Численные методы решения инженерных задач на ЭВМ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»Институт технологий открытого образования Департамент индивидуального обучения

Курсовая работа по дисциплине

«ИНФОРМАТИКА»

Тема: "Численные методы решения инженерных задач на ЭВМ"

 

 

 

Екатеринбург 2015

 

 

Руководитель                               ______________            Токмаков В.Н.

(должность, ученая степень, ученое звание)                               (подпись, дата)                                                (Ф.И.О.)

 

Студент  гр.СТЗ-140025д             ______________           Кукуй А.И.

                                       (№ группы)                                               (подпись, дата)                                           (Ф.И.О.)

 

Оглавление

Введение

1. Задание на курсовую работу ………………………………………4
2. Задача №1. Решение уравнения по методу половинного деления
1. Суть метода…………………………………………………….5
2. Нахождение корней уравнения через дискриминант…...8
3. Построение графика функции с помощью Microsoft Excel……………………………………………………………………9
4. Блок-схема……………………………………………………..10
5. Решение методом половинного деления с помощью QBasic…………………………………………………………………11
6. Вывод……………………………………………………………12
3. Задача №2. Нахождение экстремумов заданной функции методом перебора
1. Суть метода…………………………………………………….13
2. Нахождение точек экстремума через производную………13
3. Блок-схема……………………………………………………..14
4. Нахождение точек экстремума через производную с помощью QBasic…………………………………………………….15
5. Вывод…………………………………………………………….17
4. Задача №3. Вычисление определённого интеграла по методу правых прямоугольников
1. Суть метода…………………………………………………….18
2. Вычисление интеграла математическим способом………19
3. Блок-схема……………………………………………………..20
4. Нахождение определённого интеграла методом правых прямоугольников с помощью QBasic……………………………..21
5. Вывод……………………………………………………………25

Заключение………………………………………………………………26

Список используемой литературы………………………………….27

 

 

 

Введение

 

С развитием и совершенствование ЭВМ тесно связано появление языков программирования. Для машин первого поколения они составлялись в машинных кодах. Это был трудоёмкий процесс, поскольку программисту самому приходилось распределять память под программу, исходные данные и результаты. Разобраться в такой программе, модифицировать ее было практически невозможно. Еще в период перехода к машинам второго поколения (50-е годы) возникла необходимость в создании больших и сложных программ. Процесс их составления в машинных кодах резко снизил Эффективность использования ЭВМ. Этот период характеризовался появлением первых алгоритмических языков. Они отличались наглядной формой реализации алгоритма, использованием привычной математической символики, ограниченным набором ключевых слов. Основное их достоинство – универсальность.

Работа с программой, выполненной на алгоритмическом языке, очень упрощалась за счет относительной простоты написания, возможности модифицирования. Совершенствование вычислительной техники, а именно увеличение объёма памяти и быстродействия машин, делало программирование на алгоритмическом языке всё более распространённым и перспективным.

Байсик (Basic) – это сокращение английских слов Beginner’s All-purpose Symbolic Instruction Code, что в переводе означает «многоцелевой язык символических инструкций для начинающих». Он был разработан профессорами Дармутского колледжа (США) Томасом Курцем и Джоном Кемени в 1965 для обучения студентов , незнакомых с вычислительной техникой . Этот язык, напоминающий Фортран, но более простой быстро стал очень популярным. Особенно его популярность повысилась с появлением персональных компьютеров, где он стал одним из основных языков программирования. Существует множество версий языка Байсик и все они имеют особенности. В каждой из них можно выделить общее подмножество, в котором отражены характерные (стандартные) грамматика , синтаксис и семантика языка. Наиболее популярной версией является QBasic, благодаря удобному интерфейсу  и преставления пользователю ряда сервисных возможностей, присущих современным системам программирования. Поэтому тексты представленных в работе программ отлажены именно в ней.

 

 

 

1. Задание на курсовую работу

 

В основе курсовой работы лежит три задачи:

 

Задача №1. Решение уравнения по методу половинного деления

 

Задача №2. Нахождение экстремумов заданной функции методом перебора

 

Задача №3. Вычисление определённого интеграла по методу правых прямоугольников.

 

 

 

Эти задачи нужно в несколько этапов:

1. Постановка задачи
2. Выбор метода решений
3. Разработка математической модели решения задачи (этап формализации)
4. Разработка алгоритма решения задач
5. Составление программы по разработанному алгоритму на одном из языков программирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Задача №1. Решение уравнения по методу половинного деления

2.1 Суть метода

Идея метода половинного деления заключается в построении вложенных отрезков, каждый из которых получается из предыдущего путем деления пополам. При каждом делении оставляется та часть отрезка, на концах которого функция имеет разные знаки. Процесс деления продолжается до тех пор, пока величина отрезка не станет меньше некоторого очень малого числа Е.

При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Таким образом, функция (отображение, оператор, преобразование) –это математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Другими словами, функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Каждая непрерывная функция на определенном отрезке обладает определенными свойствами. Одним из таких свойств является следующее свойство:

пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b.

Это свойство имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Геометрический смысл указанного свойства непрерывной функции указан на рис.1

Рис.1. Геометрический смысл свойства непрерывной функции

 

На базе этой теоремы построено численное нахождение приближенного значения корня функции. Обобщенно этот метод называется дихотомией, т.е. делением отрезка на две части.

 

Обобщенный алгоритм численного нахождения приближенного значения корня функции выглядит так:

1. Задать начальный интервал [Xleft...Xright].
2. Убедиться, что на концах функция имеет разный знак.
3. Повторить циклически пока не будет достигнута нужная точность:
1. Выбрать внутри интервала точку X.
2. Сравнить знак функции в точке X со знаком функции в одном из концов. В результате:

• если совпадает, то переместить этот конец интервала в точку X;
• иначе переместить в точку X другой конец интервала.

Варианты метода дихотомии различаются выбором точки деления. Рассмотрим следующий вариант дихотомии – метод половинного деления.

Метод половинного деления известен также как метод бисекции.

Метод половинного деления основан на построении последовательности вложенных отрезков, каждый из которых получается путём деления предыдущего отрезка пополам, на каждом шаге остаётся та часть отрезка, на концах которой функция имеет разные знаки. Процесс деления продолжается до тех пор, пока величина отрезка не станет меньше некоторой очень малой величины Эпсилон (Ɛ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Нахождение корней  уравнения через дискриминант

Уравнение х2-5х+4=0

 

Найдем корни уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Построение  графика функции с помощью  Microsoft Excel

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4. Блок-схема

2.5 Решение методом  половинного деления с помощью  QBasic

Ввод программы

Решение

2.6. Вывод

Результаты проведенных вычислений задачи №1 приведены в таблице 1.

Таблица 1

Результаты проведенных вычислений задачи №1

№ п/п	Нахождение корней уравнения через дискриминант	Решение методом половинного деления с помощью QBasic
		Ответ	Количество отрезков
1	х1 = 1 х2 = 4	х1 = 0,999999 х2 = 4	к = 20 к = 19

 

 

Проверка:

х2 -5х +4 = 0;

12 - 5*1 + 4 = 0;

(4)2 -5*(5)+4 = 0.

 

Вывод

В результате проведенных вычислений можно сделать вывод о том, что метод половинного деления, реализованный на одном из языков программирования по разработанному алгоритму решения задачи, совпадает с математической моделью решения задачи в пределах допустимой погрешности. И может успешно реализовываться для решения инженерных задач.

 

 

 

 

 

 

3. Задача №2. Нахождение экстремумов заданной функции методом перебора

3.1 Суть метода

Идея метода сканирования заключается в «пробегании» отрезка ab, на котором находится экстремум функции с малым шагом. На каждом шаге сравниваем два рядом стоящих значения функции. В случае поиска минимума оставляем минимальное, в случае поиска максимального – максимальное. Сохраняем это значение во вспомогательной переменной. После завершения сканирования отрезка в этой вспомогательной переменной будет находиться минимальное (максимальное) значение функции. Чем меньше шаг сканирования, тем точнее результат.

Экстре́мум (лат. extremum – крайний) в математике – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Метод перебора (сканирование функции) заключается в "пробегании" отрезка локализации экстремума с некоторым малым шагом. На каждом шаге вычисляется два рядом стоящие значения функции, и сравниваются между собой. В случае поиска минимума оставляется минимальное значение (в случае поиска максимума, максимальное). На каждом шаге текущее минимальное значение функции и точка соответствующая ему фиксируется в двух вспомогательных переменных. После окончания сканирования отрезка будет находиться минимальное значение функции и само значение экстремума. Чем меньше шаг – тем точнее результат.

3.2 Нахождение  точек экстремума через производную

f(x)’=2x-5 

2х-5=0  

х=5/2=2.5

 

3.3 Блок-схема

 

 

 

 

 

 

 

3.4 Нахождение точек экстремума через производную с помощью QBasic

Ввод программы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

3.5 Вывод

Результаты проведенных вычислений задачи №2 приведены в таблице 2.

Таблица 2

Результаты проведенных вычислений задачи №2

№ п/п	Нахождение точек экстремума через производную	Решение методом перебора с помощью QBasic
		Шаг сканирования	Значение х при минимальном значении функции
1	х = 2,5	0,5	х = 2,5
2		0,05	х = 2,499999
3		0,005	х = 2,50001