Решение систем линейных и нелинейных уравнений в среде MathCad

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Бийский технологический институт (филиал)

федерального  государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального  образования

«Алтайский  государственный технический 

университет им. И.И. Ползунова»

(БТИ АлтГТУ)

 

 

Кафедра информатики  и вычислительной математики

 

 

 

 

УДК 681.3.06

Курсовая работа сдана на оценку ____________________________________ Руководитель  работы _____________________________              подпись, должность, и.о. фамилия

 

 

 

 

 

Решение систем линейных и нелинейных уравнений в среде MathCad.

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 

К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Информатика»

 

КР 220501 .10.000 ПЗ

обозначение документа

 

Выполнил 

студент   гр. УК-11               Николенко Д.С.

                                        подпись                            и.о. фамилия

 

Нормоконтролер 

доцент, к.т.н.                Трутнева Л.И

                                                                       подпись                             и.о. фамилия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бийск 2011

 

 

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Бийский технологический институт (филиал)

федерального  государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального  образования

«Алтайский  государственный технический 

университет им. И.И. Ползунова»

(БТИ АлтГТУ)

 

 

Кафедра информатики  и вычислительной математики

 

 

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой ИВМ

__________   Г.И. Севодина

«_5» _октября____  2011_ г.

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ

 

на курсовую работу по дисциплине «Информатика»

студенту__Николенко Д.С. ________________________________

группа _____УК-11_______________ факультет ___МФ_________

Тема проекта: «Решение систем линейных и нелинейных уравнений в среде MathCad.»

Срок сдачи  студентом законченного проекта ________________

Исходные  данные к проекту: (Текст задания)______Вариант 10______________

Даны системы линейных и нелинейных уравнений .  Решить системы линейных  и нелинейных уравнений всеми возможными способами  автоматизированной системе MathCad. ___________________________________________________________

Дата выдачи задания: ________________________________________

_______________(Ф.И.О.)______________(подпись  студента)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

 

1. Введение …………………………………………………………………….4

 

2. Методы решения линейных и нелинейных уравнений в среде MathCad………………………………………………………………….5-6

 

3. Описание алгоритма решения функций………………………………...7-8

 

4. Заключение………………………………………………………………….9

 

5. Список литературы………………………………………………………..10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение:

 

В настоящее  время научно-технические расчеты  на компьютерах все чаще проводятся с использованием современных математических пакетов (MatLab, Maple, MathCAD и др.) Эти специализированные математические программы позволяют быстро реализовать соответствующие математические модели на компьютере, минуя или значительно сокращая стадию программирования, характерную для традиционных языков программирования (Fortran, Basic, Pascal и др.), которая помимо больших затрат времени требует также соответствующей высокой квалификации от исследователя.

Для меня, как студента механического факультета, эта программа является достаточно важной в плане подготовки научных и технических документов, позволяет обрабатывать данные в числовом и аналитическом виде.

В данной курсовой работе мной изучены принципы решения линейных и нелинейных уравнений, важные для моей будущей деятельности и профессии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методы решения линейных и нелинейных уравнений в среде MathCad

 

1. Линейные:

 

Решение методом обратной матрицы - решение систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу свободных членов.

 

• определяем матрицу A и вектор B;
• проверяем матрицу A на вырожденность;
• если матрица не вырождена, то находим вектор решений по формуле ,      
• выводим результат;
• делаем проверку.

 

Решение с помощью функции lsolve - для решения систем линейных уравнений можно также использовать стандартную функцию lsolve(A,B), которая возвращает вектор решений для заданных значений матрицы коэффициентов A и вектора свободных членов B. Матрица A, как и в предыдущем случае, должна быть не вырожденной.

 

Решение с помощью метода Гауса - этот метод состоит в том, что систему n  уравнений приводят последовательным исключением неизвестных к системе треугольного вида, а затем ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых  n столбцах получилась единичная матрица. Последний (n+1) столбец содержит решение системы. В MathСad  прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(M).

 

2. Нелинейные:

 

В отличие  от систем линейных уравнений для  систем нелинейных уравнений не известны прямые методы решения. Лишь в отдельных случаях систему можно решить непосредственно. Например, для системы из двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного.

Решить уравнение  аналитически - значит найти все  его корни, т.е. такие числа, при  подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Графически - значит найти точки  пересечения графика функции  с осью OX. Для этого используется вычислительный блок Given...Find. Этот блок хорош тем, что он способен предоставить результат решения системы уравнений в двух видах: численном и символьном.

1. Численный метод применяется в том случае если инженеру, ну или студенту, необходимо получить только лишь численные результаты своей работы. В этом случае необходимо изначально задать значения всех "букв" и даже переменных. Переменные нужно задать в качестве начальных приближений. Эти начальные приближения нужны для корректной работы численных методов MathCad. При этом если начальное приближение не задано или задано не верно, очень большая вероятность, что решение не будет найдено.
2. Символьный метод применяют для нахождения выражения искомой переменной из данной системы. В этом случае не обязательно задавать все величины входящие в систему. Достаточно просто записать все уравнения по порядку и затем найти решения. Нужно отметить, что не всегда удается получить символьное выражение для переменной, ввиду сложности преобразований. За то численный результат машина найдет, если, конечно, он существует.

 

 

Описание  алгоритма решения функций

 

1. Линейные:

 

Решение методом обратной матрицы:

 

            

 

 

 

 

 

 

 

Решение с  помощью функции lsolve:

 

          

 

             решение и ответ

 

 

                                          проверка

 

 

 

 

Решение с  помощью метода Гауса:

 

                      исходные данные

 

 

 

 

матрица не вырожденна

 

 

 

                     

 

 

 

             Решение и ответ:

 

 

 

 

2. Нелинейные:

 

Начальные приближения

 

 

 

 

 

          

 

 

           

          

           

 

 

                              

 

 

          

 

 

         

         

 

 

 

 

         

  

 

 

 

 

Заключение:

 

Данная  курсовая работа позволила мне более  близко познакомиться с пакетом  системы компьютерной математики MathCad. Мной были рассмотрены способы численного решения линейных и нелинейных уравнений с использованием данной программы.

Задачи  исследования были реализованы т.к. в курсовой работе были описаны все численные методы решения уравнений, и рассмотрена работа некоторых из них в системе MathCad на конкретных примерах.

Курсовая  работа дает наглядное представление  о сформулированной цели исследования: использование системы компьютерной математики MathCad для решения задач вычислительной математики дает наиболее наглядное, простое, решение этих задач, по сравнению со всеми другими используемыми для этого средствами. Все это позволяет утверждать целесообразность обучения студентов ВУЗа решению математических задач с использованием системы компьютерной математики MathCad.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

 

1. В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов.  – М.: Просвещение. 1990. – 176 с.
2. Бахвалов Н. С. Численные методы. – М.: Наука 1973.
3. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970.
4. Иванова Т. П., Пухова Г. В. Программирование и вычислительная математика. – М.: Просвещение. 1978.
5. Плис А. И. Сливина Н. А. MathCAD: Математический практикум для экономистов и инженеров. – М.: финансы и статистика, 2000. 656 с.
6. Лисица В.Д., Севодина Г.И., Царегородцева В.В. Расчеты в системе MathCAD 14. Начальный курс обучения: учебное пособие для студентов технологических и экономических специальностей. – Бийск: БТИ АлтГТУ, Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2009. − 96 с.