Моделирование случайных величин в табличном процессоре Microsoft Office Excel

.  (5)

Если в качестве базовых  случайных чисел R взять последовательность r_i, фрагмент которой показан на рис. 1.1, то по формуле (5) получится последовательность экспоненциально распределенных СВ, частотная гистограмма которой изображена на рис. 2.2.1.

Второй метод моделирования экспоненциально распределенных случайных величин использует то свойство, что сумма квадратов двух нормально распределенных случайных величин x₁ и x₂ с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ² распределена по экспоненциальному закону. Таким образом, расчетная формула имеет вид:

.

Рис. 2.2.1. Частотная гистограмма последовательности СВ, распределенных по экспоненциальному закону с параметром λ.=0,5.

Рис. 2.2.2. Частотная гистограмма последовательности экспоненциально распределенных СВ, полученных сложением квадратов двух независимых нормально распределенных СВ с параметрами распределения m = М(х) = 0  и  s = σ = 0,5.

Как видно из рис. 2.2.1 и 2.2.2 оба алгоритма дают достаточно хорошее приближение к экспоненциальному закону распределения.

Литература

1. INTUIT.ru: Интернет-Университет Информационных Технологий — дистанционное образование, 2003−2010
2. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс: Учебное пособие. — М.: Едиториал УРСС, 2002.
3. Гультяев А.К. MATLAB 5.3. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. — СПб.: КОРОНА принт, 2001.— 400 с.
4. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. — М.: Высш. шк., 2001.
5. Нейман Ю. Вводный курс теории вероятностей и математической статистики. — М.: Наука, 1986.

 

Практическая реализация метода Монте-Карло в табличном процессоре Microsoft Office Excel

Пшеницына Н.С.

Метод Монте-Карло является классическим методом имитационного моделирования. Одно из самых распространенных применений этого метода — вычисление площадей плоских фигур, которое сводится к вычислению определенного интеграла.

Рассмотрим практическую реализацию метода Монте-Карло в табличном процессоре Excel на примере нахождения значения определенного интеграла

1 шаг. Определим прямоугольник, который описывает криволинейную трапецию. Для этого найдем наибольшее значение подынтегральной функции на заданном отрезке [1; 4]. Найдем производную

и приравняем ее к нулю, x = –1 — стационарная точка, не принадлежит отрезку [1; 4]. Найдем значение функции на концах отрезка.

; .

Наибольшее значение подынтегральной  функции

равно 3/16. Описывающий прямоугольник будет задаваться отрезками: по оси X — [1; 4], по оси Y — [0; 3/16].

2 шаг. Найдем на отрезке [1; 4] оси X 10 произвольных точек. Для этого введем в диапазон С1:L1 случайные числа, равномерно распределенные на отрезке [0; 1]. Переведем их в случайные числа, равномерно распределенные на отрезке [1; 4]. Для этого в ячейки C2:L2 введем формулу = {1+(4–1)*C1:L1}. В общем случае формула перевода значений из отрезка [0; 1] в произвольный отрезок [a; b] будет иметь вид: x' = a + (b − a)·x, где x — значение из отрезка [0; 1], x´ — значение из отрезка [a; b].

Аналогично, найдем на оси Y 10 произвольных точек. В диапазон А3:А12 введем произвольные значения из отрезка [0; 1], в диапазоне B2:B12 получим случайные числа из отрезка [0; 3/16]. В итоге мы получили 100 точек (n=100) с произвольными координатами (x; y). Выясним, сколько точек оказалось внутри криволинейной трапеции. Если точка находится ниже кривой y = f(x), то на пересечении соответствующих строки и столбца ставим значение 1, иначе 0. Логическое условие будет выглядеть как f(x) > y. Для нашего примера в ячейке С3 формула следующая: =ЕСЛИ((C$2+2)/((C$2+3)^2)>$B3;1;0). Подсчитаем количество точек m, координаты которых, удовлетворяют неравенству f(x) > y. Это сумма ячеек C3:L12.

Найдем площадь прямоугольника, образованного отрезками [1; 4] на оси X и [0; 3/16] на оси Y, она будет равна

.

Площадь криволинейной трапеции будет  прямо пропорциональна отношению m/n, т.е.

.

После заполнения всех ячеек таблица примет вид, показанный на рис 1.

Рис. 1. Нахождения значения определенного интеграла методом 
Монте-Карло в табличном процессоре Excel.

Очевидно, что значение интеграла  тем точнее, чем больше случайно полученных точек. Проведем повторные эксперименты, увеличивая количество точек (400, 900, 1600, 2500, 3600), все остальные вычисления остаются аналогичными. Сводная таблица значений и кривая зависимости значения интеграла от количества точек приведены на рисунках 2 и 3.

Рис. 2. Значения интеграла в зависимости от количества точек n.

Рис. 3. Кривая зависимости значений интеграла от количества точек n.

Найдем точное значение интеграла  с помощью любого математического  пакета или вручную и сравним  с полученным результатом. Точное значение заданного интеграла равно

.

Литература

1. INTUIT.ru: Интернет-Университет Информационных Технологий —  дистанционное образование, 2003−2010
2. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс: Учебное пособие. — М.: Едиториал УРСС, 2002.— 144 с.