Решение функциональных и вычислительных задач средствами пакета прикладных программ MathCAD2000 и электронных таблиц MS Excel

• y – вектор начальных значений искомых функций;
• x1 – начальное значение независимой переменной;
• x2 – конечное значение независимой переменной;
• n – фиксированное число шагов интегрирования;
• F – правые части системы уравнений, записанные в векторе в символьном виде.

 

Решение:

 

Функция rkfixed(y, x1, x2, n, F) выдает таблицу результатов решений с    (m + 1) столбцами  и n строками (m – число уравнений в системе). Нулевой столбец таблицы – это текущее значение независимой переменной (аргумента) x. Они определяются через x1, x2 и n. Последующие столбцы решения определяют значения искомых функций y₁(x), y₂(x), … для соответствующих значений аргумента x.

 

Таблица 1

 

Зная значение независимой  переменной и соответствующие значения искомой функции, можно построить  графическую зависимость, что и  показано на рис 5.1       

рис. 5.1

- столбец координат узлов сетки

- столбец значений решения в узлах сетки

Задание 6. Линейное программирование

1. Решение задачи линейного программирования с помощью функции maximize или minimize.

 

Задача: 

Для перевозок груза  на трех линиях могут быть использованы суда трех типов. Производительность судов при использовании их на различных линиях характеризуется данными, приведенными в таблице. В ней же общее время, в течение которого суда каждого типа находятся в эксплуатации, и минимально необходимые объемы перевозок на каждой из линий. Определите, какие суда, на какой линии и в течение какого времени следует использовать, чтобы обеспечить максимальную загрузку судов с учетом возможного времени их эксплуатации.

 

Таблица 2

Тип судна	Производительность судов (млн. тонно-миль в сутки) на линии			Общее время эксплуатации судов (сутки)
	1	2	3
I	8	14	11	300
II	6	15	13	300
III	12	12	4	300
Заданный объем перевозок (млн. тонно-миль)	3000	5400	3300

 

 

За x1 возьмем, сколько времени (суток) нужно использовать первое судно на первой линии, за x2 сколько времени нужно использовать  первое судно на второй линии и т.д., получаем целевую функцию:

 

Зададим начальные значения, присваивая каждому из x значение 0:

 

Затем с помощью Given зададим ограничения и найдем решение этой функции, оптимизируя ее, применяя функцию maximize(), так же поставим ограничение на то, что значения не отрицательны, т.к. это противоречит заданному нами определению.

        

 

 

 

 

Ответ получен в виде матрицы, содержащей значения x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9. Чтобы удостовериться в правильности найденных значений, производится проверка:

 

Проверка показала, что найденные значения отвечают требованиям заданных ограничений.

 

 

Ответ:

 

Для того чтобы обеспечить максимальную загрузку судов с учетом возможного времени их эксплуатации, нужно использовать первое судно только на второй линии в течение трехсот суток. Второе судна на второй и на третьей линии в течение сорока шести и двухсот пятидесяти четырех суток соответственно. Третье судно на первой и на второй в течение двухсот пятидесяти и пятисот суток соответственно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Часть II. Решение функциональных и вычислительных задач средствами электронной таблицы MS Excel

 

Табличные редакторы (иногда их называют также электронные таблицы) на сегодняшний день, одни из самых  распространенных программных продуктов, используемые во всем мире. Они без  специальных навыков позволяют  создавать достаточно сложные приложения, которые удовлетворяют до 90% запросов средних пользователей.

Табличные редакторы  появились практически одновременно с появлением персональных компьютеров, когда появилось много простых  пользователей не знакомых с основами программирования. Первым табличным  редактором, получившим широкое распространение, стал Lotus 1-2-3, ставший стандартом де-факто для табличных редакторов:

• Структура таблицы (пересечения строк и столбцов создают ячейки, куда заносятся данные);
• Стандартный набор математических и бухгалтерских функций;
• Возможности сортировки данных;
• Наличие средств визуального отображения данных (диаграмм).

В СССР получили широкое  распространение два табличных  редактора SuperCalc и Quattro Pro. С появлением Microsoft^® Windows и его приложений стандартом де-факто стал табличный редактор Microsoft^® Excel.

 

Microsoft Excel - средство для работы с электронными таблицами, намного превышающее по своим возможностям существующие редакторы таблиц, первая версия данного продукта была разработана фирмой Microsoft в 1985 году. Microsoft Excel - это простое и удобное средство, позволяющее проанализировать данные и, при необходимости, проинформировать о результате заинтересованную аудиторию, используя Internet. Microsoft^® Excel разработан фирмой Microsoft, и является на сегодняшний день самым популярным табличным редактором в мире. Кроме стандартных возможностей его отличает следующие возможности, он выводит на поверхность центральные функции электронных таблиц и делает их более доступными для всех пользователей. Для облегчения работы пользователя упрощены основные функции, создание формул, форматирование, печать и построение графиков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1. Линейное программирование

 

1. Решение задачи линейного программирования с помощь «поиск решения»

 

Также как и в примере  решения в MathCAD, возьмем x1 за то, сколько времени (суток) нужно использовать первое судно на первой лини и т.д. В MS Excel решение будем искать с помощью встроенного макроса «Поиск решения». Первоначально составим таблицу с исходными данными (рис. 1.1). Затем присвоим x-ам первоначальные значения равные нулю и зададим ограничения.

 

рис. 1.1

 

В окне «Поиск решения» (рис. 1.2) устанавливаем ссылки на ячейки с целевой функцией, изменяемыми значениями иксов и ограничениями.

 

рис. 1.2

 

После выполнения макроса  «Поиск решения» мы получаем следующие значения:

 

рис. 1.3

 

 

 

2. Анализ полученных  результатов

 

Из рис. 1.3 видно, что в решениях полученных с помощью MS Excel и MathCAD есть небольшие расхождения, но так как они не превышают допустимых отклонений, то можно считать, что решения совпадают, что и требовалось доказать.

 

 

 

Задание 2. Трендовый анализ

 

Построить линию тренда и найти приближенную функцию  при заданном значении аргумента

 

0.150 6.616  0.162

0.155 7.399

0.160 6.196

0.165 6.005

0.170 7.825

0.175 5.655

 

Решение:

 

1. Построение  линии тренда

 

Вводим исходные данные в виде таблицы в среду MS Excel

 

 

Далее выделяем значения x и y и с помощью мастера диаграмм (Вставка ® Диаграмма…) создаем точечную диаграмму, на которой значения соединены отрезками.

 

 

Щелчком правой кнопкой мыши по линии  графика вызываем контекстное меню и выбираем добавить линию тренда. Далее в открывшемся окне выбираем тип линии «полиномиальная» и выставляем степень «2»

 

 

В том же окне щелкаем по вкладке  «Параметры» и ставим галочку напротив «показывать уравнение на диаграмме», нажимаем «OK». В итоге получается диаграмма  с линией тренда второй степени и уравнением.

 

 

Аналогично построим полином третьего порядка

 

 

2. Поиск приближенного  значения функции 

 

Подставим в уравнение линии тренда для  полинома  2-го  порядка  заданное значение аргумента :

 

=-1832,1*C2^2+574,35*C2-38,208

 

получаем  6,755068

 

Также  подставляем  значение  аргумента  в уравнение  линии тренда для  полинома  3-го  порядка

 

=-528222*C2^3 + 255676*C2^2 - 41204*C2 + 2217,6

 

 

получаем 6,762321

 

3. Анализ полученных  результатов

 

После построения диаграмм и линий тренда для полиномов второго и третьего, по средствам подстановки значения аргумента в уравнения полиномов были найдены значения функций при заданном значении аргумента. Найденные значения совпадают со значениями, найденными по средствам MathCAD. Значит значения найдены верно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Данная курсовая работа позволила мне более близко познакомится с пакетом прикладных программ MathCAD и Microsoft Excel. Мной было рассмотрено множество способов решения, как простых нелинейных уравнений, так и систем линейных алгебраических уравнений, кроме того, было рассмотрено решение производственной задачи с использованием программ, приведённых выше.

В данной курсовой работе было рассмотрено использование  следующих функций:

1. Solve

2. Root

3. Given-Find

4. Given-Minerr

5. lsolve

6. Minimize

Помимо этого были рассмотрены следующие методы решения  уравнений:

1. Графический – при решении нелинейных уравнений, систем нелинейных уравнений

2. Метод Гаусса- при  решении систем линейных алгебраических  уравнений

3. По формулам Крамера  - при решении систем линейных алгебраических уравнений

4. Метод обратной матрицы

5. Метод Рунге-Кутта – решение дифференциального уравнения

Также различными способами  было найдено приближённое значение функции при заданном значении аргумента:

1. С помощью линейной  интерполяции 

2. С помощью линейного  сплайна

3. С помощью линейной  аппроксимации

4. Методом наименьших  квадратов

5. С помощью полиномиальной  регрессии  

 Всё это позволило  в полном объеме усвоить лекционный  материал и понять перспективы  использования вычислительной техники  при решении различных задач  практического характера.

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1.	Индейкин В. В. Табличный  редактор Microsoft Excel. Учебное пособие. – Казань, 1999. – 75с.
2.	Кудрявцев Е. М. MathCAD 2000 Pro. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 571с.
3.	Руководство пользователя Mathcad 6.0 и Mathcad PLUS 6.0. – Компания SoftLine. http://www.exponenta.ru/soft/Mathcad/UsersGuide/0.asp