Численные методы решения инженерных задач на ЭВМ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Физико-технологический институт

Кафедра «вычислительной техники»

 

 

 

 

 

Курсовая работа

По дисциплине «Информатика»

Численные методы решения инженерных задач на ЭВМ

 

 

Студентка Шахтарина И.В.

Группа СЗ-230105

Преподаватель Токмаков В.Н.

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург 2014

 

Содержание

Введение	3
1 Решение уравнений методом половинного деления	4
2 Решение уравнений методом  сканирования интервала	7
3 Решение уравнений методом  правых прямоугольников	10

 

Введение

 

Основным инструментом для решения сложных инженерных задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение к выполнению конечного числа арифметических действий, при этом результаты получают в виде числовых значений с некоторой заданной точностью.

Многие численные методы известны давно, но лишь с появлением вычислительной техники начался период их бурного развития и внедрения в практику. Применение компьютеров позволяет существенно сократить трудоемкость решения многих

современных задач.

Наиболее эффективное применение компьютерная техника нашла при проведении трудоемких расчетов в научных исследованиях, в процессе решения многих задач инженерного анализа, например, нахождение корней различных типов уравнений и их систем, поиск экстремальных значений функций и др.

 

1 Решение уравнений методом половинного деления

 

В данной работе будет рассматриваться решение уравнений по методу половинного деления.

В качестве модели для исследования используем квадратное уравнение.

 

 

fx=0                                                                                                         Ɛ=10-6

 

 

 

Метод половинного деления основан на построении последовательности вложенных отрезков, каждый из которых получается путём деления предыдущего отрезка пополам, на каждом шаге остаётся та часть отрезка, на концах которой функция имеет разные знаки.

Процесс деления продолжается до тех пор пока величина отрезка не станет меньше некоторой очень малой величины Эпсилон (Ɛ)

Далее приведен пример решения методом половинного деления уравнения f(x)= 3x2 + 5x + 2  в виде блок-схемы и алгоритма решения в программе “QBasic”.

	блок действия (чаще вычисления)
	Ввод данных, вывод, результат
	Проверка условия
	Начало и окончание
	переход
	блок цикла

 

 

REM

CLS

INPUT "Введите а и b"; a, b

eps = 1E-6

fa = 3 *а ^ 2 + 5 * a + 2

fb = 3 *b ^ 2 + 5 * b + 2

IF fa * fb < 0 THEN GOTO 80

PRINT ""

GOTO 100

100 END

k = 0

80: x = (a + b) / 2

PRINT x

k = k + 1

fx = 3*x ^ 2 + 5 * x + 2

IF fx = 0 THEN GOTO 140

IF fa * fx < 0 THEN b = x: GOTO 130

a = x

130 IF ABS(b - a) > eps THEN GOTO 80

140: PRINT "x="; x

PRINT "f(x)="; fx

PRINT "k="; k

 

Результат:

 

 

 

Проверка:

Х1,2=(-5±  52-4*3*2)/2*3=(-5±  25-24)/6=(-5±1)/6

Х1=(-5+1)/6=-0,667

Х2=(-5-1)/6=-1

 

2 Решение уравнений методом сканирования интервалов

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

 

 

Метод перебора (сканирование функции) заключается в пробегании отрезка локализации экстремума с некоторым малым шагом.

На каждом шаге вычисляется два рядом стоящие значения функции и сравниваются между собой.

В случае поиска минимума оставляется минимальное значение (в случае поиска максимума, максимальное)

На каждом шаге текущее минимальное значение функции и точка соответствующая ему фиксируется в двух вспомогательных переменных.

После окончания сканирования отрезка будет находиться минимальное значение функции и само значение экстремума.

Чем меньше шаг тем точнее результат.

 

Далее приведен пример поиска экстремумов методом в виде блок-схемы и алгоритма решения в программе “QBasic”. (по уравнению f(x)= 3x2 + 5x + 2)

 

 

REM «Поиск экстремума функции методом перебора (поиск минимума)»

CLS

INPUT «Введите интервал локализации экстремума и шаг сканирования»; a, b, dx

Ymin = 1E+20

FOR x = a TO b STEP dx

y = 3*x ^ 2 + 5 * x + 2

PRINT x, y

IF y < Ymin THEN Ymin = y : Xp = x

NEXT x

PRINT «Минимальное значение функции =»; Ymin

PRINT «При x = »; Xp

END

 

Результат:

 

 

 

 

 

Проверка:

f’(x)=3*2*x+5

x=-5/6=-0,833

x=3*(-0,833)2 +5*(-0,833)+2

х=-0,0833

 

 

3 Решение уравнений методом правых прямоугольников

 

Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции.

 Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Метод прямоугольников для вычисления определённых интегралов заключается в вычислении суммы площадей элементарных прямоугольников, одна из сторон которых равна d(x), а вторая равна значению подынтегральной функции.

 

Точное значение интеграла можно рассчитать, если известна первообразная подынтегральной функции.

Далее приведен пример вычисления правильного интеграла (методом правых прямоугольников) в виде блок-схемы и алгоритма решения в программе “QBasic”. (по уравнению f(x)= 3x2 + 5x + 2)

 

 

 
REM «Вычисление определённого интеграла по методу правых прямоугольников»

CLS

INPUT «Введите пределы интегрирования и количество делений интервала интегрирования»; a, b, N

dx = ( b – a ) / N

S = 0

x = a

FOR I = 1 TO N

S = S + ( 3*x ^ 2 + 5 * x + 2 ) * dx

x = x + dx

NEXT I

PRINT «Интеграл = »; S

END

 

Результат:

 

 

 

Проверка:

f(x)=3x2+5x+2

G’(x)=f(x)

G(x)=(3x3)/3+(5x2)+2x

(b) (3*23)/3+(5*22)/2+2*2=22

(a) (3*(-3)3)/3+(5*(-3)2)/2+2*(-3)=-10,5

I=22-(-10,5)=32,5

Вывод. При введении программы, можно сделать вывод, что ввод больших разбиений долей, дает более точный результат.