Контрольная работа по "Экспертным системам"

Существуют ЭС, построенные на двух этих направлений. Однако в ЭС базы знаний накапливают человеческие знания, поэтому для представления знаний экспертов с учетом вероятностей наиболее подходящими являются интерпретация на основе субъективных доверий. В результате чего и большинство современных ЭС, использующих теорию вероятностей, являются «байесовскими».

^ Байесовское оценивание

Перед тем, как ввести в  рассмотрение теорему Байеса рассмотрим некоторые фундаментальные понятия  теории вероятностей [13]. Пусть А некоторое событие реального мира. Совокупность всех элементарных событий называется выборочным пространством или пространство событий (). Вероятность события ^ А, обозначается р(А) и каждая вероятностная функция р должна удовлетворять трем аксиомам:

1. Вероятность любого  события А является неотрицательной, т.е.:

2. Вероятность всех событий  выборочного пространства равна  1, т.е.:

3. Если k событий А1, А2, … , Аk являются взаимно независимыми (т.е. не могут подойти одновременно), то вероятность, по крайней мере, одного из этих событий равна сумме отдельных вероятностей, или :

Аксиомы 1 и 2 можно объединить, что дает:

Это утверждение показывает, что вероятность любого события  находится между 0 и 1. По определению, когда р(А) = 0, то событие А никогда не произойдет. В том случае и когда р(А) = 1 , то событие А, должно произойти обязательно.

Предположим теперь, что В  некоторое другое событие. Тогда вероятность того, что произойдет ^ А при условии, что произошло В, записывается в виде р(А | B) и называется условной вероятностью события А при заданном событии В.

Вероятность того, что оба  события А и В произойдут р(АВ) называется совместной вероятностью событий А и В. Условная вероятность р(А|B) равна отношению совместной вероятности р(АВ) к вероятности события В, при условии, что она не равна 0, т. е.

Аналогично условная вероятность  события В при условии А, обозначаемая р(В | А) равна:

и таким образом:

Так, как совместная вероятность  коммутативна (т.е. от перестановки мест сумма не меняется), то:

Подставляя это равенство  в ранее полученное выражение  для условной вероятности р(А| В ) получим правило Байеса:

В ряде случае наше знание того, что произошло событие ^ В, не влияет на вероятность события А (или наоборот А на В). Другими словами, вероятность события А не зависит от того, что произошло или нет событие В, так что:

р(А | В) = р(А) и р(В | А) = р(В) .

В этом случае говорят, что  события А и В являются независимыми.

^ 3.4 Теорема Байеса как  основа управления неопределенностью

Приведенные выше соотношения  предполагают определенную связь между  теорией вероятностей и теорией  множеств. Если А и В являются непересекающимися множествами, то объединение множеств соответствует сумме вероятностей, а пересечение - произведению вероятностей, т. е.

р(А + В) = р(А) + р(В) и р(А * В) = р(А) * р(В).

Без предположения независимости  эта связь является неточной и  формулы должны содержать дополнительные члены включения и исключения (так например, р(А+В)=р(А)+р(В)-р(АВ). Продолжая теоретико - множественное обозначение, В можно записать как:

Так как это объединение  явно непересекающееся, то:

р(В)= р(В|А) р(А) + р(В|)р(В).

Возвращаясь к обозначению  событий, а не множеств, последнее  равенство может быть подставлено  в правило Байеса:

Это равенство является основой  для использования теории вероятности  в управлении неопределенностью. Оно  обеспечивает путь для получения  условной вероятности события В при условии А. Это соотношение позволяет ЭС управлять неопределенностью и «делать вывод вперед и назад».