Регрессионный анализ

Важнейшим этапом построения регрессионной модели (уравнения  регрессии) является установление в анализе исходной информации математической функции. Сложность заключается в том, что из множества функций необходимо найти такую, которая лучше других выражает реально существующие связи между анализируемыми признаками. Выбор типов функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явлении, опят предыдущих аналогичных исследований, или осуществляться эмпирически – перебором и оценкой функций разных типов и т.п.

При изучении связи экономических показателей  производства (деятельности) используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчётов преобразуют (путём логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

 

ŷ = a0 + a1x ,

 

где ŷ - теоретические  значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

     a0 , a1 -  коэффициенты (параметры) уравнения  регрессии.

Поскольку a0 является средним значением у в точке х=0, экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна.

Коэффициент парной линейной регрессии a1  имеет  смысл показателя силы связи между  вариацией факторного признака х  и вариацией результативного  признака у. Вышеприведенное уравнение показывает среднее значение изменения результативного признака у при изменении факторного признака х на одну единицу его измерения, то есть вариацию у, приходящуюся на единицу вариации х. Знак a1 указывает направление этого изменения.

Параметры уравнения a0 , a1 находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных yi от выравненных ŷ :

 

S(yi – ŷ)2 = S(yi – a0 – a1xi)2 ® min

 

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений

Для исследования систем управления повсеместно используются аналитические методы. Аналитические методы - проектируют систему, свойства которой описываются в виде определенных точек в пространстве и во времени.

 

 

 

Свойства  система описывают в виде детерминированных  величин (определенных).

Основу методов  составляют понятия классической математики.

Это функциональные зависимости :

прямые (спрос и предложение)

 

параболы (явления  социально-экономического характера)

a, b - коэффициенты, рассчитанные

с помощью  статистической

информации.

 

Затраты - параболические кривые.

 

степенная функция (для описания  интенсивно развивающихся  процессов, начальных этапов жизненного цикла изделия)

 

показательная функция (замедляет процесс)

Основа аналитических  методов в экономических системах - регрессионное уравнение.

I - фонд заработной  платы :

I = 94 + 0.0022*X1 + 195.4*X2 + 0.03*X3  + 0.5*X4

Это частный  случай на предприятиях электронной  промышленности.

X1 - товарный  выпуск, тыс. руб.

X2 - фондоотдача

X3 - себестоимость

X4 – материалоемкость

 

Таблица 1 - Использование статистических методов при реализации управленческих функций

	Этапы процесса управления
Статистические методы	Подготовка информации	Выявление направлений анализа	Исследование выявленных проблем	Разработка и принятие решений	Принятие решений	Организация выполнения решений	Учет и контроль хода выполнения	Анализ эффективности полученных результатов
1	2	3	4	5	6	7	8	9
Статистическое наблюдение	+						+
Группировка и классификация	+	+	+				+	+
Расчет абсолютных величин, относительных и средних показателей	+	+	+				+	+
Методы исследования динамических рядов		+	+				+	+
Индексный метод		+	+				+	+
Корреляционно-регрессионный анализ		+	+					+
Дисперсионный анализ		+	+					+
Экспертные методы	+	+	+	+
Факторный и компонентный анализ		+	+					+

 

После построения регрессионной модели необходимо проверить ее на значимость или адекватность исследуемому процессу. Проверить значимость уравнения регрессии - значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным, и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Это нужно сделать для того, чтобы убедиться в пригодности и надежности модели для использования в прикладных целях, в частности для прогнозирования показателя Y в будущем. В проверке модели на значимость большую роль играет разложение общей суммы квадратов отклонений переменной Yот среднего значения на две части - объясненную и необъясненную (остаточную):

Левая часть равенства - это общая  сумма квадратов отклонений, которая  есть сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, плюс остаточная сумма квадратов. Из этого равенства вытекает следующее равенство относительно дисперсий: где является полной дисперсией; есть объясненная дисперсия или выборочная дисперсия расчетных значений вычисленная по уравнению регрессии; является остаточной или необъясненной дисперсией, т. е. вариация разностей между эмпирическими данными и линией регрессии.

Для вычисления остаточной, полной и  объясненной дисперсий используются формулы:

где n- объем выборки или количество наблюдений. Показатель характеризующий отношение объясненной дисперсии к остаточной, подчиняется распределению Фишера с 1 и n-2 степенями свободы. Полученное значение F сравнивается с табличным значением Fтабл - распределения Фишера при заданной доверительной вероятности 1-v где v есть уровень значимости.

Уравнение регрессии считается  значимым и может быть использовано в прикладных целях, если F>Fтабл если же F<=Fтабл , то уравнение не является достаточно надежным. По виду расчетного показателя F можно судить о характере аппроксимации корреляционного поля линией регрессии. Чем меньше дисперсия остатков или же чем выше объясненная дисперсия, тем лучше линия регрессии по сравнению с другими опробованными линиями.

Наиболее эффективной оценкой  адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, характеристикой прогностической  силы анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации, определяемый по формуле

Коэффициент детерминации характеризует  долю дисперсии результативного признака Y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака. Соответственно 1-R² характеризует долю дисперсии Y, вызванную влиянием остальных неучтенных в модели факторов. Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем меньше остаточная или необъясненная дисперсия и, следовательно, тем лучше построенное уравнение регрессии отражает корреляционную зависимость между показателями X и Y.

В случае парной линейной регрессионной  модели коэффициент равен квадрату коэффициента корреляции, т. е. . Связь между статистиками F и R² для случая парной регрессии имеет вид:

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕССИИ.

После проверки адекватности, установления точности и надежности построенной модели (уравнения регрессии), ее необходимо проанализировать. Прежде всего нужно проверить, согласуются ли знаки параметров с теоретическими представлениями и соображениями о направлении  влияния признака-фактора на результативный признак (показатель).

В рассмотренном уравнении ŷ=245,75+1,42х, характеризующем зависимость размера работающих активов (у) от капиталов банков (х), параметр а1>0. Следовательно, с возрастанием размера капитала банка размер работающих активов увеличивается.

Из уравнения следует, что возрастание  капитала банка на 1 млн рублей приводит к увеличению работающих активов в среднем на 1,4 млн рублей (величину параметра а1). 

Для удобства интерпретации параметра a1 используют коэффициент эластичности. Он показывает средние изменения результативного признака при изменении факторного признака на 1% и вычисляется по формуле, %:

.

В представленном анализе деятельности банков эта величина равна:

 

Это означает, что с увеличением  размера капитала на 1% следует ожидать  повышения размера работающих активов  банков в среднем на 0,78% .

Этот вывод справедлив только для  данной совокупности банков при конкретных условиях их деятельности.

Если же эти банки и условия  считать типичными, то коэффициент  регрессии может быть применен для расчета размера работающих активов по их капиталу и для других банков.

Имеет смысл вычислить остатки  εi = y – ŷ, характеризующие отклонение i-х наблюдений от значений, которые следует ожидать в среднем.

Анализируя остатки, можно сделать  ряд выводов о деятельности банков. Значения остатков (таблица 1, графа 8) имеют  как положительные, так и отрицательные отклонения от ожидаемого. Таким образом выявляются банки, которые вкладывают больше денежных средств в оборот (положительные значения), и банки, предпочитающие пускать в оборот небольшую часть своих денежных средств (отрицательные значения остатков).

В итоге положительные отклонения размеров работающих  активов уравновешиваются отрицательными значениями, то есть получается ∑εi=0.

Таким образом, в данной работе я установил корреляционную зависимость показателей 32 российских банков, провела регрессионный анализ и нашел регрессионную модель данной взаимосвязи показателей.

Полученное уравнение ŷ=245,75+1,42х  позволяет проиллюстрировать зависимость размера работающих активов банков от размера их капитала.

А также я проверил мою модель на адекватность по критерию Стьюдента, результат оказался положительным (модель адекватна, т.е. ее можно применять), а затем дала экономическую оценку этой модели.

И так, с помощью корреляционно-регрессионного анализа, я исследовал показатели банков.

 

2 Практическая часть

2.1 Формирование дерева  целей

Рисунок 1 – «Дерево целей» организации, ориентированной на стратегию энергосбережения

 

Рисунок 2 – Стратегическая карта  организации, ориентированной на инновационную стратегию энергосбережения

2.2 Методы сетевого планирования и их компьютерная реализация

 

Сетевое планирование - это комплекс графических и расчетных методов организационных мероприятий, обеспечивающих моделирование, анализ и динамическую перестройку плана выполнения сложных проектов и разработок, например, таких как:

• строительство и реконструкция каких-либо объектов;
• выполнение научно-исследовательских и конструкторских работ;
• подготовка производства к выпуску продукции;
• перевооружение армии.

Характерной особенностью таких проектов является то, что они состоят из ряда отдельных, элементарных работ. Они  обусловливают друг друга так, что  выполнение некоторых работ не может быть начато раньше, чем завершены некоторые другие.

Основная цель сетевого планирования и управления - сокращение до минимума продолжительности проекта.

Задача сетевого планирования и управления состоит в том, чтобы графически, наглядно и системно отобразить и оптимизировать последовательность и взаимозависимость работ, действий или мероприятий, обеспечивающих своевременное и планомерное достижение конечных целей.

Для отображения и алгоритмизации тех или иных действий или ситуаций используются экономико-математические модели, которые принято называть сетевыми моделями, простейшие из них - сетевые графики. С помощью сетевой модели руководитель работ или операции имеет возможность системно и масштабно представлять весь ход работ или оперативных мероприятий, управлять процессом их осуществления, а также маневрировать ресурсами.

Во всех системах сетевого планирования основным объектом моделирования служат разнообразные комплексы предстоящих работ, например социально-экономические исследования, проектные разработки, освоение, производство новых товаров и другие плановые мероприятия.

Система СПУ позволяет:

• формировать календарный план реализации некоторого комплекса работ;
• выявлять и мобилизовывать резервы времени, трудовые, материальные и денежные ресурсы;
• осуществлять управление комплексом работ по принципу «ведущего звена» с прогнозированием и предупреждением возможных срывов в ходе работ;
• повышать эффективность управления в целом при четком распределении ответственности между руководителями разных уровней и исполнителями работ;
• четко отобразить объем и структуру решаемой проблемы, выявить с любой требуемой степенью детализации работы, образующие единый комплекс процесса разрешения проблемы; определить события, совершение которых необходимо для достижения заданных целей;
• выявить и всесторонне проанализировать взаимосвязь между работами, так как в самой методике построения сетевой модели заложено точное отражение всех зависимостей, обусловленных состоянием объекта и условиями внешней и внутренней среды;
• широко использовать вычислительную технику;
• быстро обрабатывать большие массивы отчетных данных и обеспечивать руководство своевременной и исчерпывающей информацией о фактическом состоянии реализации программы;
• упростить и унифицировать отчетную документацию.