Математические модели - как средство работы с информацией

Министерство  образования Ставропольского края

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Ставропольский  государственный педагогический институт

Кафедра математики и информатики

 

 

 

Реферат

по дисциплине «Основы математической обработки  информации»

на тему

«Математические модели - как средство работы с информацией»

 

 

 

 

 

                                                                              Выполнила:

                                                                                                    студентка группы ПН1А

                                                                                                      Бабаян Ирина

 

                                                                             Проверил:

                                                                                        доцент кафедры

                                                                                              математики и информатики                                                                                                                                                 Кокорева В.В.

 

 

Ставрополь, 2012

Содержание

Введение………………………………………………………………………………………………. 2

1. Цель моделирования…………………………………………………………………..3
2. Теория моделирования……………………………………………………………….4
3. Этапы математической модели……………………………………………………5-6
4. Пример, иллюстрирующий характерные этапы в построении математической модели……………………………………………………………….7-8

Заключение……………………………………………………………………………………………… 9

Список литературы………………………………………………………………………………….. 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перспективы современного приборостроения связаны  с разработкой устройств, обладающими  малыми массой, габаритами, низкими  себестоимостью  и энергопотреблением и достаточно высокой надежностью и качеством.

Математическое  моделирование в технологии приборостроения  используется в течение нескольких десятков лет при проектировании новых приборов и аппаратов. Вследствие развития ЭВМ, появление разработчиков  специализированных знаний по программированию, в последние годы моделирование  стало необходимым этапом при  создании любого нового изделия или  при разработке нового технологического процесса.

В каждой области  можно выделить свои способы построения моделей, однако в любом случае существует несколько обязательных этапов, без  которых ни одна модель не имеет  право на существование. Поэтому  необходимо дать соответствующие определения  понятиям, используемым при моделировании.

Прежде всего, необходимо дать определение понятию  «математическая модель».

Математическая  модель, приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цель моделирования

 

Целью моделирования  являются получение, обработка, представление  и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между  собой и внешней средой, а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

 

 

 

Математическое  моделирование, а в последние  годы, часто сопровождающий его компьютерный эксперимент незаменимы в тех  случаях, когда натурный эксперимент  невозможен или затруднен по тем  или иным причинам. Например, многие современные технологии проводятся в условиях, в которых человек  не способен непосредственно контролировать каждый этап. К таким технологическим  процессам относятся процессы создания современных кристаллов для оптоэлектроники. Невозможно, также, полностью контролировать параметры современного самолета или  ракеты в полете. Во многих случаях  невозможно создать даже макетный образец  прибора, предварительно не просчитав, как отдельные узлы будут влиять на работу в целом. Поэтому, не смотря на то, что, задача моделирования современного объекта или технологического процесса полностью, остается практически невыполнимой, оптимизация отдельных этапов его  создания приобретает все более  важное значение для современного производства. Стоит заметить, что в последнее время приобрели значимость математические модели, позволяющие оптимизировать все предварительные этапы разработки, начиная от самых первых шагов по изучению принципа действия, заложенного в прибор, и кончая этапами проектирования и производства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория моделирования

 

Теорией моделирования  является раздел науки, изучающий способы  исследования свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит  теория подобия. При моделировании  абсолютное подобие не имеет места  и лишь стремится к тому, чтобы  модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этапы математической модели

 

Первый этап — формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.

 

  Второй этап — исследование математических задач, к которым приводит математическая модель. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа математической модели, и вычислительная техника — мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе математической модели различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

 

  Третий этап — выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена — все параметры её были заданы, — то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если математическая модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

 

  Четвёртый этап — последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники, данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются, и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей математической модели, не соответствуют нашим знаниям о явлении. То, возникает необходимость построения новой, более совершенной математической модели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

 

 Типичным  примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении математической модели, является модель Солнечной системы. Наблюдения звёздного неба начались в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего многообразия небесных светил. Таким образом, первым шагом было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение закономерностей их движений. (Вообще определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями — «аксиомами» — гипотетической модели). Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (2 век н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрическая модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся по накоплении наблюдений.

 

  Развитие  мореплавания поставило перед  астрономией новые требования  к точности наблюдений. Н. Коперником  в 1543 была предложена принципиально  новая основа законов движения  планет, полагавшая, что планеты  вращаются вокруг Солнца по  окружностям (гелиоцентрическая  система). Это была качественно  новая (но не математическая) модель  Солнечной системы. Однако не  существовало параметров системы  (радиусов окружностей и угловых  скоростей движения), приводящих  количеств, выводы теории в  должное соответствие с наблюдениями, так что Коперник был вынужден  вводить поправки в движения  планет по окружностям (эпициклы).

 

  Следующим  шагом в развитии модели Солнечной  системы были исследования И.  Кеплера (начало 17 века), который  сформулировал законы движения  планет. Положения Коперника и  Кеплера давали кинематическое  описание движения каждой планеты  обособленно, не затрагивая ещё  причин, обусловливающих эти движения.

 

  Принципиально  новым шагом были работы И.  Ньютона, предложившего во 2-й  половине 17 века динамическую модель  Солнечной системы, основанную  на законе всемирного тяготения.  Динамическая модель согласуется с кинематической моделью, предложенной Кеплером, так как из динамической системы двух тел «Солнце — планета» следуют законы Кеплера.

 

  К 40-м  годам 19 века выводы динамической  модели, объектами которой были  видимые планеты, вошли в противоречие  с накопленными к тому времени  наблюдениями. Именно, наблюдаемое  движение Урана уклонялось от  теоретически вычисляемого движения. У. Леверье в 1846 расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетической планетой, названной им Нептуном, и, пользуясь новой моделью Солнечной системы, определил массу и закон движения новой планеты так, что в новой системе противоречие в движении Урана было снято. Планета Нептун была открыта в месте, указанном Леверье. Аналогичным методом, используя расхождения в теоретической и наблюдаемой траектории Нептуна, в 1930 была открыта планета Плутон.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Метод математического  моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место  среди других методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать  новые технические средства, работающие в оптимальных режимах, для решения  сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. Математическая модель проявили себя как важное средство управления. Они применяются в  самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом  в области экономического планирования и являются важным элементом автоматизированных систем управления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

Математическая  энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

 

http://bse.sci-lib.com/article074313.html

 

http://turboreferat.ru/mathematic/formy-predstavleniya-matematicheskih-modelej/23872-117473-page1.html