы счисления  являются:

во-первых, ограниченное количество символов для записи чисел;

во-вторых, простота выполнения арифметических операций.

Основанием позиционной системы счисления (q) называют количество символов, используемое для записи числа.

Основание системы счисления  показывает, во сколько раз изменится  количественное значение цифры при  перемещении ее на соседнюю позицию.

При записи числа основание  системы счисления указывают  в виде нижнего индекса: 54₁₀, 1011₂, A1E₁₆.

В компьютере используют двоичную, десятичную, восьмеричную и шестнадцатеричную  системы счисления.

От того, какая система  счисления будет использована в  компьютере, зависят:

• скорость вычислений,
• емкость памяти,
• сложность алгоритма выполнения арифметических и логических операций.

Двоичная система счисления  используется для организации машинных операций по преобразованию информации:

q=2, алфавит: 0, 1.

Десятичная система счисления  – для ввода и вывода информации:

q=10, алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Восьмеричная и шестнадцатеричная  системы счисления – для составления  программ.

В восьмеричной системе счисления:

q=8, алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

В шестнадцатеричной системе  счисления:

q=16, алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

 

2.2 Правила перевода  чисел из одной системы счисления  в другую.

2.2.1 Перевод чисел  из десятичной системы счисления  в двоичную,

восьмеричную  и шестнадцатеричную системы  счисления.

 

 

 

Направление перевода	Правила перевода
Целые числа                    N2  N10                N8                      N16	деление на 2 деление на 8 деление на 16

 

 

Дробные числа                           N2          N10               N8                                       N16

умножение на 2  умножение на 8  умножение на 16

 

 

Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную) системы  счисления необходимо:

Целую часть числа разделить  на основание системы счисления, в которую производится перевод (в двоичную – на 2, в восьмеричную – на 8, в шестнадцатеричную –  на 16). Деление целочисленное, с остатком. Деление продолжить до тех пор, пока делимое не станет меньше делителя (2, 8, 16). Затем выписать остатки, начиная  с последнего. Таким образом, получим  целую часть числа в новой  системе счисления.

Дробную часть числа умножаем на основание системы счисления, в которую производится перевод (в двоичную – на 2, в восьмеричную – на 8, в шестнадцатеричную –  на 16). Если при умножении получается целое число, то в следующем действии оно не учитывается, а умножается дробная часть и т.д. Умножение  заканчивается тогда, когда дробная  часть равна 0. Если этого не происходит, то умножение производить до третьего знака после запятой. В дробную  часть переведенного числа выписываем полученные целые числа.

2.2.2 Перевод чисел  из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной  систем счисления в десятичную  систему счисления.

Для перевода числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы  счисления в десятичную необходимо:

• Над каждой цифрой числа, которое необходимо перевести, поставить номер разряда, на котором стоит цифра. Разряды выставляются в целой части числа справа налево (начиная с 0), в дробной части – слева направо (начиная с -1).
• Умножаем каждую цифру переводимого числа на основание системы счисления (из которой происходит перевод), возведенное в степень, равную номеру разряда, на котором стоит соответствующая цифра. Затем складываем эти произведения.
• Если число переводится из шестнадцатеричной системы счисления, то буква, при умножении, заменяется соответствующим этой букве значением в десятичной системе счисления (см. Приложение 2).

2.2.3 Перевод чисел  из двоичной системы счисления  в восьмеричную и шестнадцатеричную  системы счисления.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную (шестнадцатеричную) системы счисления  необходимо:

• Число разбить на тройки цифр – триады (для восьмеричной системы счисления) или на четверки цифр – тетрады (для шестнадцатеричной системы счисления). Разбиение начинать от запятой, разделяющей целую и дробную части, влево и вправо соответственно.
• Если в отделенной последовательности количество цифр меньше трёх (четырех), то недостающие цифры заменить нулями. Для целой части нули приписать перед числом, для дробной части – после числа.
• Выписать соответственно каждой отделенной группе (триаде или тетраде) по таблице соответствия между системами счисления восьмеричную или шестнадцатеричную цифру (см. Приложение 2).

2.2.4 Перевод чисел  из восьмеричной и шестнадцатеричной  систем счисления в двоичную  систему счисления. 

В таблице 5 приведены правила  перевода чисел из двоичной системы  счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную  системы счисления (Приложение 1).

Таблица  5 - Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

Направление перевода	Правила перевода
	замена восьмеричных цифр триадами    замена шестнадцатеричных  цифр тетрадами

Поясним правила на примерах.

 

Для перевода числа из восьмеричной (шестнадцатеричной) системы счисления  в двоичную систему счисления  необходимо:

• Выписать соответственно каждой цифре восьмеричного числа тройку цифр – триаду по таблице соответствия между системами счисления триаду (тетраду) (см. Приложение 2). Аналогично поступаем и с шестнадцатеричным числом, но выписываем четверку цифр – тетраду.
• В записи полученного двоичного числа нули в начале целой части и в конце дробной части опустить.

2.2.5 Перевод чисел  из восьмеричной системы счисленияв  шестнадцатеричную систему счисления  (или из шестнадцатеричной системы  счисления в восьмеричную систему  счисления).

Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную (из шестнадцатеричную в восьмеричную) необходимо:

• Осуществить перевод восьмеричного (или шестнадцатеричного) числа в двоичную систему счисления.
• Осуществить перевод числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную (или восьмеричную) систему счисления.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ

В ПОЗИЦИОННЫХ  СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ.

2.3 Арифметические  операции в позиционных системах  счисления.

Арифметические  операции в восьмеричной и шестнадцатеричной  системе счисления сходны с аналогичными операциями в десятичной системе  счисления.

Все операции производятся столбиком.

Необходимо помнить:

Если при сложении двух цифр в разряде получилось число  большее восьми, то в старший разряд уходит 1, а в текущем разряде  остается разность между полученным число и основанием системы – 8.

Если при вычитании  двух цифр уменьшаемая цифра меньше вычитаемой, то занимаем в старшем  разряде 1 (для текущего разряда это  будет 8). 8 прибавляем к уменьшаемому и из полученной суммы отнимаем вычитаемое.

Выполните сложение и вычитание чисел в шестнадцатеричной  системе счисления.

Необходимо помнить:

Если при сложении двух цифр в разряде получилось число  большее шестнадцати, то в старший  разряд уходит 1, а в текущем разряде  остается разность между полученным число и основанием системы – 16.

Если при вычитании  двух цифр уменьшаемая цифра меньше вычитаемой, то занимаем в старшем  разряде 1 (для текущего разряда это  будет 16). 16 прибавляем к уменьшаемому и из полученной суммы отнимаем вычитаемое.