Нахождение площади фигуры,описанной определенным интегралом

 

 

Содержание

Введение                                                                                                      4

1. Теоретическая часть                                                                            5
1. Определенный интеграл                                                                    5
2. Несобственный интеграл                                                                   7
2. Разработка программы                                                                    9
1. Среда разработки                                                                              9
2. Алгоритм                                                                                           10
3. Исходный код                                                                                    11
4. Пользовательский интерфейс и структура                                     12
5. Тестирование                                                                                     13

Вывод                                                                                                          14

Список  использованной  литературы                                                     15

 

 

Введение

В курсовой работе рассмотрены вопросы  некоторого приложения определенного  интеграла.

Цель: изучить актуальность применения определенного интеграла и широту его использования в математике, оценить ее практическую и теоретическую значимость.

При разработке данного вопроса, был  также рассмотрен несобственный  интеграл, как частный случай определенного  интеграла, его определение и  виды.

 

 

1. Теоретическая часть
1. Определенный интеграл

Пусть функция f(x) задана в некотором  промежутке [a,b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления:

Наибольшую  из разностей

(i=0,1,2, …,n-1)

будем впредь обозначать через л.

Возьмем в каждом из частных промежутков  по произволу точку

и составим сумму

Говорят, что сумма у при л→0 имеет (конечный) предел I, если для каждого числа е>0 найдется такое число д>0, что, лишь только л<д (т.е. основной промежуток разбит на части, с длинами ), неравенство

 

 

выполняется при любом выборе чисел  .

 

Записывают  это так:

. (1)

Этому определению  «на языке е-д», как обычно, противопоставляется определение «на языке последовательностей». Представим себе, что промежуток [б,b] последовательно разбивается на части, сначала одним способом, затем – вторым, третьим и т.д. Такую последовательность разбиений промежутка на части мы будем называть основной, если соответствующая последовательность значений сходится к нулю.

Равенство (1) можно понимать теперь и в том  смысле, что последовательность значений суммы у, отвечающая любой основной последовательности разбиений промежутка, всегда стремится к пределу I, как  бы ни выбирать при этом .

Второе  определение позволяет перенести  основные понятия и предложения  теории пределов и на этот новый  предел.

Конечный  предел I суммы у при л→0 называется определенным интегралом функции f(x) в  промежутке от б до b и обозначается символом

;

в случае существования такого предела функции f(x) называется интегрируемой в промежутке [б,b].

Числа б  и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.

 

2. Несобственные интегралы

Пусть f непрерывна на луче на луче и F(x) – первообразная для f на луче . Если существует

,

то этот предел обозначается и называется сходящимся несобственным интегралом.

Несобственные интеграл вида и аналогичный интеграл получаются при замене в интеграле Римана с помощью функции

t=t(x),

непрерывной и дифференцируемой на полуинтервале [a,b) ( или (a,b] ) и

 

являющейся  бесконечно большой определенного  знака при (или ).

Здесь существенно, что особой точкой функции t является именно конец (левый или правый) отрезка [a,b]. Если особой точкой t(x) (как в разобранном выше примере) является внутренняя точка с интервала (a,b), то разбивается на и , и переход к аргументу t делается раздельно в каждом из слагаемых.

 

Пример.

Вычислим

Пусть

,

Другим видом  несобственного интеграла является интеграл , если функция f не ограничена на , но непрерывна на при любом , (или на ), т.е. не ограничена в окрестности точки (точки b).Этот интеграл существует (сходится), если существует:

 

2. Разработка программы

 

1. Среда разработки

Microsoft Visual Studio — линейка продуктов компании Майкрософт, включающих интегрированную среду разработки программного обеспечения и ряд других инструментальных средств. Данные продукты позволяют разрабатывать как консольные приложения, так и приложения с графическим интерфейсом, в том числе с поддержкой технологии Windows Forms, а также веб-сайты, веб-приложения, веб-службы как в родном, так и в управляемом кодах для всех платформ, поддерживаемых Microsoft Windows, Windows Mobile, Windows CE, .NET Framework, .NET Compact Framework и Microsoft Silverlight.

Visual Studio включает в себя редактор исходного кода с поддержкой технологии IntelliSense и возможностью простейшего рефакторинга кода. Встроенный отладчик может работать как отладчик уровня исходного кода, так и как отладчик машинного уровня. Остальные встраиваемые инструменты включают в себя редактор форм для упрощения создания графического интерфейса приложения, веб-редактор, дизайнер классов и дизайнер схемы базы данных. Visual Studio позволяет создавать и подключать сторонние дополнения (плагины) для расширения функциональности практически на каждом уровне, включая добавление поддержки систем контроля версий исходного кода (как например, Subversion и Visual SourceSafe), добавление новых наборов инструментов (например, для редактирования и визуального проектирования кода на предметно-ориентированных языках программирования или инструментов для прочих аспектов цикла разработки программного обеспечения (например, клиент Team Explorer для работы с Team Foundation Server).

 

 

 

2. Алгоритм

 

 

 

 

 

 

 

3. . Исходный код

 

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Linq;

using System.Text;

 

namespace ConsoleApplication1

{

 

    class Program

    {

        static double MyMin(double f)

        {

            double Fx;

            return(Fx = (Math.Cos(f*f*f) )/ (1 + (f * f)) );

        }

 

        static void Main(string[] args)

        {

            double a, b, fx1, fx2, e, q, summa,si;

            int i;

            Console.WriteLine("Введите исходные значения:");

            Console.WriteLine("Начальное значение x (a)=");

            a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

            Console.WriteLine("Конечное значение x (b)=");

            b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

            Console.WriteLine("Точность вычисления (e)=");

            e = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());

            Console.WriteLine("----------------");

            Console.WriteLine("------------------>Метод трапеций.");

            q = ((b - a) / e);

            Console.WriteLine("всего итераций " + q);

            summa = 0;

            i = Convert.ToInt32(q);

                for (int g = 0; g != i+1; g++)

                    {

                            fx1 = MyMin(a);

                            fx2 = MyMin(a + e);

                            if (g != i)

                            {

                                si = ((fx1 + fx2) / 2) * e;

                                summa = summa + si;

                                Console.WriteLine("1a= " + a + ", fx1= " + fx1 + ", FX2= " + fx2 + ", si= " + si + ", summa= " + summa);

                            }

                            else

                            {

                                fx1 = MyMin(a);

                                si = ((fx1+fx1) / 2) * e;

                                summa = summa + si;

                                Console.WriteLine("2a= " + a + ", fx1= " + fx1 + ", FX2= " + fx2 + ", si= " + si + ", summa= " + summa);

                            }

                            a=a+e;  

                    }

            Console.WriteLine("---------------------------------");

            Console.WriteLine("Конец вычислений! Нажмите enter");

            Console.ReadLine();

        }

    }

}

 

4. . Пользовательский интерфейс и структура

В данной работе не стояло задачи, создать  программный продукт для внедрения  и использования его конечными  пользователями. Единственное возможное  применение данной программы. Это интегрирование её в более мощное программное  средство. С учетом данных особенностей, я решил разработать консольное приложение, поскольку оно максимально  упрощает и делает более понятным исходный код, за счёт тог, что программа  взаимодействует только с одним  объектом – консолью.

Для работы пользователь должен запустить  программу. Это можно сделать, нажав  на соответствующую иконку или из окна программы Microsoft Visual Studio. На экране появится консоль программы. Затем в окне необходимо ввести число в восьмеричной системе счисления. После ввода числа, пользователь должен нажать клавишу «Enter», и в окне программы появится это же число, но уже в десятичном представлении. Для прекращения работы программы, пользователь должен нажать на знак креста в правом верхнем углу окна, воспользоваться сочетанием клавиш «Alt»+«F4», либо повторно нажать клавишу «Enter».

 

 

5. . Тестирование

Тестирование программного обеспечения  — процесс исследования программного обеспечения (ПО) с целью получения информации о качестве продукта.

Существующие на сегодняшний день методы тестирования ПО не позволяют  однозначно и полностью выявить  все дефекты и установить корректность функционирования анализируемой программы, поэтому все существующие методы тестирования действуют в рамках формального процесса проверки исследуемого или разрабатываемого ПО.

В качестве примера я взял произвольный интеграл с функцией вида      Y= , и просчитал его,в пределах интегрирования [1,2].

Значение х	Площадь криволинейной трапеции
1	0.913223
1.1	0.1673669
1.2	0.2316749
1.3	0.2867709
1.4	0.3345033
1.5	0.3762568
1.6	0.4130891
1.7	0.4458222
1.8	0.4751047
1.9	0.5014551
2.0	0.513955

Таким образом программа успешно пошла данный тест. Следует отметить, что все вычисления приведенные в тесте, программа вычисляла примерно за одну секунду. Сложность данного алгоритма N, где N – число итераций.

 

 

 

Вывод

В результате проведённых исследований была разработана программа для  вычисления определенного интеграла. Программа успешно прошла тестирование. И успешно может быть внедрена в более сложные математические программы.