Классическое и статистическое определение вероятности

Содержание

Введение

1Вероятность

1.1 Определение

1.2 Возникновение понятия и теории вероятности

2.1 Классическое определение вероятности

2.2Примеры

3.1Статистическое определение вероятности

3.2 Примеры

Заключение 

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной  науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.

 

Вероятность.

Вероятность — степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — невероятным или маловероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей или меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.

Возникновение понятия и теории вероятности.

Первые работы об учении о вероятности  относится к 17 веку. Такие как  переписка французских учёных Б. Паскаля, П. Ферма (1654 год) и голландского учёного X. Гюйгенса (1657 год) давшего самую раннюю из известных научных трактовок вероятности. По существу Гюйгенс уже оперировал понятием математического ожидания. Швейцарский математик Я. Бернулли, установил закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (посмертно, 1713 год). В XVIII в. — начале ХIХ в. теория вероятностей получает развитие в работах А. Муавра (Англия)(1718 год), П. Лаплас (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Теория вероятностей начинает применяться в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы. Необходимо отметить, что закон распределения ошибок по сути предложил Лаплас сначала как экспоненциальная зависимость от ошибки без учета знака (в 1774 год), затем как экспоненциальную функцию квадрата ошибки (в 1778 году). Последний закон обычно называют распределением Гаусса или нормальным распределением. Бернулли (1778 год) ввел принцип произведения вероятностей одновременных событий. Адриен Мари Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов.

Во второй половине XIX в. развитие теории вероятностей связано с работами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего), а также работы по математической статистике А. Кетле (Бельгия) и Ф. Гальтона (Англия) и статистической физике Л. Больцмана (в Австрия), которые создали основу для существенного расширения проблематики теории вероятностей. Наиболее распространённая в настоящее время логическая (аксиоматическая) схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым.

Классическое  определение вероятности.

Классическое "определение" вероятности исходит из понятия равно возможности как объективного свойства изучаемых явлений. Равно возможность является неопределяемым понятием и устанавливается из общих соображений симметрии изучаемых явлений. Например, при подбрасывании монетки исходят из того, что в силу предполагаемой симметрии монетки, однородности материала и случайности (непредвзятости) подбрасывания нет никаких оснований для предпочтения "решки" перед "орлом" или наоборот, то есть выпадение этих сторон можно считать равновозможными (равновероятными).

Наряду с понятием равновозможности в общем случае для классического определения  необходимо также понятие элементарного  события (исхода), благоприятствующего  или нет изучаемому событию A. Речь идет об исходах, наступление которых исключает возможность наступления иных исходов. Это несовместимые элементарные события. К примеру при бросании игральной кости выпадение конкретного числа исключает выпадение остальных чисел.

Классическое определение  вероятности можно сформулировать следующим образом:

Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:

Например, пусть подбрасываются две кости. Общее количество равновозможных исходов (элементарных событий) равно очевидно 36 (6 возможностей на каждой кости). Оценим вероятность выпадения 7 очков. Получение 7 очков возможно следующими способами: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. То есть всего 6 равновозможных исходов, благоприятствующих событию A - получению 7 очков. Следовательно, вероятность будет равна 6/36=1/6. Для сравнения вероятность получения 12 очков или 2 очков равна всего 1/36 - в 6 раз меньше.

1. Колода из 32-х карт тщательно перетасована. Найти вероятность того, что все четыре туза лежат в колоде один за другим, не перемежаясь другими  картами.

Решение. Число всех возможных  способов расположения карт в колоде равно 32! Чтобы подсчитать число  благоприятных исходов, сначала  представим себе, что четыре туза располагаются каким-то образом один за другим и склеиваются между собой так, что они, как бы составляют одну карту (неважно, что она оказалась толще, чем все остальные). В полученной колоде стало 32 – 4 + 1 = 29 карт. Карты в этой колоде можно расположить числом способов, равным 29! Количество всех благоприятных исходов получается, если это число умножить на 4! – число возможных способов упорядочения четырёх тузов. Отсюда получаем ответ задачи: .

2. Между двумя игроками проводится n партий, причем каждая партия кончается или выигрышем, или проигрышем, и всевозможные исходы партий равновероятны. Найти вероятность того, что определённый игрок выиграет ровно m партий, 0 £ m £ n.

Решение. Каждая партия имеет  два исхода – выигрыш одного или другого участника. Для двух партий имеется 22 = 4 исходов, для трёх партий – 23 =8 исходов, для n партий – 2n исходов. Среди них ровно исходов соответствуют выигрышу одного из игроков m партий. Таким образом, искомая вероятность равна .

3. Бросается n игральных  костей. Найти вероятность того, что на всех костях выпало  одинаковое количество очков.

Решение. Общее число исходов  здесь равно 6n. Число благоприятных  исходов – 6. Ответ задачи: .

4. В урне a белых и b чёрных  шаров (a ³ 2; b ³ 2). Из урны без возвращения извлекаются 2 шара. Найти вероятность того, что шары одного цвета.

Решение. Эта вероятность  равна 

5. В урне находятся  a белых и b черных шаров. Шары без возвращения извлекаются из урны. Найти вероятность того, что k-й вынутый шар оказался белым.

Решение. Представим процесс случайного извлечения шаров  из урны следующим образом: шары произвольным образом размещены по расположенным  в ряд ячейкам, и извлекаются из ячеек один за другим слева направо. Тогда благоприятный исход наступает в том случае, когда в k-й ячейке лежит белый шар.

Всего возможно (a + b)! различных способов расположения шаров по ячейкам. Займём k-ю ячейку одним из белых шаров, что можно сделать a различными способами. Тогда остальные ячейки можно заполнить (a + b – 1)! способами, и получается, что число благоприятных исходов равно (a + b – 1)!a, а искомая вероятность – .

 

 

Статистическое  определение вероятности.

Классическое определение при  рассмотрении сложных проблем наталкивается  на трудности непреодолимого характера. В частности, в некоторых случаях  выявить равновозможные случаи может  быть невозможно. Даже в случае с  монеткой, как известно существует явно не равновероятная возможность выпадения "ребра", которую из теоретических соображений оценить невозможно (можно только сказать, что оно маловероятно и то это соображение скорее практическое). Поэтому еще на заре становления теории вероятностей было предложено альтернативное "частотное" определение вероятности. А именно, формально вероятность можно определить как предел частоты наблюдений события A, предполагая однородность наблюдений (то есть одинаковость всех условий наблюдения) и их независимость друг от друга:

где  - количество наблюдений, а  - количество наступлений события .

Несмотря на то, что данное определение  скорее указывает на способ оценки неизвестной вероятности - путем большого количества однородных и независимых наблюдений - тем не менее в таком определении отражено содержание понятия вероятности. А именно, если событию приписывается некоторая вероятность, как объективная мера его возможности, то это означает, что при фиксированных условиях и многократном повторении мы должны получить частоту его появления, близкую к  (тем более близкую, чем больше наблюдений). Собственно, в этом заключается исходный смысл понятия вероятности. В основе лежит объективистский взгляд на явления природы. Ниже будут рассмотрены так называемые законы больших чисел, которые дают теоретическую основу (в рамках излагаемого ниже современного аксиоматического подхода) в том числе для частотной оценки вероятности.

Рассмотрим случайный  эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость более часто будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n-достаточно большое число, скажем n=1000 или n=5000), подсчитать число выпадений трех очков n3 и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n3/n – относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов – единицы, двойки, четверки и т.д. Теоретически такой образ действий можно оправдать, если ввести статистическое определение вероятности.

Вероятность P(wi) определяется как предел относительной частоты появления исхода wi  в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n, то есть

,

где mn(wi) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода wi.

Так как здесь не приводится никаких доказательств, мы можем  только надеяться, что предел в последней  формуле существует, обосновывая  надежду жизненным опытом и интуицией.

В практике очень часто  возникают задачи, в которых какой-либо другой способ определения вероятности  события, кроме статистического  определения, найти невозможно или  крайне трудно.

Непрерывное вероятностное  пространство.

Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более, чем счетным (то есть несчетным). Так несчётное множество исходов имеет эксперимент, состоящий в случайном бросании точки на отрезок [a1; a2]. Можно себе представить, что эксперимент, заключающийся в измерении температуры в заданный момент в заданной точке тоже имеет несчётное число исходов (действительно, температура может принять любое значение из некоторого промежутка, хотя в действительности мы можем измерять её лишь с определённой точностью, и практическая реализация такого эксперимента даст конечное число исходов). В случае эксперимента с несч ётным множеством W элементарных исходов нельзя считать любое подмножество множества W событием. Следует заметить, что подмножества W, не являющиеся событиями, являются математическими абстракциями и не встречаются в практических задачах. Поэтому в нашем курсе данный параграф является необязательным.

Чтобы ввести определение  случайного события, рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств  пространства элементарных исходов W.

В случае выполнения двух условий:

1) из принадлежности  А этой системе следует принадлежность  этой системе;

2) из принадлежности и этой системе следует принадлежность Ai Aj  этой системе

такая система подмножеств  называется алгеброй.

Пусть W — некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том, что две системы подмножеств:

1) W, Æ; 2) W, А, , Æ (здесь А— подмножествоW) являются алгебрами.

Пусть A1 и A2 принадлежат  некоторой алгебре. Докажите, что A1 \ A2 и  принадлежат этой алгебре.

Назовём s-алгеброй систему Á подмножеств множества W, удовлетворяющую условию 1) и условию 2)¢:

2)¢ если подмножества А1, А2,¼, Аn, ¼принадлежат Á, то их счётное объединение (по аналогии с суммированием это счётное объединение кратко записывается формулой ) тоже принадлежит Á.

Подмножество А множества  элементарных исходов W является событием, если оно принадлежит некоторой s-алгебре.

Можно доказать, что если выбрать любую счётную систему  событий, принадлежащих некоторой s-алгебре и проводить с этими событиями любые принятые в теории множеств операции (объединение, пересечение, взятие разности и дополнения), то результатом будет множество или событие, принадлежащее той же s-алгебре.

Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А.Н. Колмогорова.

Каждому событию соответствует  неотрицательное и не превосходящее  единицы число P(А), называемое вероятностью события А, причем функция P(А) обладает следующими свойствами:

1) Р(W)=1

2) если события A1, A2,..., An, ¼ несовместны, то

  =

Если задано пространство элементарных исходов W, алгебра событий и определенная на ней функция Р, удовлетворяющая условиям приведенной аксиомы, то говорят, что задано вероятностное пространство.

Это определение вероятностного пространства можно перенести на случай конечного пространства элементарных исходов W. Тогда в качестве алгебры можно взять систему всех подмножеств множества W.

 

ПРИМЕР 1: При подбрасыванием идеальной монеты вероятность появления герба в каждом отдельном испытании равна Р(А) = 1/2. Ниже в таблице приведены результаты длинных серий опытов.

 

Экспериментатор	n	m(А)	rn(А)
Ж.Л.Л. Бюррон	4040	2048	0,5069
К. Пирсон	12000	6019	0,5016
К. Пирсон	24000	12012	0,5005

ПРИМЕР 2:  Имеется колода тщательно перемешанных карт (36 листов). Наугад вытаскивается одна карта. Сколько, в среднем, надо провести опытов, чтобы этой картой был туз пиковый?