Моделирование случайных воздействий

Лекция № 11

Моделирование случайных воздействий

 

В моделировании систем методами имитационного моделирования, существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Для их формализации используются случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы.  Формирование реализации случайных объектов любой природы  сводится к генерации и преобразованию последовательностей случайных чисел.

В практике имитационного моделирования систем на ЭВМ ключевым факторам является оптимизация алгоритмов работы со случайными числами.

  Таким образом, наличие эффективных методов, алгоритмов и программ формирования, необходимых для моделирования конкретных систем последовательностей случайных чисел, во многом определяет возможности практического использования машинной имитации для исследования и проектирования систем.

Моделирование случайных событий.

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события..

1. Пусть имеются случайные  числа xi т. е. возможные значения случайной величины x, равномерно распределенной в интервале (0, 1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, как сосотоящее в том, что выбранное значение xi случайной величины x удовлетворяет неравенству

                                                                (1)

 

Тогда вероятность наступления события А будет Противоположное событие состоит в том, что xi >p. Тогда Р( ) = 1—р.

Процедура моделирования состоит в выборе значений xi и сравнении их с р. Если условие (1) выполняется, то исходом испытания является событие А.

2. Пусть A1, А2, ..., А, — событий, наступающих с вероятностями p1, p2, ..., р. Определим Аm как событие, состоящее в том, что выбранное значение xi, случайной величины удовлетворяет неравенству

 

 

 

 

|

Процедура моделирования испытаний в последовательном сравнении случайных чисел xi со значениями lt. Исходом испытания называется событие Аm, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p1, p2, ..., р

Пусть, независимые события А и В, поступающие с вероятностями pA и pB .Возможными исходами совместных испытаний будут события с вероятностями

В моделировании испытаний можно использовать два варианта расчетов:

1) последовательную проверку  условия (2);

2) определение одного  из исходов по жребию 
с соответствующими вероятностями.

Для первого варианта необходима пара чисел xi, для выполнения условия (1). Во втором варианте необходимо одно число xi, но   сравнений   может   потребоваться   больше.  

Пусть события А и В являются 
зависимыми. События наступают с вероятностями pA и pB.  
Р(В/А) - условная вероятность наступления события В при  
что событие А произошло. Считается, что условная вероятность Р(В/А) задана.

Из последовательности случайных чисел { xi } извлекается число хт, удовлетворяющее хт<рл. Если этой неравенство справедливо, то наступило событие А. Дальше из совокупности чисел {х,} берется очередное число хm+1 и проверяется условие xm+1≤P(B/A). Возможный исход испытания являются АВ или А .

Если условие хт <рА не выполняется, то наступило событие А. Для испытания, связанного с событием В, необходимо определить вероятность 

Выберем из совокупности {х,} число хт+1, проверим справедливость неравенства xm+1≤P(B/A). В зависимости от того, выполняется оно или нет, получим исходы испытания А В или А В.

Схема моделирующего алгоритма для зависимых событий 

Алгоритм включает следующие процедуры:

ВИД [...]-процедура ввода исходных данных;

ГЕН [...] — генератор равномерно распределенных случайных чисел;

ХМ=хт;

XMI=хm+1;

PA=pA РВ=рB;

РВА = Р(В/А);

PBNA = P(B/A);

КА, KNA, КАВ, KANB, KNAB, KNANB — число событий ;

ВРМ [...] — процедура выдачи результатов моделирования.

Моделирование Марковских цепей

Пусть простая однородная марковская цепь определяется матрицей переходов

где pij — вероятность перехода из состояния zi, в состояние zj.

Матрица переходов Р полностью описывает марковский процесс. Так как сумма элементов каждой строки равна 1, то данная матрица является стохастической, т. е.

Пусть pi(n), - вероятность, что система будет находиться в состоянии zi после п переходов. По определению .

 

Пусть возможными исходами испытаний являются события At, A2, .., Ak. pij — это условная вероятность наступления события aj в данном испытании при условии, что исходом предыдущего испытания было событие ai.

Моделирование такой цепи Маркова состоит в последовательном выборе событий aj по жребию с вероятностями рij. Последовательность действий следующая:

1. выбирается начальное состояние z0, задаваемое начальными вероятностями . Из последовательности чисел {хi} выбирается число хт и сравнивается с (2).  рi - это значения . Выбирается номер т0, удовлетворяющий неравенству (2). Начальным событием данной реализации цепи будет событие Аmo.
2. выбирается следующее случайное число xm+1, которое сравнивается с lt. В качестве pi используются pmoj . Определяется номер m1. Следующим событием данной реализации цепи будет событие Am1 и т. д.

Каждый номер mi, определяет не только очередное событие Ami но и распределение вероятностей pmi1, pmi2, …. pmik для определения очередного номера mi+1. Для эргодических марковских цепей влияние начальных вероятностей быстро уменьшается с ростом номера испытаний.

Эргодический марковский процесс - это всякий марковский процесс, для которого предельное распределение вероятностей pi(n), , не зависит от начальных условий pi(0). Поэтому можно принимать, что

Моделирование дискретных случайных величин.

Дискретная случайная величина h принимает значения с вероятностями p1,p2,…,pj составляющими дифференциальное распределение вероятностей

 (3)

(4)

Интегральная функция распределения

Для получения дискретных случайных величин используется метод обратной функции. Если x случайная величина, распределенная на интервале (0,1), то случайная величина h получается с помощью преобразования           (5)  

где — функция, обратная Fn.

Алгоритм вычисления (3) и (4) сводится к выполнению следующих действий:

   При счете по (6) среднее число циклов сравнения .

Моделирование непрерывных случайных величин

Непрерывная случайная величина h задана функцией распределения

где — плотность вероятностей.

Для получения непрерывных случайных величин используется метод обратной функции. Взаимно однозначная монотонная функция преобразует случайную величину x, равномерно распределена на интервале (0,1) в случайную величину h с требуемой функцией плотности . Чтобы получить числа из последовательности {yi}, имеющие функцию плотности , необходимо разрешить относительно yi уравнение (3)

Пример 1. Получить случайные числа с показательным законом

распределения:

 

В силу соотношения (3) получим

 

где xi — случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0, 1). Тогда

 

- случайная величина, распределенная на интервале (0, 1), поэтому можно записать