Модели и моделирование

• интуитивное моделирование, которое  сводится к мысленному эксперименту на основе практического опыта работников (широко применяется в экономике);

• физическое моделирование, при котором  модель и моделируемый объект представляют собой реальные объекты или процессы единой или различной физической природы, причем между процессами в  объекте-оригинале и в модели выполняются некоторые соотношения  подобия, вытекающие из схожести физических явлений;

• структурно-функциональное моделирование, при котором моделями являются схемы, (блок-схемы), графики, чертежи, диаграммы, таблицы, рисунки, дополненные специаль-ными правилами их объединения и преобразования;

• математическое (логико-математическое) моделирование, при котором моделирова-ние, включая построение модели, осуществляется средствами математики и логики;

• имитационное (программное) моделирование, при котором логико-математическая модель исследуемого объекта представляет собой алгоритм функционирования объекта, реализованный в виде программного комплекса для компьютера. 

Перечисленные выше виды моделирования  не являются взаимоисключающими и могут  применяться при исследовании сложных  объектов либо одновременно, либо в  некоторой комбинации. Отдельно следует  сказать о компьютерном моделировании, являющемся развитием имитационного  моделирования. 

Компьютерное моделирование. Первоначально  под компьютерным моделированием (или, как говорили, моделированием на ЭВМ) понималось лишь имитационное моделирование. Исторически случилось так, что  первые работы по компьютерному моделированию  были связаны с физикой. Затем  разработанные подходы распространились на задачи химии, электроэнергетики, биологии и некоторые другие дисциплины, причем схемы моделирования не слишком  отличались друг от друга. Этот вид  моделирования все еще широко распространен и в научных, и  прикладных исследованиях.

Однако сегодня понятие «компьютерное  моделирование» чаще связывают не с  фундаментальными дисциплинами, а в  первую очередь с системным анализом. Следует заметить, что компьютер  может быть весьма полезен при  всех видах моделирования (за исключением  физического моделирования, где  компьютер тоже может использоваться, но, скорее, для целей управления процессом моделирования). Изменилось и понятие компьютерной модели. Раньше под компьютерной моделью чаще всего  понимали имитационную модель — отдельную  программу, совокупность программ или  программный комплекс, позволяющий  с помощью последовательности вычислений и графического отображения их результатов  воспроизводить (имитировать) процессы функционирования объекта. В настоящее  время под компьютерной моделью  чаще всего понимают структурно-функциональную модель — условный образ объекта, описанный с помощью взаимосвязанных  компьютерных таблиц, блок-схем, диаграмм, графиков, рисунков, анимационных фрагментов, гипертекстов и отображающий структуру и взаимосвязи между элементами объекта.

Таким образом, мы видим, что понятие  «компьютерное моделирование» значительно  шире традиционного понятия «моделирование на ЭВМ» и нуждается в уточнении, учитывающем сегодняшние реалии.

Компьютерное моделирование - это  метод решения задачи анализа  или синтеза объекта на основе использования его компьютерной модели.

Суть компьютерного моделирования  заключена в получении количественных и качественных результатов по имеющейся  модели. Качественные выводы, получаемые по результатам анализа, позволяют  обнаружить неизвестные ранее свойства объекта. Количественные выводы в основном носят характер прогноза некоторых  будущих или объяснения прошлых  значений переменных, характеризирующих  систему.

Предметом компьютерного моделирования  могут быть: экономическая деятельность фирмы или банка, промышленное предприятие, информационно-вычислительная сеть, технологический  процесс, любой реальный объект или  процесс, например процесс инфляции. Цели компьютерного моделирования  могут быть различными, однако наиболее часто моделирование является, как  уже отмечалось ранее, центральной  процедурой системного анализа.

 

4. Математическое моделирование

 

Математическое моделирование  как, впрочем, и любое другое, считается  искусством и наукой. Известный специалист в области имитационного моделирования  Роберт Шеннон так назвал свою широко известную в научном и инженерном мире книгу: "Имитационное моделирование - искусство и наука". Поэтому  в инженерной практике нет формализованной  инструкции, как создавать модели. И, тем не менее, анализ приемов, которые  используют разработчики моделей, позволяет  усмотреть достаточно прозрачную этапность моделирования.

Первый этап: уяснение целей моделирования. Вообще-то это главный этап любой  деятельности. Цель существенным образом  определяет содержание остальных этапов моделирования. Заметим, что различие между простой системой и сложной порождается не столько их сущностью, но и целями, которые ставит исследователь.

Обычно целями моделирования являются:

• прогноз поведения объекта при новых режимах, сочетаниях факторов и т. п.;
• подбор сочетания и значений факторов, обеспечивающих оптимальное значение показателей эффективности процесса;
• анализ чувствительности системы на изменение тех или иных факторов;
• проверка различного рода гипотез о характеристиках случайных параметров исследуемого процесса;
• определение функциональных связей между поведением ("реакцией") системы и влияющими факторами, что может способствовать прогнозу поведения или анализу чувствительности;
• уяснение сущности, лучшее понимание объекта исследования, а также формирование первых навыков для эксплуатации моделируемой или действующей системы.

Второй этап: построение концептуальной модели. Концептуальная модель (от лат. conception) - модель на уровне определяющего замысла, который формируется при изучении моделируемого объекта. На этом этапе исследуется объект, устанавливаются необходимые упрощения и аппроксимации. Выявляются существенные аспекты, исключаются второстепенные. Устанавливаются единицы измерения и диапазоны изменения переменных модели. Если возможно, то концептуальная модель представляется в виде известных и хорошо разработанных систем: массового обслуживания, управления, авторегулирования, разного рода автоматов и т. д. Концептуальная модель полностью подводит итог изучению проектной документации или экспериментальному обследованию моделируемого объекта.

Результатом второго этапа является обобщенная схема модели, полностью  подготовленная для математического  описания - построения математической модели.

Третий этап: выбор языка программирования или моделирования, разработка алгоритма  и программы модели. Модель может  быть аналитической или имитационной, или их сочетанием. В случае аналитической  модели исследователь должен владеть  методами решения.

В истории математики (а это, впрочем, и есть история математического  моделирования) есть много примеров тому, когда необходимость моделирования  разного рода процессов приводила  к новым открытиям. Например, необходимость  моделирования движения привела  к открытию и разработке дифференциального  исчисления (Лейбниц и Ньютон) и  соответствующих методов решения. Проблемы аналитического моделирования  устойчивости кораблей привели академика Крылова А. Н. к созданию теории приближенных вычислений и аналоговой вычислительной машины.

Результатом третьего этапа моделирования  является программа, составленная на наиболее удобном для моделирования и  исследования языке - универсальном  или специальном.

Четвертый этап: планирование эксперимента. Математическая модель является объектом эксперимента. Эксперимент должен быть в максимально возможной степени  информативным, удовлетворять ограничениям, обеспечивать получение данных с необходимой точностью и достоверностью. Существует теория планирования эксперимента, нужные нам элементы этой теории мы изучим в соответствующем месте дисциплины.

Результат четвертого этапа - план эксперимента.

Пятый этап: выполнение эксперимента с моделью. Если модель аналитическая, то эксперимент сводится к выполнению расчетов при варьируемых исходных данных. При имитационном моделировании  модель реализуется на ЭВМ с фиксацией  и последующей обработкой получаемых данных. Эксперименты проводятся в  соответствии с планом, который может  быть включен в алгоритм модели. В современных системах моделирования  такая возможность есть.

Шестой этап: обработка, анализ и  интерпретация данных эксперимента. В соответствии с целью моделирования  применяются разнообразные методы обработки: определение разного  рода характеристик случайных величин  и процессов, выполнение анализов - дисперсионного, регрессионного, факторного и др. Многие из этих методов входят в системы моделирования (GPSS World, AnyLogic и др.) и могут применяться автоматически. Не исключено, что в ходе анализа полученных результатов модель может быть уточнена, дополнена или даже полностью пересмотрена.

После анализа результатов моделирования  осуществляется их интерпретация, то есть перевод результатов в термины  предметной области. Это необходимо, так как обычно специалист предметной области (тот, кому нужны результаты исследований) не обладает терминологией математики и моделирования и может выполнять свои задачи, оперируя лишь хорошо знакомыми ему понятиями.

На этом рассмотрение последовательности моделирования закончим, сделав весьма важный вывод о необходимости  документирования результатов каждого  этапа. Это необходимо в силу следующих  причин.

Во-первых, моделирование процесс  итеративный, то есть с каждого этапа  может осуществляться возврат на любой из предыдущих этапов для уточнения  информации, необходимой на этом этапе, а документация может сохранить  результаты, полученные на предыдущей итерации.

Во-вторых, в случае исследования сложной  системы в нем участвуют большие  коллективы разработчиков, причем различные  этапы выполняются различными коллективами. Поэтому результаты, полученные на каждом этапе, должны быть переносимы на последующие этапы, то есть иметь  унифицированную форму представления  и понятное другим заинтересованным специалистам содержание.

В-третьих, результат каждого из этапов должен являться самоценным продуктом. Например, концептуальная модель может  и не использоваться для дальнейшего  преобразования в математическую модель, а являться описанием, хранящим информацию о системе, которое может использоваться как архив, в качестве средства обучения и т. д.

 

5. Пример математической модели.

Задача:

В городе имеются два склада зерна и два мелькомбината. Ежедневно с одного склада вывозят 50 т зерна, а с другого – 70 т на комбинаты, причем на первый – 40 т, а на второй – 80 т.

Обозначим через a_ij стоимость перевозки 1 т зерна с i-го склада на j-й комбинат (i, j = 1,2). Пусть

a₁₁ = 1,2 р., a₁₂ = 1,6 р., a₂₁ = 0,8 р., a₂₂ = 1 р.

 

Вопрос:

Нужно так спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной.

Рассмотрим задачу с точки зрения математики. Обозначим через x₁ и x₂ количество зерна, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй комбинаты, а через x₃ и x₄ - со второго склада на первый и второй комбинаты соответственно. Тогда:

x₁ + x₂ = 50, x₃ + x₄ = 70, x₁ + x₃ = 40, x₂ + x₄ = 80.      (1)

 

Общая стоимость всех перевозок  определяется формулой

f = 1,2x₁ + 1,6x₂ + 0,8x₃ + 1x₄.

 

С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти  четыре числа x₁, x₂, x₃ и x₄, удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что

x₁ = x₄ – 30, x₂ = 80 – x₄, x₃ = 70 – x₄,         (2)

 

а x₄ не может быть определено однозначно. Так как x_i >0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30<x₄<70. Подставляя выражение для x₁, x₂, x₃ в формулу для f, получим

f = 148 – 0,2x₄.

 

Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально  возможном значении x₄, то есть при x₄ = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2):

x₁ = 40, x₂ = 10, x₃ = 0.

 

 

Заключение

 

В ходе данной работы мы определили, что модель это упрощенное представление какого - либо объекта или процесса. Целью создания модели является дальнейшее исследование представленных в модели свойств объекта. Этот процесс называется Моделированием. В зависимости от целей и функционального назначения модели делятся на множество классов. Это показывает, что область применения моделей и моделирования очень широка. Любая исследовательская деятельность в современном мире практически невозможна без использования моделей.

Всестороннее  использование моделей, позволяет  вывести определенную поэтапность моделирования. Что показано на примере математического моделирования.

Первый  этапом является уяснение целей моделирования.

Второй  этап: построение концептуальной модели.

Третий  этап: выбор языка программирования или моделирования, разработка алгоритма  и программы модели.

Пятый этап: выполнение эксперимента с моделью.

Шестой  этап: обработка, анализ и интерпретация  данных эксперимента.