Лекции по "Информатике"

Например, заголовок документа может иметь такой вид: <TITLE> Клуб любителей персиков </TITLE>

Одну WWW-страницу на самом деле обычно составляет набор гипермедийных документов, расположенных на одном сервере, переплетённых взаимными гиперссылками и связанных по смыслу (например, содержащих информацию об одном учебном заведении или об одном музее). Каждый документ страницы, в свою очередь, может содержать несколько экранных страниц текста и иллюстраций. Каждая WWW-страница имеет свой “титульный лист” (англ. “homepage”) — гипермедийный документ, содержащий ссылки на главные составные части страницы. Адреса “титульных листов” распространяются в Интернет в качестве адресов отдельных страниц.

Личные страницы — такие WWW-страницы, которые принадлежат не фирмам и не организациям, а отдельным людям. Содержание и оформление такой страницы зависит только от её автора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§4. Арифметические основы компьютеров

1. Система счисления.

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора цифр.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры, определяющий значение числа, не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХ (тридцать ) вес цифры Х в любой позиции равен  десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, представляющих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Число 757,7 означает по сути сокращенную запись выражения:

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•102 + 5•101 + 7•100 + 7•10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления определяется количеством цифр, используемых для записи чисел в данной системе.

В десятичной  системе используется десять различных цифр. Однако

возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в системе счисления с основанием - q означает сокращенную запись выражения в общем виде:

an-1 an-2…. a1 a0 , a-1 a-2… a-m=an-1 qn-1 + an-2 qn-2+ ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m,

где ai – цифры числа в системе счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

2. Целые числа в позиционных системах счисления.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью общего Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно увеличить самую правую цифру числа на единицу; если в результате этой операции какая-либо цифра стала нулем, то тогда нужно увеличить цифру, стоящую слева от неё на единицу.

Применяя это правило, можно записать первые десять целых чисел

• в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
• в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
• в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
• восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

3. Системы счисления для компьютера.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);
• восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);
• шестнадцатеричная (для первых десяти цифр от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих цифр — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Для технической реализации в компьютерах используется двоичная система счисления, потому, что она намного проще десятичной в реализации:

  а) для нее нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);

б) возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.

Недостатком двоичной системы является быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

4. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы использовать компьютер, следует понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Правило: Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему: достаточно каждую цифру числа заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр для восьмеричной) или тетрадой (четверкой двоичных цифр для 16-ой системы).

Например: 1538    = 001 101 0112 .

Правило: Чтобы, наоборот, перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

 

Например: 010 100 1112 = 2478  .

  

5. Перевод целого числа из десятичной системы в другую позиционную систему счисления.

Правило: При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается тогда, как последовательность остатков от деления, но записанных в обратном порядке, начиная с последней цифры.

 

Пример: Перевести число 7510 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

 

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.

 

    2                   8               16

75 | 1            75 | 3         75 |  B  (11)

37 | 1              9 | 1           4 |   4

18 | 0              1 | 1           0 |

  9 | 1              0 |

  4 | 0  /\

  2 | 0   |

  1 | 1   |

  0 |

 

 

6. Пеpевод пpавильной десятичной дpоби в другую позиционную систему счисления.

 

Правило: Пpи переводе правильной десятичной дpоби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть пpоизведения. Тогда число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей пpоизведения.

Умножение пpоизводится до тех поp, пока дpобная часть пpоизведения не станет pавной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод числа. В пpотивном случае пеpевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку памяти.

Пример: Перевести число 0,3510 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Например:     0,3510 *8 = (0,)  (2),8*8 = (6),4*8 = (3),2 = 0,2638

0,3510 *2 =  (0,)  (0),7*2 = (1),4*2 = (0),8*2=(1),6*2=(1),2*2=(0),4=0,0101102

0,3510 *16 = (0,) (5),6*16 = (9),6 = 0,5916

Ответ: 0,3510 = 0,0101102 = 0,2638 = 0,5916 .

 

7. Пеpевод числа из двоичной (восьмеpичной,шестнадцатеpичной) системы в десятичную.

Правило:  При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Примеp: 1138 = 1*82  + 1*81  + 3*80  = 64+  8 + 3 =  7510.

  

8. Арифметические операции в позиционных системах счисления.

 

Правила выполнения арифметических операций в десятичной системе— это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила также применимы и ко всем другим позиционным системам счисления.

Сложение

Для сложения используется следующее Правило Счета -  при сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то переносится влево единица.

Пример 1. Сложим целые числа 1510 и 610 в различных системах счисления.

178   (1510)                     F16 (1510)                             11112 (1510)     

+ 68                                            + 616                                       + 1102

-----                               ------------                             -----------

  258 (1310-810=58)         1516 (2110-1610=516)             101012

 

Ответ: 1510 + 610 = 2110 = 101012 = 258 = F16+616 = 1516.

Проверка. Для контроля преобразуем полученные суммы к десятичному виду и получим в результате число 2110: 
101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1 = 2110,  
258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 2110,  
1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 2110.

Пример 2. Сложим в различных системах счисления вещественные числа 141,510 и 59,7510.

 

Ответ: 141,510 + 59,7510 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416

       8                               0,2510 *8= 0,  (2),0 = 0,28

201 |  1           

  25  |  1

    3  |  3

    0  |                                3118 +0,28 = 311,28

 

Проверка. Для контроля преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 128+64+8+1+ 0,25= 201,2510

311,28 = 3*82 + 1•81 + 1*80 + 2*8-1 = 192+8+1+0,25= 201,2510

C9,416 = 12*161 + 9*160 + 4*16-1 = 192+9+0,25= 201,2510

 

Вычитание

Операция вычитания является обратной по отношению к сложению.

Пример 3.

Вычтем единицу из чисел в разных системах счисления: 102, 108 и 1016 :

102 – 12 = 12  ;   108 - 1=  78  ;  1016 - 1  =  F16 .

Пример 4. Вычтем число 59,7510 из числа 201,2510.

Ответ: 201,2510 – 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.

      8                            0,510* 8 = 0, (4)0 = 0,48

141 | 5

  17 | 1

    2 | 2

    0 |                            2158 + 0,48 = 215,48

 

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:  
          10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2–1 = 128+8+4+1+0,5= 141,510;  
           215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8–1 = 128+8+5+0,5= 141,510;  
           8D,816 = 8*161 + D*160 + 8*16–1 = 128+13+0,5= 141,510.

 

Умножение

Правило. Для умножения многозначных чисел в различных позиционных системах счисления можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик ( как в десятичной системе счисления), но при этом  перемножение и сложение чисел необходимо выполнять по правилам арифметики уже  новой системы счисления.

Умножение столбиком в двоичной системе сводится к сдвигам множимого и сложениям по  разрядам.

 

Пример 7. Перемножим числа 510 и 610.

Ответ: 510*610 = 3010 = 111102 = 368.

     2         или         1012   (510)

          3010  | 0                    *1102   (610)

15    | 1                     ------------             

  7    | 1                      0002

  3    | 1                    101

1. | 1                  101

0                         --------------

                            111102

 

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:  

111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 3010   

368 = 3•81 + 6•80 = 3010.

Деление

Правило. Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление уголком в десятичной системе.

Пример 8. Разделим число 3010 на число 610.

Ответ: 3010 : 610 = 510 = 1012 = 58.

Пример 9.   Разделим число 3510 на число 1410, здесь 3510 = 438 ,  1410= 168 .

3510 : 1410 = 2,510

В восьмеричной же системе: 438 : 168 = 2,48.

Действительно, в результате деления столбиком получаем:

438 |168                168                                168              

348  2,4              * 2                                 * 4

  _708                    348 (6*2=1210 = 148)     708 (6*4 = 2410 = 308)

    708                           (1*2+1=3)                     (1*4+3 = 7)                

       0

Ответ: 3510 : 1410 = 2,510 = 10,12 = 2,48.

Проверка. Для проверки преобразуем полученные частные к десятичному виду:  
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,510;  
2,48 = 2*80 + 4*8-1 = 2,510.

 

9. Представление в компьютере целых чисел.

Целые числа могут представляться в компьютере в двоичной системе счисления со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 000000002 до 111111112 , а в двухбайтовом формате — от 00000000 000000002 до 11111111 111111112.

 

Диапазоны значений целых чисел без знака

 

Формат числа в байтах	Диапазон
	Запись с порядком	Обычная запись
1	0 ... 28–1	0 ... 255
2	0 ... 216–1	0 ... 65535

 

Примеры:

 а) число в однобайтовом формате:   7210 = 010010002

б) это же число в двубайтовом формате: 7210 = 00000000010010002

в) число 65535 в двубайтовом формате: 6553510 = 11111111111111112

 

Целые числа со знаком

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей.