Копьютерная практика

Зміст

1. Теоретичні відомості та умова завдання……………………….3

   Завдання 1……………………………………………………….....3

   Завдання 2………………………………………………………….5

   Завдання 3………………………………………………………….6

2. Виконання завдання 1, 2……………………………. …………10

   Функція 1. Виконання в MathCad ……………………………….11

   Функція 1. Виконання в MS Excel …………………………........13

   Функція 2. Виконання в MathCad ……………………………….15

   Функція 2. Виконання в MS Excel……………………………….17

   Функція 3. Виконання в MathCad ……………………………….18

   Функція 3. Виконання в MS Excel …………………………........19

   Функція 3.Побудова гістограми…………………………………20

   Функція 4. Виконання в MathCad ……………………………….21

   Функція 4. Виконання в MS Excel …………………………........22

   Функція 4.Побудова гістограми…………………………………23

   Функція 5. Виконання в MathCad ……………………………….24

  Функція 5. Виконання в MS Excel …………………………........26

  Функція 6. Виконання в MathCad ……………………………….28

   Функція 6. Виконання в MS Excel …………………………........30

   Функція 7. Виконання в MathCad………………………………..32

   Функція 7. Виконання в MS Excel ……………………………....34

   Функція 7.Побудова гістограми…………………………………36

3. Виконання завдання 3…………………………………………...37

Виконання в MS Excel…………………………………………..38

Виконання в MathCad…………………………………………...42

4. Висновки та аналіз результатів………………………………...46
5. Список використаних джерел………………………………….47

 

 

 

 

 

 

 

Теоретичні відомості  та умова завдання.

Завдання 1.

 Аналіз та табулювання функцій.

Виконати аналіз математичних функцій та їх табулювання в одній  таблиці для свого варіанту. Варіант  завдань представлені в табл. 1.

 

Теоретичні відомості

Область визначення функції – це такі значення аргументі, при яких ця функція існує. Точки розриву функції – це такі значення аргументу, при яких виникають умови розриву області визначення функції (тобто такі значення аргументу, в яких функція перестає існувати).

Екстремум – це найбільше і найменше значення функції у області її існування.

Необхідна умова екстремуму:

Якщо функція у(х) має  екстремум у точці х₀, то похідна у цій точці рівна нулю, або не існує.

Точки в яких виконується  необхідні умови екстремуму називаються  критичними точками, але не кожна  критична точка – екстремум.

Достатня  умова екстремуму:

Нехай функція у(х) неперервна та диференційна і нехай у точці  виконується необхідна умова  екстремуму, тоді якщо при переході критична точка змінює знак на протилежний, то у цій точці є екстремум. Зміни знаку похідної достатньо  для існування екстремуму в тому випадку, коли критичної точки не існує.

Табульованою називається функція, що представлена у вигляді таблиці значень аргументу та відповідних значень функції.

Вказівки до виконання  завдання:

1. Аналіз функції повинен вміщати:

- область визначення значень на інтервалі [+∞…-∞];

- наявність точок розриву  функції та їх значення;

- наявність екстремумів функції та їх значення.

1.2. При табулюванні функції  необхідно отримати 40…50 значень  функції при рекомендованих значень  аргументі від Xmin=-3 до Xmax=3, крок ∆X=0,1: 0,2: для тригонометричних функцій приймати значення Х кратне числу π (.

1.3. Результати оформити у вигляді таблиці наведеної у методичних вказівках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання 2.

Побудова та друкування графіків функцій.

Вказівки до виконання  завдання.

2.1. Використовуючи розраховані  у завданні 1 значення функцій,  побудувати їх графіки в пакетах  програм MathCad та Excel.

2.2. Побудувати 3 діаграми за функціями свого варіанту, використовуючи «Майстер діаграм» пакета Excel, які найбільш точно можуть бути зображені таким чином.

2.3. при побудові графіків  та діаграм використовувати різні  кольори, маркери, товщину ліній,  тощо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання 3.

Статистичний  аналіз вибіркового ряду.

Розрахунок та побудова рівняння регресії.

Теоретичні відомості

Математична статистика – це наука, що займається вивченням закономірностей протікання випадкових процесів та характеристик випадкових величин.

Середнє вибіркове  значення – це математичне очікування випадкової величини, за умови її рівномірного розподілу, визначається як середнє арифметичне вібіркового ряду:

Дисперсія – це величина, що характеризує розсіювання аргументу вибіркового ряду навколо його математичного очікування; являє собою математичне очікування квадрата відхилення аргументу вибіркового ряду від її математичного очікування. 

Середнє квадратичне  відхилення – це величина, що характеризує точність вимірів або точність підбору аргументів вибіркового ряду і представляє собою квадратний корінь із дисперсії.

 

Кореляційний аналіз вивчає статистичний взаємний зв’язок двох або декількох випадкових величин. Математичною мірою кореляції є коефіцієнт кореляції. Коефіцієнт  кореляції між величинами X та Y – характеризує тісноту лінійної залежності між ними і визначається як математичне очікування добутку нормованих відхилень двох випадкових величин X та Y від їх математичного очікування:

 

Регресійний аналіз – це статистичний метод дослідження залежності між залежною змінною Y ті однією або декількома незалежними змінними Х. Однією з задач, що ставиться в регресійному аналізі є отримання аналітичного рівняння залежності Y(X) по заданим числовим значенням незалежної ті залежної змінної.

Лінійною називається  регресія, якщо залежність між змінними визначається у вигляді лінійної функції. Квадратичній регресії відповідає залежність між функцією та аргументом, що визначається у вигляді квадратичного  поліному.

Метод найменших квадратів  може бути застосований для визначення рівняння регресії. Розглянемо особливості  методу на прикладі лінійної регресії.

Якщо позначити на графіку  точки з відомими значеннями X і відповідними їм значеннями Y, то лінія регресії, виходячи з умови мінімуму суми квадратів відхилення значень розрахованої залежності від відомих значень, повинна знаходиться якнайближче до відомих точок (рис.1).

Рівняння регресії визначається з умови мінімуму суми квадратів  відхилень значень функції, розрахованих за рівнянням регресії, від її вихідних значень.

Вказівки до виконання  завдання

3.1. Для заданої вибірки  даних X та Y визначити числові характеристики

(крок ∆X=0.1).

x1	f4
-3	-542,309
-2,9	-443,249
-2,8	-360,993
…	…
2,8	1,334902
2,9	1,341961
3	1,344251

 

• Середні вибіркові значення:

 

 

 

 

 

• дисперсію:

• середнє квадратичне відхилення:

 

3.2. Визначити коефіцієнт кореляції між величинами X та Y:

3.3. Розрахувати коефіцієнти лінійного  рівняння регресії виду  y=ax+b згідно за даними вибірки:

 

 

 

 

• похибку апроксимації:

 

 

3.4. Використовуючи метод  найменших квадратів (МНК) та  вбудовані функції пакету Excel, визначити коефіцієнти рівняння регресії при апроксимації заданого ряду даних X та Y рівнянням другого степеня Y=aX²+bX+c.

3.5. Усі обчислення повторити у пакеті MathCad за приведеними виразами і за допомогою спеціальних вбудованих функцій. Привести найменування функції та їх значення.

3.6. Побудувати графіки  рівнянь регресії, обчисленої у  п.п. 3.3, 3.4. На цьому ж графіку показати значення вихідного вибіркового ряду X та Y.

3.7. За допомогою пакету Microsoft Excel отримати лінію тренда для вихідної вибірки даних та знайти її рівняння. Лінія тренда має забезпечувати достовірність апроксимації не менше 0,95. Показати лінію тренду на тому ж графіку, що й рівняння регресії. До графіків рівнянь регресії додати рівняння лінії тренду та значення достовірності апроксимації.

3.8. Порівняти результати  апроксимації, що виконана за  допомогою лінії тренду та  за допомогою рівнянь регресії, зробити висновки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконання завдання 1,2 : MS Excel 2010 та MathCad 14.

Нам дано 7 функцій, які нам  потрібно проаналізувати та  табулювати. Функції наведені у таблиці для  кожного варіанту. Завдання ми виконуємо  паралельно за допомогою пакетів  Microsoft Office 2010 та MathCad 14.

При виконанні першого  завдання ми виконуємо аналіз та табулюємо  математичні функції. На основі отриманих  даних ми будуємо:

• у пакеті Microsoft Excel 2010
• гістограми (гистограмма с группировкой) - вибірково для трьох функцій, які найбільш яскравіше відображуються на гістограмі;
• точкову діаграму (точечная с прямыми отрезками) – для всіх функцій.
• у MathCad 14
• X-Y графік.

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція 1. Виконання в  MathCad 14.

Для дослідження функції в MC 14 на екстремуми та точки розриву використовуємо вбудовану функцію solve.

• Solve – функція за допомогою якої знаходиться числове рішення рівняння.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Після того, як ми отримали точки  розриву (0; 1; -1), ми табулюємо функцію при рекомендованих значеннях аргументу від Xmin=-3 до Xmax=3, виключаючи з вибірки отримані точки розриву.     Крок ∆X=0.1

 

 

 

 

 

 

 

Будуємо графік:

 

 

 

 

 

 

 

Крок ∆X=0.2

 

Будуємо графік:                                                    

Функція 1. Виконання в  MS Excel 2010.

Ми знаходимо значення функцію при рекомендованих значеннях аргументу від Xmin=-3 до Xmax=3 за аналогією з MC 14, тільки прописуючи значення для Х самостійно або шляхом розтягування (затиснувши чорний хрестик, який з’являється у правому нижньому кутку комірки, та протягуючи його до потрібного нам значення), виключаючи з вибірки отримані точки розриву.

Для розрахунку значення функції  ми тиснемо на пусту комірку B6. Далі вводимо нашу функцію, ставлячи замість Х наші значення, та тиснемо Enter.

Для розрахунку інших значень  f1 розтягуємо формулу та отримуємо інші значення. Ці самі дію робимо для розрахунку f1(x2), f1(x3), f1(x4).

Далі будуємо точкову діаграму (точечная с прямыми отрезками):

 

 

 

Клікаємо на «Вставка» - «Точечная» - «Точечная с прямыми отрезками».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задаємо діапазони значень  X та Y, а після завершення тиснемо клавішу Enter. Отриманий графік буде мати вид:

 

 

Точно такі же дії повторюємо при розрахунках та побудуванні  графіка при кроці ∆X=0.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція 2. Виконання в MathCad 14.

Виконання другою та наступних  функцій здійснюється таким самим  чином, що для першої функції, тому далі будуть наведені лише скріншоти,  без  детальних пояснень кожного кроку.