Производственные функции как позиномиальные нелинейные модели работы судоходных компаний и предприятий водного транспорта

 Производственные  функции как позиномиальные нелинейные модели работы судоходных компаний и предприятий водного транспорта

Процесс моделирования основан  на обработке информации о поведении  объекта. На основе такой информации принимаются соответствующие решения по выбору структуры и параметров систем управления, обеспечивающих принятие эффективных решений по реализации всех процессов хозяйственной деятельности судоходной компании. Эти процессы предполагают выделение основных факторов производства, существенно влияющих на выпуск продукции и её конкурентоспособность на рынке транспортных услуг. В производственных функциях такими факторами являются затраты капитала и людских ресурсов.

Так, при рассмотрении любого производственного комплекса как  открытой системы, входами которой  служат затраты ресурсов - людских  и материальных, а выходами –  продукция, производственная функция  выражает устойчивое количественное соотношение  между входами и выходами.

В общем случае производственная функция является нелинейной и может  быть представлена в виде уравнения:

                               y=f ( K, L) ,                                                    (3.11)

         где K - затраты капитала;

                L - трудовые затраты;

                y - конечный продукт.

Производственная функция  является нелинейной математической зависимостью выпуска продукции от факторов производства. При построении модели производственной функции желательным является сохранение выходной переменной при плавном, непрерывном изменении K и L.

Также желательно, чтобы  модель имела свойство, состоящее  в том, что конечный продукт  «y»  не должен быть меньше нуля (y > 0).

Очевидно, модель должна быть такой, что если

K = 0, а L 0,  то y = 0 ;

K 0, а L = 0,  то y = 0 .

Классическая теория производства предполагает, что частные производные

              > 0    и      > 0                                          (3.12)

характеризуют влияние приращения факторов K и L на выпуск продукции.

Из (3.11) следует, что определённый уровень выпуска продукции можно  достигнуть с помощью различного сочетания капитальных и трудовых затрат.

Условия (3.12) означают, что  с увеличением количества используемого  ресурса обеспечивается рост выпускаемой  продукции. Однако, если

           < 0      и    < 0 ,                                       (3.13)          

то в условиях экстенсивного  производства увеличение затрат только одного из факторов производства (например, увеличение затрат капитала K при постоянном L) приводит к снижению эффективности его использования.

Применяя производственную функцию как модель деятельности судоходной компании (предприятия), можно  оценить, насколько определённые затраты людских ресурсов и капитала влияют на выпуск конечного продукта – объёма  транспортной работы, выполненной за единицу времени на предприятии.

Поскольку количественная связь  между затратами и результатами производства носит статистический характер, производственная функция  представляет собой регрессионную  модель.

Производственная функция  может достаточно точно отображать моделируемую систему лишь при значениях  независимых переменных в определённых интервалах их изменения. Если же приходится иметь дело со значениями независимых  переменных вне таких интервалов, то, вообще говоря, необходимо строить  специальную производственную функцию  для новых условий. При параметризации производственной функции  вместе с  расчётом значений параметров определяются и обусловленные наличием информации границы изменения независимых  переменных, при которых корректно  применение моделей.

Производственные функции  могут быть построены для различных  производственных единиц: отдельного подразделения судоходной компании, участка, предприятия, отрасли, народного  хозяйства в целом. Степень агрегирования  данных также может быть различной  – от детальной номенклатуры до максимально обобщённых показателей.

Адекватное отображение  такой моделью реального соотношения  затрат ресурсов и выпуска предопределяет необходимость решения двух основных задач:

а)   анализ структуры  производственной функции и выделение  существенных факторов, влияющих на производственный процесс;

б) параметризация производственной функции, т.е. расчёт численных значений параметров на основе систематизированных  статистических рядов средствами регрессионного и корреляционного анализа.

Спецификация производственной функции должна удовлетворять некоторым  логическим, экономическим и математическим требованиям:

1. все входящие в производственную функцию величины должны быть измеримы;
2.   выпуск продукции без затрат ресурсов невозможен;
3. все включённые в производственную функцию ресурсы необходимы; при отсутствии хотя бы одного из них выпуск равен нулю (это требование не всегда соблюдается);
4. в число аргументов производственной функции должны быть включены все существенные для данного процесса производства  факторы;
5. ресурсы предполагаются в той или иной степени взаимозаменяемыми, в предельном случае они могут быть комплементарными (т.е. входить в строго определённых пропорциях);
6. если величина какого-либо ресурса ограничена, то выпуск не может расти бесконечно;
7.    все величины должны иметь отчётливый экономический смысл;
8. производственная функция должна опираться на соответствующую статистическую базу;
9. производственная функция предполагается непрерывной и дифференцируемой  (что является упрощающей гипотезой, не всегда отвечающей реальности).

Оценку параметров производственной функции можно произвести с помощью  метода наименьших квадратов, метода Гивенса, QR – разложения, SVD – разложения.

В среде MatLAB c помощью процедур оценивания можно выполнить довольно сложные расчёты. В частности, обработать в режиме прямых вычислений массивы экспериментальных данных, если они записаны предварительно в отдельных файлах и сформированы в базы данных. Применение матричного аппарата в этих случаях приобретает особую актуальность.

Производственные функции  – мощная система моделей, широко используемая в зарубежной практике для оценки состояния бизнеса  предприятий в различных ситуационных условиях. Их большой  спектр применения на транспорте – от маломощных организаций, до крупных корпораций, объединений и целых отраслей – позволяет рекомендовать использование моделей производственных функций для оценки бизнеса предприятий с экстенсивными и интенсивными способами производства.   Любое материальное производство, в том числе транспортная отрасль – сложный управляемый процесс, связанный с преобразованием ресурсов в конечный продукт. Как правило, эти ресурсы ограничены. Поэтому активный эксперимент не может  проводиться  непосредственно на самом объекте, так как это слишком дорогое и, возможно, недопустимое мероприятие. Для этих целей должны использоваться математические модели. Отсюда следует, что эксплуатация и управление производством должно быть основано на современном математическом аппарате, позволяющем решать задачи анализа, планирования, прогнозирования и оптимизации процессов преобразования ресурсов в условиях ограничений. При математическом моделировании выбираются факторы производства, в наибольшей  мере влияющие на происходящие процессы. Взаимосвязь между результатами производства и его факторами следует устанавливать  с помощью производственных функций.

Первый успешный опыт построения производственной функции как уравнения  регрессии на базе статистики осуществили  Кобб и Дуглас  
(1929г.). Предложенная ими форма производственной функции широко применяется в рыночных условиях, благодаря своей простоте и рациональности.

Производственная функция  Кобба - Дугласа связывает выпуск Y c величиной производственных фондов (капитала) K и затрат труда L в виде произведения  сомножителей (позиномиальной функции):

                            Y= A* K^a * L^b ,                                            (3.14)

где A, a, b - постоянные коэффициенты, которые подлежат оценке по статистическим рядам.

С помощью функции  Кобба-Дугласа в работе на основе статистических данных произведена оценка параметров работы предприятия. При анализе используются численные значения Y, K и L, полученные для конкретного транспортного предприятия в процессе его работы. Степенные коэффициенты (параметры) a и b показывают ту долю в приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей (или на сколько процентов возрастёт выпуск продукта, если затраты соответствующего ресурса увеличить на один процент). Эти параметры принято называть коэффициентами эластичности  производства (перевозочного процесса) относительно затрат конкретного ресурса, соответственно, по капиталу и труду. Согласно теории, должно выполняться условие a + b = 1, что означает однородность функции: она возрастает пропорционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когда сумма параметров больше  или меньше единицы, что свидетельствует о том, что увеличение затрат приводит к непропорциональному увеличению или уменьшению выпуска (эффект масштаба).

Известно большое число  моделей, позволяющих адаптировать (3.14) к конкретному процессу и  учитывать влияние различных  факторов. В частности, для обеспечения  требуемой степени адекватности модели (3.14) и реального процесса, анализируемого на большом временном интервале, в производственную функцию можно ввести фактор времени в виде экспоненциального мультипликатора. Тогда производственная функция Кобба - Дугласа будет иметь вид:

                           Y = A * e ^bt * K ^a * L ^b ,                                   (3.15)

где  b- постоянный коэффициент, также подлежащий оценке.

  Уравнение (3.15) может  быть представлено линейной функцией  относительно оцениваемых коэффициентов  A, b, a и b, если вместо данных конечного продукта Y, основного капитала К и отработанных человеко-часов L взять их логарифмы. Тогда:

                                                      (3.16)

Используя статистические ряды, составим матрицу Х и вектор d:

X=                                                          (3.17)

где  n – число фиксированных моментов времени, в которых измеряются 
                 Y_i, K_i, L_i, t_i (число экспериментальных точек).

Введём вектор оцениваемых  коэффициентов: s=[lnA b ]^’. Тогда оптимальная оценка вектора s может быть выполнена с помощью различных методов численного анализа .

Учитывая хорошую обусловленность  матрицы Х, мы воспользуемся зависимостью:

s=( X^t *X )^-1 *X^t * d                                                                         (3.18)

 

% sah801.m

% Оценка коэффициентов  производственной

% функции Кобба-Дугласа. 15.10.2013г.

% 1. Исходные данные

Y=[304.2 317.8 316.8 346.9 367.9 376.3 393.8 388.9 419.5 426.8 ...

    432.5 427.2 455.1 465.7 473.5 503.5 523.3 546.1 593.9 623.6 636.7 667.4]';

K=[204.2 212.9 196.2 227.4 239.4 344.3 264.9 248.1 282.2 295.2 ...

    298.2 269.5 300.4 303.9 302.7 317.0 329.6 351.7 388.2 441.2 447.4 472.9]';

L=[109.3 110.0 109.1 111.3 113.9 113.8 114.9 110.8 114.8 116.5 ...

    114.3 111.1 113.7 114.1 113.8 115.5 117.5 119.3 122.2 124.0 123.6 125.2]';

% Решение

t=[1:22]';

S=[ones(22,1) t log(K)-log(L)];

y=log(Y)-log(L);

%Оценка:

s=S\y

%Вычисление коэффициентов:

coeff=[exp(s(1)) s(2) s(3) 1-s(3)]'

%Модель:

k=coeff;

Ym=k(1).*(exp(k(2).*t)).*(K.^k(3)).*(L.^k(4));

%Графические построения:

I=[1947:1968]';

plot(I,Y,'o',I,Y,'*',I,Ym),grid

title(' Модель Кобба - Дугласа')

xlabel('Измерения Y,K и L по годам: 1947-68')

ylabel(' Y, Ym  ')

% Индивидуальные задания  на курсовую работу (по вариантам):

% Yинд.=Y+№ варианта;Kинд.=K-№ варианта

 

>> sah801

 

s =

    0.9425

    0.0267

    0.1023

coeff =

 

    2.5663

    0.0267

    0.1023

    0.8977

 

>>