Дифференциальные уравнения в медицине

Введение

 

Позволив  говорить о половине собаки, мы допустили  некоторую вольность, в дальнейшем мы усугубим эту вольность, используя  такие понятия, как  –3 кошки.

У. Сойер. Путь в современную математику

 

Исследование многих физических и  технических задач, а так же задач  медицины, сводится к решению дифференциальных уравнений. С их помощью описывают  волновые процессы и колебания, поэтому  практическое применение дифференциальных уравнений очень разнообразно.

В медицине дифференциальные уравнения  используются, например:

• для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови и других параметров гемодинамики;
• для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография;
• для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных;
• для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.

Эти и другие области применения дифференциальных уравнений делают их одной из самых актуальных и  важных разделов математики.

 

 

 

 

Модель Лотки-Вольтерры

 

Первой содержательной математической моделью, описывающей биологические  сообщества (если не считать исследований Фибоначчи популяции кроликов, приведших  его к знаменитым числам, носящим  его имя, а также исследований Мальтуса, приведших впоследствии к  известному уравнению xy’ = ax (a > 0) мальтузианского роста) была модель Лотки — Вольтерры. Она описывает популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из них, именуемый хищниками, при отсутствии второго вымирает по закону

xy’ = –ax (a > 0),

а второй — жертвы — при отсутствии хищников неограниченно размножается в соответствии с законом Мальтуса. Взаимодействие двух этих видов моделируется так. Жертвы вымирают со скоростью, равной числу встреч хищников и жертв, которое в данной модели предполагается пропорциональным численности обеих популяций, т. е. равной dxy (d > 0). Поэтому

yy’ = by – dxy.

Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной числу съеденных  жертв:

xy’ = –ax + cxy

(c > 0). Система уравнений

xy’ = –ax + cxy, (1)

yy’ = by – dxy, (2)

описывающая такую популяцию хищник — жертва и называется системой (или моделью) Лотки — Вольтерры.

Таким образом, численности популяций  хищников и жертв совершают рассогласованные по фазе автоколебания (см. рис.1). Такое поведение часто наблюдается в природе (классическая ссылка здесь на отчет Компании Гудзонова залива, которая в течение долгих лет наблюдала за численностью популяций зайцев и рысей в Канаде). Однако, система Лотки — Вольтерры обладает одним существенным недостатком: она неустойчива по отношению к малым возмущениям самой модели, точнее, не является грубой.

Рис. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модель Холлинга-Теннера

 

Поскольку в реальных популяциях присутствует много возмущающих факторов, не учтенных в модели Лотки — Вольтерры, эта модель вряд ли может претендовать на адекватное описание реальности. Этого недостатка лишена модель Холлинга — Тэннера, учитывающая большее число реальных факторов. В этой модели скорость изменения популяции хищников задается выражением ax – bx2/y = x(a – bx/y). Оно выбрано из следующих соображений. Когда пищи (жертв) много (y » +Ґ), популяция хищников растет по правилу Мальтуса с показателем a. С уменьшением числа жертв скорость роста популяции хищников падает и при y < bx/a становится отрицательной (последнее, грубо говоря, является следствием предположения, что для поддержания жизни одного хищника необходимо k = b/a жертв).

Скорость изменения популяции  жертв состоит из трех компонент. Первый член cy соответствует закону Мальтуса, второй –dy2 описывает внутривидовую конкуренцию и вызван ограниченностью ресурсов экологической ниши, занимаемой популяцией жертв. При отсутствии хищников жертвы подчиняются уравнению

yy’ = y(c – dy)

Наконец, третий компонент скорости изменения популяции жертв в  модели Холлинга — Тэннера описывает ее взаимодействие с хищниками и имеет вид –pxy/(q + y) (p, q > 0). Это выражение правдоподобнее описывает межвидовое взаимодействие, нежели соответствующий член –dxy модели Лотки — Вольтерры. В последней число жертв, убиваемых одним хищником за единицу времени, равно dy и растет пропорционально числу жертв, что неправдоподобно. В модели Холлинга — Тэннера коэффициент хищничества равен py/(q + y). Он не может превышать величины p/q и при неограниченном росте популяции жертв стремится, монотонно возрастая, к числу p/q, выражающему естественную потребность хищников в пище. В результате получается следующая система уравнений (модель Холлинга — Тэннера)

xy’ = (a – bx/y)x, (3)

yy’ = [c – dy – px/(q + y)]y.

Химическая  кинетика

 

Системы уравнений, возникающие при  описании биологических популяций, во многом близки к системам дифференциальных уравнений, описывающих кинетику химических реакций. К слову сказать, система Лотки — Вольтерры была первоначально выведена Лоткой как система, описывающая некоторую гипотетическую химическую реакцию (см. реакцию (6) ниже), и лишь позже Вольтерра вывел ее как систему, описывающую популяцию хищник — жертва.

Химическая кинетика описывает  химические реакции с помощью так называемых стехиометрических уравнений. Простейший пример такого уравнения — это известное уравнение горения водорода: H2 + O2 = H2O. Общий вид стехиометрического уравнения химической реакции таков:

p  å  l = 1

mlXl   ®

q  å  l = 1

nlYl

(5)

(натуральные числа m_l и n_l называются стехиометрическими коэффициентами). Это символическая запись химической реакции, в которой m1 молекул реагента X1, m2 молекул реагента X2, ..., m_p молекул реагента Xp, вступив в реакцию образуют n1 молекул вещества Y1, n2 молекул вещества Y2, ..., nq молекул вещества Yq. Основной закон, выражающий скорость протекания реакции (5) — закон действующих масс — гласит: скорость протекания реакции пропорциональна концентрациям реагентов. Поэтому, если обозначить буквами x_l, концентрации соответствующих веществ, то

 

x¢1(t)= ... = x¢p(t)= – K

p  Õ  l = 1

xlml(t) = –y¢1(t)= ... = –y¢q(t);

 

здесь K — константа скорости протекания реакции (она обычно пишется в  уравнении (5) над стрелкой и измеряется в моль–1·с–1).

Система Лотки — Вольтерры описывает гипотетическую трехстадийную реакцию вида

A + X K₁® 2X,   X + Y K₂® 2Y,   Y K₃®B,

в которой концентрации a и b исходного  реагента A и продукта реакции B поддерживаются постоянными (эта реакция является открытой в том смысле, что реактор  обменивается веществами A и B с окружающей средой). Тогда в силу закона действующих  масс

x¢ = K₁ax – K₂xy,      (7)

y¢ = K₂xy – K₃y,        (8)

Последняя система с точностью  до коэффициентов совпадает с  моделью Лотки — Вольтерры (a = const). Несколько слов о том, как получается система (7) – (8). В первой реакции "со скоростью K1ax" исчезает одна молекула вещества X и с этой же скоростью появляются две молекулы этого вещества. Суммарная скорость изменения концентрации реагента X в результате первой реакции следовательно равна –K1ax + 2K1ax = K1ax. Во второй реакции, очевидно, концентрация X убывает со скоростью –K2xy. Наконец, в третьей реакции X не участвует. В итоге получается уравнение (7). Уравнение (8) выводится аналогично.

Системы уравнений химической кинетики, описывающие реакции, представляющие практических интерес, обычно имеют  большие размерности, сильные нелинейности и малые сингулярно возмущающие параметры. Их численное исследование осложняется еще и тем, что эти системы, как правило, жесткие, что вынуждает разрабатывать специальные методы приближенного исследования.

 

 

 

 

Математическая  модель эпидемии

 

Применение дифференциальных уравнений  в медицине мы продемонстрируем на примере простейшей математической модели эпидемии. Отметим здесь же, что вышеописанные приложения дифференциальных уравнений в биологии и химии  тоже имеют медицинский оттенок, поскольку в медицине важную роль играет исследование различных биологических  популяций (например, популяции болезнетворных бактерий) и исследование химических реакций в организме (например, ферментативных).

В модели описывается распространение  инфекционного заболевания в  изолированной популяции. Особи  популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x(t) (t — время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих особей заразна (предполагается, что инкубационный  период заболевания пренебрежимо короток). Второй класс численностью y(t) составляют восприимчивые особи, т. е. особи, которые  могут заразиться при контакте с  инфицированными особями. И, наконец, третий класс состоит из невосприимчивых  особей (приобретших иммунитет или  погибших в результате заболевания). Его численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая  численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы:

1) заболеваемость в момент времени  t равна x(t)y(t) (эта гипотеза основывается  на правдоподобном предположении,  что число заболевающих пропорционально  числу встреч между больными  и восприимчивыми особями, которое  в свою очередь в первом  приближении пропорционально x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax(t)y(t) (a > 0);

2) численность становящихся невосприимчивыми  особей (приобретших иммунитет или  погибших) растет со скоростью,  пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью bx(t) (b > 0). В результате мы получаем систему уравнения:

xy’ = axy – bx, (9)

y’ = – axy, (10)

zy’ = bx. (11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Математический анализ как анализ переменных величин с момента  своего появления развивался в тесной связи с естествознанием, и в  частности с физикой и механикой. Потребности развития физических наук, необходимость количественного  изучения движения и меняющихся процессов  привели к возникновению и  формированию основных понятий дифференциального  исчисления и интегрального исчисления. Понятие дифференциального уравнения  – одно из основных. Чтобы разъяснить это понятие, рассмотрим, из чего складывается изучение какого-либо физического процесса. Это – создание физической гипотезы, основанной на эксперименте, математическая форма записи физической гипотезы, математическое решение этой задачи и физическое толкование выводов  из ее решения. Такой подход к изучению явлений природы впервые был  предложен итальянским ученым Г. Галилеем (1564-1642). Впервые его блестяще применил один из создателей математического  анализа - И. Ньютон. Математически сформулировать физические законы оказалось возможным  лишь с появлением математического  анализа и на его языке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

1. Введение
2. Модель Лотки-Вольтерры
3. Модель Холлинга-Теннера
4. Химическая кинетика
5. Математическая модель эпидемии
6. Заключение
7. Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  литературы

 

1. Арнольд, Эрроусмит — Плейс, Braun, учебник
2. Марри, Марчук, Свирежев — Логофет, монографии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГБОУ ВПО  РязГМУ им. И.П. Павлова Минздравсоцразвития России

Кафедра математики, физики и медицинской информатики

 

Дифференциальные  уравнения в медицине

 

 

 

       Выполнил: студент 1 курса лечебного 

                                                                   факультета 16 группы Яковлева О.В.

                                                  Проверил: Шмонова М. А.

 

 

 

 

 

Рязань, 2013 г.