Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Контрольная работа №1

Тема. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

 

Ход работы:

Задание 1. Переведите десятичные числа в двоичную систему счисления:

1) 96 = 11000002

96:2=48(0)

48:2=24(0)

24:2=12(0)

12:2=6(0)

6:2=3(0)

3:2=1(1)

 

2) 0.114 = 0.0001…2  

0.114*2=0.228(0)

0.228*2=0.456(0)

0.456*2=0.912(0)

0.912*2=1.824(1)

 

3) 34.675 = 100010.10101…2

34:2=17(0)

17:2=8(1)

8:2=4(0)

4:2=2(0)

2:2=1(0)

0.675*2=1.35(1)

0.35*2=0.7(0)

0.7*2=1.4(1)

0.4*2=0.8(0)

0.8*2=1.6(1)

 

4) 27 = 110112

27:2=13(1)

13:2=6(1)

6:2=3(0)

3:2=1(1) 

 

5) 0.65 = 0.101001…2

0.65*2=1.3(1)

0.3*2=0.6(0)

0.6*2=1.2(1)

0.2*2=0.4(0)

0.4*2=0.8(0)

0.8*2=1.6(1)

 

6) 0.25 = 0.01…2

0.25*2=0.5(0)  0.5*2=1(1)

Задание 2. Переведите десятичные числа в восьмеричную систему счисления:

1) 20 = 248    

20:8=2(4)

 

2) 0.44 = 0.341217…8  

0.44*8=3.52(3)

0.52*8=4.16(4)

0.16*8=1.28(1)

0.28*8=2.24(2)

0.24*8=1.92(1)

0.92*8=7.36(7)

 

3) 36.25 = 44.28

36:8=4(4)

0.25*8=2(2)

 

Задание 3. Переведите десятичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:

1) 128 = 8016

128:16=8(0)  

 

2) 100 = 6416

100:16=6(4)  

 

3) 0.125 = 0.216

0.125*16=2(2)

 

4) 345.75 = 159.1216

345:16=21(9)

21:16=1(5)

0.75*16=12(12)

 

Задание 4. Выполните перевод чисел, используя схему  А2à А8 à А16

1) 11111112 = 1778 = 7F16 

001  111  1112 = 1778

0111  11112 = 7F16

 

2) 10110112 = 1338 = 5B16

001  011  0112 = 1338

0101  10112 = 5B16

 

3) 100002 = 208 = 1016

010  0002 = 208

0001  00002 = 1016

 

4) 1100101110112 = 62738 = CBB16

110  010  111  0112 = 62738  1100  1011  10112 = CBB16

Соответствие чисел в различных системах счисления

Десятичная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Восьмеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17

Двоичная 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

 

 

Задание 5. Выполните перевод чисел, используя схему  А16 à А2  à А8 à А10

1) 10016 = 1000000002 = 4008 = 25610

10016 =  0001  0000  00002

100  000  0002 = 4008

4008 = 4*82+0*81+0*80 = 25610

 

2) 1016 = 100002 = 208 = 1610

1016 = 0001  00002

010  0002 = 208

208 = 2*81+0*80 = 1610

 

3) АВС16 = 1010101111002 = 52748 = 274810 

АВС16 = 1010  1011  11002

101  010  111  1002 = 52748

52748 = 5*83+2*82+7*81+4*80 = 274810

 

4) FF16 = 111111112 = 3778 = 25510

FF16 = 1111  11112

011  111  1112 = 3778

3778 = 3*82+7*81+7*80 = 25510

 

5) 56816 = 101011010002 = 25508 = 138410

56816 = 0101  0110  10002

010  101  101  0002 = 25508

25508 = 2*83+5*82+5*81+0*80 = 138410

 

 

6) AB16 = 101010112 = 2538 = 17110

AB16 = 1010  10112

010  101  0112 = 2538

2538 = 2*82+5*81+3*80 = 17110

 

Задание 6. Переведите восьмеричное число 0.3(52)8 в систему счисления по основанию 16.

0.3(52)8 = 0.3(A)16

0.3(52)8 = 0.011  (101  010)2

0.0011  (1010  1010  1010)2 = 0.3(A)16

 

Задание 7. Переведите шестнадцатеричное число 0.6(9)16 в систему счисления по основанию 8.

0.6(9)16 = 0.06(4631)8

0.6(9)16 = 0.0110  (1001)2

0.000  110  (100  110  011  001)2 = 0.06(4631)8

 

Задание 8. Переведите четверичное число 0.31(13)4 в систему счисления по основанию 8.

0.31(13)4 = 0.15(3567)8

0.31(13)4 = 0.11  01  (01  11)2

0.001  101  (011  101  110  111)2 = 0.15(3567)8

 

Задание 9. Переведите шестнадцатеричное число 0.F(2)16 в систему счисления по основанию 8.

0.F(2)16 = 0.17(1042)8

0.F(2)16 = 0. 1111  (0010)2

0.001  111  (001  000  100  010)2 = 0.17(1042)8

 

Задание 10. Даны три числа A, B и C, записанные соответственно в троичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления:

A = 21121.223

B = 153.1468

C = 26B.CD16

Какова сумма этих чисел, записанная в двоичной системе счисления?

B = 153.1468 = 001  101  011.  001  100  1102

C = 26B.CD16 = 0010  0110  1011.  1100  11012

B+C = 1101011. 0011001102 + 1001101011. 110011012 = 10110101112

A = 21121.223 = 2*34+1*33+1*32+2*31+1*30+2*3-1+2*3-2  = 205.(8)10                                   

A = 21121.223 = 205.(8)10 = 11001101.(11001)2 

205:2=102(1)

102:2=51(0)

51:2=25(1)

25:2=12(1)

12:2=6(0)

6:2=3(0)

3:2=1(1) 

0.8*2=1.6(1)

0.6*2=1.2(1)

0.2*2=0.4(0)

0.4*2=0.8(0)

0.8*2=1.6(1)   

 

A+B+C = 10110101112 + 11001101.(11001)2 = 1110100100.(11001)2

 

 

 

 

                            

Контрольная работа №2

Тема. Выполнение арифметических операций в различных позиционных системах счисления.

 

Ход работы:

Задание 1. Определите десятичный эквивалент (А10) двоичного числа (А2).

1) 10012 = 1*23+1*20 = 910

 

2) 11112 = 1*23+1*22+1*21+1*20 = 1510

  

3) 10111012 = 1*26 + 1*24+1*23+1*22+1*20 = 9310 

 

4) 1001102 = 1*25+1*22+1*21 = 3810

  

5) 11111110012 = 1*29+1*28+1*27+1*26+1*25+1*24+1*23+1*20 = 101710

 

6) 0.01 = 0*2-1+1*2-2 = 0.2510

 

Задание 2. Определите десятичный эквивалент (А10) восьмеричного числа (А8).

1) 1008 = 1*82 = 6410

 

2) 508 = 5*81 = 4010

 

3) 1028 = 1*82+2+81 = 6610

 

4)  0.78 = 7*8-1 = 0.87510

 

5) 0.048 = 4*8-2 = 0.062510

 

6) 0.368 = 3*8-1+6*8-2 = 0.437510

  

7) 76.058 = 7*81+6*80+5*-2 = 62.07812510

 

Задание 3. Определите десятичный эквивалент (А10) шестнадцатеричного числа (А16)

1) 4016 = 4*16=6410

 

2) 4116 = 4*16+1*160 = 6510

 

3) АВС16 = 10*162+11*161+12*160 = 274810

  

4) FC16 = 15*16+12*160 = 25210

   

5) 10016 = 1*162 = 25610

  

6) 0.0816 = 8*16-2 = 0.0312510

 

7) 0.АВ16 = 10*16-1 + 11*16-2 = 0,6679687510

 

8) 54.0С16 = 5*16+4*160+12*16-2 = 84.04687510

 

Задание 4. Определите сумму двоичных чисел (S=А+В). Проверьте результат путем перевода аргументов и суммы в десятичную систему счисления (А2®А10, В2®В10, S2®S10)

0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 10

 

1) 1012+1012 = 10102

1012 = 1*22+1*20 = 510

10102 = 1*23+1*21 = 1010

510+510 = 1010

 

2) 10012+11012 = 101102

10012 = 1*23+1*20 = 910

11012 = 1*23+1*22+1*20 = 1310

101102 = 1*24+1*22+1*21 = 2210

910+1310 = 2210

 

3) 1102+10112 = 100012

1102 = 1*22+1*21=610

10112 = 1*23 + 1*21+1*20 = 1110

100012 = 1*24+1*20 = 1710

610+1110 = 1710

 

4) 1101102+1110102 = 11100002

1101102 = 1*25+1*24+1*22+1*21 = 5410

1110102 = 1*25+1*24+1*23+1*21 = 5810

11100002 = 1*26+1*25+1*24 = 11210

5410+5810 = 11210

 

5) 10101.1012+11.012 = 11000.1112

10101.1012 = 1*24+1*22+1*20+1*2-1+1*2-3 = 21.62510

11.012 = 1*21+1*20+1*2-2 = 3.2510

11000.1112 = 1*24+1*23+1*2-1+1*2-2+1*2-3 = 24.87510

21.62510+3.2510 = 24.87510

 

6) 10001.112+101.00112 = 10110.11112

10001.112 = 1*24+1*20+1*2-1+1*2-2 = 17.7510

101.00112 = 1*22+1*20+1*2-3+1*2-4 = 5.187510

10110.11112 = 1*24+1*22+1*21+1*2-1+1*2-2+1*2-3+1*2-4 = 22.937510

17.7510+5.187510 = 22.937510

 

Задание 5. Выполните вычитание двоичных чисел с проверкой и использованием прямого и обратного кодов

0 - 0 = 0 
0 - 1 = 11 
1 - 0 = 1 
1 - 1 = 10

 

1) 11012–1012 = 10002

11012 = 1*23+1*22+1*20 = 1310

1012 = 1*22+1*20 = 510

10002 = 1*23 = 810

1310 – 510 = 810

 

2) 11012 – 10012 = 1002

11012 = 1*23+1*22+1*20 = 1310

10012 = 1*23+1*20 = 910

1002 = 1*22 = 410

1310 – 910 = 410

 

3) 1112 –10102 = -112

1112 = 1*22+1*21+1*20=710

10102 = 1*23+1*21 = 1010

-112 = -1*21+1*20 = -310

710 - 1010 = -310

 

4) 1002 –102 = 102

1002 = 1*22 = 410

102 = 1*21 = 210

410 - 210 = 210

 

5) 11112–111112 = 100002 

11112 = 1*23+1*22+1*21+1*20 = 1510

111112 = 1*24+1*23+1*22+1*21+1*20 = 3110

100002 = 1*24 = 1610

1510 - 3110 = -1610

 

6) 1000002–12 = 111112

1000002 = 1*25 = 3210

12 = 1*20 = 110

111112 = 1*24+1*23+1*22+1*21+1*20 = 3110

3210-110 = 3110

 

Задание 6. Умножьте двоичные числа (С=А×В). Проверьте результат путем перевода аргументов и произведения в десятичную систему счисления (А2®А10, В2®В10, С2®С10)

0 ´ 0 = 0 
0 ´ 1 = 0 
1 ´ 0 = 0 
1 ´ 1 = 1

 

1) 10102´102 = 101002

10102 = 1*23+1*21 = 1010

102 = 1*21 = 210

101002 = 1*24+1*22 = 2010

1010´210 = 2010

 

2) 1112´111112 = 110110012

1112 = 1*22+1*21+1*20 = 710

111112 = 1*24+1*23+1*22+1*21+1*20 = 3110

110110012 = 21710

710´3110 = 21710

 

3) 10102´1002 = 1010002

10102 = 1*23+1*21 = 1010

1002 = 1*22 = 410

1010002 = 1*25+1*23 = 4010

1010´410 = 4010    

 

4) 1102´1102 = 1001002

1102 = 1*22+1*21=610

1001002 = 1*25 = 1*22 = 3610

610*610 = 3610

 

5) 11012´1012 = 10000012 

11012 = 1*23+1*22+1*20 = 1310

1012 = 1*22+1*20 = 510

10000012 = 1*26+1*20 = 6510

1310´510 = 6510

 

6) 11012´1002 = 1101002

11012 = 1*23+1*22+1*20 = 1310

1002 = 1*22 = 410

1101002 = 1*25+1*24+1*22 = 5210

1310´410 = 5210

 

Задание 7. Выполните деление двоичных чисел (D=A:В). Проверьте результат путем перевода аргументов и частного в десятичную систему счисления (А2®А10, В2®В10,D2®D10)

1) 10111012 : 10102 = 10012

10111012 = 1*26+1*24+1*23+1*22+1*20=9310 

10102 = 1*23+1*21 = 1010

10012 = 1*23+1*20 = 910

9310 : 1010 = 9.3

2) 101010102 : 1012 = 1000102

101010102 = 1*27+1*25+1*23+1*21 = 17010

1012 = 1*22+1*20 = 510

1000102 = 1*25+1*21 = 3410

17010 : 510 = 3410

 

3) 11010102 : 1102 = 100012

11010102 = 1*26+1*25+1*23+1*21=10610

1102 = 1*22+1*21 = 610

100012 = 1*24+1*20 = 1710

10610 : 610 = 17.6710

    

4) 10110102 : 10002 = 10112

10110102 = 1*26+1*24+1*23+1*21 = 9010

10002 = 1*23 = 810

10112 = 1*23+1*21+1*20 = 1110

9010 : 810 = 11.310

 

Задание 8. Выполните действия над восьмеричными числами:

 

´	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

 

1) 1018+7278 = 10308

     

2) 158´1008 = 15008

 

3) 1068-548 = 328

 

4) 148´778 = 13648

 

5) 0.778+0.348 = 1.338

 

6) 24608:128 = 2048

 

Задание 9. Выполните действия над шестнадцатеричными числами

1) 78116 + 78A16 = F0B16   

2) A0516 : BE16 = D,816

 

3) FED16 + 12316 = 111016 

 

4) FA.B16 : C816 = 1,40(E147A)16

 

5) FF16 - 8C16 = 7316   

 

6) D5A16 ´ 10016 = D5A002

 

Задание 10. Определите количество целых чисел, кратных:

а) 1112 в интервале (-11102; 1111012)

1112 = 1*22+1*21+1*20 = 710

-11102 = -1*23+1*22+1*21 = -1410

1111012 = 1*25+1*24+1*23+1*22+1*20 = 6110

(-14; -7; 0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56)

число 1112 кратно 11 целым числам в интервале (-11102; 1111012).

 

б) 1112 в интервале (-B16; 2518);

1112 = 1*22+1*21+1*20 = 710

-B16 = 11*160 = -1110

2518 = 2*82+5*81+1*80= 16910

(-7; 0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91; 98; 105; 112; 119; 126; 133; 140; 147; 154; 161; 168)

число 1112 кратно 26 целым числам в интервале (-B16; 2518).

 

Задание 11. Определите двузначное десятичное число, для которого справедливо равенство:

XY5 = YX7

325 = 237

325 = 3*51+2*50 = 1710

237 = 2*71+3*70 = 1710

1710=1710

 

Задание 12. Трехзначное число, записанное в системе счисления с основанием 3, при перестановке крайних цифр становится числом, выражающим то же количество, но уже в системе счисления с основанием 4. Определите это число.

xyz3 = zyx4

2113 = 1124

2113 = 2*32+1*31+1*30 = 2210

1124 = 1*42+1*41+2*40 = 2210

2210 = 2210

 

Задание 13. Определите наименьшее основание позиционной системы счисления х, при котором:

145x = 442y

1459 = 4425

1459 = 1*92+4*91+5*90 = 12210

4425 = 4*54+4*51+2*50 = 12210

12210 = 12210

 

Задание 14. Трехзначное число, записанное в шестнадцатеричной системе счисления, увеличивается вдвое от перестановки первой цифры в конец числа. Определите максимальное из таких чисел, записанное в системе счисления по основанию 16.

Решение: Обозначим цифры искомого числа X в порядке убывания весов разрядов через a, b, c. Это означает, что

X = a*162+b*161+c*160.

Тогда условие удвоения числа от перемещения в конец первой цифры запишется так:

a*162+b*161+c*160 = 2*( a*162+b*161+c*160)

Отсюда по законам умножения следует, что

a = (2*c)mod16 = 2*c-m*16

Целое число m есть число переносов в разряд 161 результата умножения. Так как, с принадлежит [0;15], то (2*c)max = 30. Следовательно, m принадлежит [0;2].

Для разряда c числа в левой части равенства имеем:

c = (2*b+m)mod16 = 2*b+m-n*16

Целое число n есть число переносов в разряд 162 результата умножения. Так как, b принадлежит [0;15], то (2*b+m)max = 32. Следовательно, n принадлежит [0;2].

Для разряда b числа в левой части равенства имеем:

b = (2*a+n)mod16 = 2*a+n

Переносов в данном случае нет, т.к. результат умножения по условию задачи является трёхразрядным числом. Сводя результаты поразрядного умножения в одну систему, получим:

a = 2*c-m*16

c = 2*b+m-n*16

b = 2*a+n

 

a-2*c = -m*16

c-2*b = m-n*16

b-2*a = n_______

-a-b-c=-15m-15n

a+b+c=15*(m+n)

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа №3