Примерные решения дифференциальных уравнений методом Милна

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

«Тюменский  Государственный Нефтегазовый университет»

Технологический институт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

По дисциплине: «Информатика»

На тему: «Примерные решения дифференциальных уравнений методом Милна»

 

 

 

 

 

 

 

Руководитель  работы                                                                                                    Студент группы ЭРПб-12

Чунихин С. А.                                                                                                                    Тамаров Д. А.

_____________________                                                                                               _____________________

                    ^{(дата, подпись)                                                                                                                          (дата, подпись)}

 

 

 

 

 

 

 

Тюмень

2012 г.

Содержание:

 

 

Введение  …………………………………………………………………………………………………………………… 3

Дифференциальные  уравнения ………………………………………………………………………………. 4

Задачи  Коши ……………………………………………………………………………………………………………...

Метод Милна  ……………………………………………………………………………………………………………..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти  два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся  чем-то запредельным и трудным в  освоении и многим студентам. Дисциплина «Дифференциальные уравнения» обеспечивает подготовку слушателей по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники. Дифференциальные уравнения являются одним из основных математических понятий, наиболее широко применяемых при решении практических задач. Причина этого состоит в том, что при исследовании физических процессов, решении различных прикладных задач, как правило, не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, характеризующие исследуемые явления. Обычно легче устанавливаются зависимости между теми же величинами и их производными или дифференциалами. Соотношения такого рода и называются дифференциальными уравнениями. Целью преподавания дисциплины «Дифференциальные уравнения» является формирование у будущих специалистов современных теоретических знаний в области обыкновенных дифференциальных уравнений и практических навыков в решении и исследовании основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений

Задачи изучения дисциплины:

• Овладение  навыками моделирования практических задач дифференциальными уравнениями; 
• Выработка умения классифицировать уравнения; 
• Выработка умения ставить и исследовать задачу Коши; 
• Овладение навыками интегрирования простейших дифференциальных уравнений первого порядка; 
• Выработка умения строить решение линейных уравнений и систем; 
• Формирование представлений о методах приближенного решения задач с помощью дифференциальных уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение бывают первого порядка. Они содержат:  
1) независимую переменную  ; 
2) зависимую переменную   (функцию); 
3) первую производную функции:  .                                                                                                          Оно имеет вид:                                                                                                                                                      F(x, y, y’) = 0.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида:                                                                             y’ = f (x)× g( y)                                                                                                                                         называется уравнением с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение первого порядка                                                                                         y’ = f (x)× g( y)                                                                                                                                             называется уравнением с разделяющимися переменными.

Дифференциальное  уравнение 2-го порядка имеет вид: 

F(x,y,y’,y”)=0 
 
Дифференциальное уравнение высших порядков имеет вид:

F(x,y,y’,y”…..,y⁽ⁿ⁾)=0

Дифференциальные  уравнения и системы имеют  бесконечное множество решений, которые отличаются друг от друга константами Для однозначного определения решения  требуется задать дополнительные   начальные   или граничные условия. Количество таких условий должно совпадать с порядком дифференциального уравнения или системы  В  зависимости от вида дополнительных условий в дифференциальных уравнениях различают: задачу Коши.

 

 

 

 

 

Задача Коши.

Задача Коши — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при  анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным  состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение  и начальное условие). Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы: 
Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши? 
Если решение существует, то какова область его существования? 
Является ли решение единственным? 
Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных? 
 
Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y=f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x0,y0) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y=f(x). Точка (x0,y0) задаёт начальные условия. При решении Задачи Коши применяют несколько методов и формул, но в моем случае мы будем рассматривать метод Милна.

 

Метод Милна.

Метод Милна

Милна относится к многошаговым методам и представляет один из методов  прогноза и коррекции. Однако он считается одним из наиболее простых и удобных.