О построении магических квадратов в системе программирования Паскаль

О построении магических квадратов

В системе программирования Паскаль

 

                                                        А.А. Болотов

Красноярский государственный  педагогический университет им. В.П. Астафьева 

Научный руководитель: Рогов В.В. , доцент

Вопросы построения магических квадратов являются одними из интереснейших  задач  теории чисел.

Магические квадраты всегда привлекали внимание людей не столько своими математическими, сколько  скрытыми в них, по  мнению многих, мистическими свойствами. В современном мире от мистики отказались, но и не отказались от теории магических квадратов, которая находит свое применение в науке и обучении.

 Магическим квадратом  порядка N называется квадратная  таблица размером  N·N   из  N² последовательных натуральных чисел от 1 до N² , которые размещены так, что суммы элементов любого столбца, строки или главной диагонали одинаковы. Результат вычисления любой из перечисленных сумм принято называть магической суммой или константой магического квадрата.  Магическая сумма вычисляется по формуле:

                   S = (1 + n²)·n/2.

В работе рассматриваются простейшие методы построения магических квадратов любого порядка N и реализация соответствующих алгоритмов в системе Паскаль. Задачи построения волшебных квадратов рассматривались  математиками в Китае  и  Индии  еще в третьем тысячелетии до нашей эры  и получили развитие в Европе в эпоху Возрождения.

Предметом исследования является  разработка материалов для  организации и проведения элективного  курса со школьниками в дальнейшем  по теме «Магические квадраты».

 Цель исследования: изучить свойства и методы  построения магических квадратов  произвольного порядка N.

 Проблемой исследования  стала определенная сложность   реализации методов построения  магических квадратов в системе Паскаль, немногочисленность методической литературы по теме исследования.

 Гипотеза: знакомство учащихся с алгоритмами построения  магических квадратов позволит, по нашему мнению, развить  у них интерес к математике и информатике,  будет способствовать формированию  алгоритмической культуры  учащихся.

Во время учебной  практики были рассмотрены следующие  задачи: 

 а) Обзор исторической и методической литературы по теме исследования,

         б) Определение  типов и свойств магических квадратов,

        в) Способы построения  магических квадратов,

 г) Реализация методов  построения магических квадратов  в  системе программирования Pascal.

Правила построения магических квадратов определяют три вида магических квадратов в зависимости от порядка   n  квадрата:

1)  Магические  квадраты   нечетного порядка       (n=2m+1).

2)  Магические   квадраты  четно-четного порядка     (n=4m).

3)  Магические квадраты четно-нечетного порядка (n=4m+2).

Рассмотрим  «индийский»  способ построения магических квадратов нечетного порядка  n = 2m+1, являющийся самым древним известным алгоритмом построения магических квадратов.

         Будем считать, что сверху и справа  от основного квадрата расположены такие же квадраты. Элементы квадратов, расположенные на одинаковых местах  в квадратах назовем эквивалентными. Числа от 1 до n² поочередно вписываем в клетки основного квадрата.

1. Число 1 запишем в  среднюю клетку первой (верхней)  строки  основного квадрата с  координатами   (x = m+1 , y = 1).

2. Если число  k  вписано в клетку с координатами  (x, y), то следующее число k+1  вписываем в клетку  с координатами  (x-1, y-1), если она свободная (по направлению восходящей диагонали).

3. Если  клетка  с  координатами  (x-1, y-1)  уже занята, то число  k+1  вписываем в клетку  с координатами  (x, y+1), т.е. в клетку, примыкающую снизу к клетке (x, y).

4. Если  правила  2, 3  требуют вписать число в клетку, лежащую вне основного квадрата, то вместо этого это число  вписывается  в  эквивалентную  клетку основного квадрата.

На рис.1  изображен магический квадрат порядка 5,  построенный по индийскому алгоритму:

                               

Программа этого алгоритма для построения магических квадратов нечетного порядка n <=15 , написанная на Паскале,  приводится ниже:

  

program magikodd;

uses  crt;

const mn=15;

var  i,j,k,s,b,t,n : byte;

     a: array[1..mn,1..mn] of byte;

procedure print;

begin for i:=1 to n do

       begin for k:=1 to n do

               write(a[i,k]:4);

               writeln;

       end;

end;

begin  clrscr;

    repeat writeln('Выберите  нечетный порядок:');

       readln(n);  writeln;

           if n mod 2<>1  then   writeln('ошибка')

           until n mod 2 = 1;

    begin i:=1; j:=(n+1) div 2;

     for k:=1 to n*n do

   begin a[i,j]:=k;

        if k mod n <> 0 then

       begin i:=i-1; j:=j+1;

             if i=0 then i:=n;

             if j>n then  j:=1;

        end else

      begin i:=i+1;

      end;

   end;

    print; writeln;

    writeln('магическая  сумма=',(1+n*n)*n div 2);

    readkey;

end;

end.

 

Для магических     квадратов   четно-четного порядка (n=4m)   и магических квадратов четно-нечетного порядка (n=4m+2) составлены аналогичные программы,  однако использованный алгоритм  Раус– Болла построения  таких квадратов значительно  сложнее индийского алгоритма.

Выполненные исследования позволяют сделать следующие  выводы:

1. Теория магических  квадратов имеют древнекитайское  происхождение.

2. Единого универсального  способа построения магических  квадратов нет.

3. С помощью построенных программ можно создавать магические квадраты одного и того же типа.

4.  Количество различных  магических  квадратов порядка  n с увеличением n быстро растет. Для n=4 их 880, для n=5 их уже почти четверть миллиона.

5. Нам кажется, что теория магических квадратов, основанная на теории сравнений, многочисленные алгоритмы построения магических квадратов  достаточно интересны  для школьников, и эти материалы могут стать основой элективного курса по математике и информатике.

Библиографический  список

 

1.  Депман И.Я., Виленкин И.Я. За страницами учебника математики. – Москва: Просвещение, 1989.

2.  Постников М.М. Магические  квадраты. – М.: Наука, 1954.

3. http://cad.narod.ru/methods/cad systems/software/kvadrat.html