Буль алгебрасы

Буль ашқан алгебраның қолдану аясы қаншалықты кен де өркенді екенін айқындауға болады. Оған толығырақ көз жеткізу үшін, әуелі Буль айнымалысына қолданылатын амал туралы ұғымды тиянақты түрде анықтап алу керек.

Бізге (х,у) € Б немесе (х,у) {0,1} болатын х,у Буль айнымалылары берілсін. Осы х пен у айнымалыларға қолданылатын Буль амалы туралы ұғым (х,у) Буль қосындысын Б ={0,1} жиынына бейнелеу арқылы анықталады.

Анықтама. Егер де х,у екі айнымалыдан тұратын (х,у)-Буль қосындысының Б={0,1} жиынындағы  бейнесі болатындай  z-айнымалы табылып, көрсетілген болса онда Б жиынында Буль амалы анықталған дейді.

Егер де Б ={0,1} жиында Буль амалы анықталған болса, онда осы Б жиыны Буль алгебрасы деп аталады.

Буль айнымалысына пікірлік мән  беріп қарау арқылы пікірлер алгебрасының амалдарын Буль жиынында анықтауға болады. Атап айтқанда пікірлер есептемесінің амалдары түгелдей Буль алгебрасының амалдары болып табылады. Олар төмендегідей белгіленеді:

1. ¬ х –айнымалының терістеу амалы;
2. х ^ у-айнымалыларды қабаттамалау (конъюнкциялау, «және» );
3. х ٧у –ажыратпалау (дизъюнкциялау, «немесе»);
4. х у – теңгермелеу (импликациялау);

 

Буль алгебрасының амалдарын соларға  енетін айнымаланың санына қарай  бірнеше топтарға бөліп қарастырады. Олар: бірлемдік (1-лемдік, унарлық), екілемдік (2-лемдік, би-нарлық), үшлемдік (3-лемдік), т.с.с. эн-лемдік  (n-арлық) амалдар деп аталады. Солардың біз әрқайсысына жеке-жеке тоқталып өтелік. Аталмыш Буль амалдарын дерексіз (абстрактылы) Буль айнымалылары үшін анықтаймыз.

Буль айнымалыларын, кейде Х1, Х2 ....Х n деп, бір ғана Х әрпін номерлеу арқылы да белгілеп жазады.  Олардың әрқайсысы тек 0 мен 1 Буль тұрақтыларынан өзіне мән ретінде қабылдай алады. «Х1 айнымалы 0-Буль  тұрақтысын қабылдайды» деген ой былайша жазылып көрсетіледі: х1=0. Сондай-ақ, «х1=1» жазуы «айнымалы 1 деген Буль тұрақтысын қабылдайды». Элементтер Буль тұрақтылары болып келетін Б ={0,1}-екі элементті Буль жиыны деп атайды.

Егер х-Буль  айнымалысы болса, онда х € Б немесе х €{0,1} деген жазу  «х- Буль жиынына тиісті айнымалы» немесе «х айнымалы Буль жиынына жатады» деген ойларды белгілеп көрсетеді.

Буль тұрақтылары 0 мен 1-ді тек сандық белгілеме деп ұқпау керек. Ол анығында, нәрселер мен құбылыстардың  екі түрлі қиырлық (полярлық) күйін, сипатын білдіретін белгілеме ретінде  жұмсалады.

Мысалы, 0 белгісі арқылы нәрсенің – «суық», 1 белгісімен «ыстық» деген күйін белгілеп жазуға болады. Сонда нәрсенің «суық, ыстық» деген екі элементтік жиынымен сипатталатын ахуалдық күйін (0,1) деген Буль қосындысы арқылы өрнектеп көрсетуге болады. Басқаша айтқанда, нәрсе денесінің қызулы сипаттамасын Буль алгебрасы арқылы бейнелеуге болады.

Буль алгебрасының (0,1) қосындысы  арқылы нәрселердің тағы талай қырларын сипаттап бейнелеуге болады.

Мысалы, нәрсенің түстік сипаттамасын көрсететін «(ақ, қара)»-қосындысын  да белгілеуге болады.  Сондай-ақ пікірлік ойлар сипаттаушысы «жалған, ақиқат»  деген екі элементтік жиынды Буль қосындысымен белгілейді. Ықтималдықтар теориясының алғашқы ұғымдарынан тұратын «көрінбеді», «көрінді» деген екі сөзі жиындар қоса бола алады. Математикалық таңбалар түзетін  «минус, плюс» деген сөздерді, сондай-ақ «жоқ, бар» деген ақпаратнамалық сөздерді де қосымен бейнелеп көрсетуге болады.

 

 

Айталық х,у, z – қандай нақты нәрседен жаратылғаны беймәлім дерексіз Буль айнымалылары болсын. Басқаша айтқанда х,у, z €{0,1}  болатын айнымалы қарастырамыз. Сонымен қатар Б ={0,1} – Буль жиынында «=» белгісімен жазылатын «теңдік» қатнасы анықталған деп ұйғарамыз.

Буль алгебрасының алдыңғы аталып өткен амалдарын былайша кестелеп анықтауға болады:

 

1. инверсиялау амалы

 

Айнымалы	Инверсиялау
Х	¯х
0	1
1	0

 

2.Біріктіре дизъюнкциялау  амалы

 

Айнымалылар		Біріктіре дизъюнкциялау
Х	У	х ٧у
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

 

3.Ажырата дизъюнкциялау  амалы

 

Айнымалылар		Ажырата  дизъюнкциялау
Х	У	х ٧у
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

 

4.Конъюкциялау амалы

 

Айнымалылар		Конъюкциялау
Х	У	х ٧у
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

 

5.Импликациялау амалы

 

Айнымалылар		Импликациялау
Х	У	х   у
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

 

 

6.Эквиваленциялау амалы

 

Айнымалылар		Эквиваленциялау
Х	У	х ~у
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

 

Буль алгебрасының операциялары үшін сандар мен пікірлер амалдарына тура болатын көптеген заңдылықтар мен  қасиеттер орындалады. Оларды Буль амалдарының қасиеттері (заңдары) деп  атайды.

 

  Буль алгебрасы және электрлі-контактілік жүйелер

 

Электрлі немесе релейлі контактілік  жүйе деп – электр көзіне тіркейтін  х,у,z – контактылардан (қосқыштардан) желілік сымдардан және жүйеде токтың бар не жоқ екенін мәлімдейтін  дабылдық элементтен (мәселен, электр шамынан я қоңырауынан) тұратын құрылымды айтады.

Х-контакт «ажыратылған»  және «қосылған»  деп аталатын екі күйдің біреуінде  ғана бола алады.

 

________  х____________                      ___________  х  _______________

 

 

Х-контактінің бұл екі ахуалын  былайша белгілеп жазамыз:

 

         0, егер х – ажыратылған болса

х= {

        1, егер х-қосылған болса

 

Сондай-ақ  f – дабылдық элемент  – шам да екі күйдің тек біреуінде  ғана болады:

1. f- шам «жанған» (жан);
2. f – шам «өшкен» (өш) деп қарауға болады.

   f – дабылдық элементтер жағдайлары былайша белгілеп жазуға болады:

 

         0, егер f –жұмыс атқармаса (шам өшсе)

f = {

        1, егер f – жұмыс атқарса (шам жанса)

Электрлі-контактілік жүйені қарастырудың, негізінен, екі түрлі үлгісі бар  екенін білеміз. Олар:

1. контактыларды тізбектей қосу;
2. контактыларды параллель қосу.

Енді контактылық жүйелерді  жұмыс атқарымдық сипаттарын талдап көрелік. Сонда мыналарды байқау қиын емес.

Контактілерді тізбектей қосу жүйесі, ондағы х,у контактылардың екеуі  бірдей қосылғанда (х=1, у=1) және тек  сонда ғана жұмыс атқаратынын (яғни f (х,у) = 1 болатынын) көреміз.

Бұл қорытындыны мынадай кесте  түрінде көрнекілеп жазуға болады:

 

 

 

контактылар		Сигналдық (дабыл) Элементтер f (х,у)
Х	У
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

 

Бұл кестеден f (х,у)- х   у  деп  қарауға болатынын көреміз. Х    у   формуланы контактылар конъюкциясы (қабаттамасы,  логикалық көбейтіндісі) дейді.

Енді жоғарыдағы суреттегі х,у  контактыларды параллель қосқан жүйені алып талдаймыз. Сонда мынадай  қорытындыға келуге болады:

Контактыларды параллель қосу жүйесі ондағы х,у контактыларының ең болмағанда  біреуі қосылғанда (яғни х=1 болғанда) және тек сонда ғана жұмысқа қосылатынын (яғни f (х,у) =1 болатынын) көреміз.

 

контактылар		Сигналдық элемент
Х	У	f (х,у)
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

 

Бұл кестеден f (х,у) =х    у деп қарауға болатынын көреміз.

Х   у   -формуланы контактылар  дизъюнкциясы немесе логикалық қосындысы  деп атайды.

Электрлік жүйелерді қарастырған  кезде мынадай бір х – контактылы жүйенің жұмысына ден қойған жөн. Мұнда х – контактыға сигнал бергенде (х=1 болғанда) жүйе жұмыс істеуін тоқтатады (яғни f (х) =0 болады).

Керісінше, х контактыға сигнал түспесе, ол жүйе жұмыс істейтін, яғни

f (х) =1 болады.

Бұл айтылған контактылық жүйенің  жұмысын мынадай кесте арқылы жазып көрсетеміз:

 

Контакт	Сигналдық элемент
0	f (х) =1
1	f (х) =0

 

Кестеден f (х) =х деп қарауға болатынын  көреміз. Мұндағы х – формуланы  х – контактының инверсиясы деп  атауға болады.

Алдыңғы айтылғандарға қарап, пікірлер алгебрасының үш тұрлаулы амалы –  терістеу, конъюнкциялау және дизъюнкциялау операцияларының әрқайсысынан электрлі – контактылық жүйенің белгілі бір құрылымы арқылы үлгілемелеп көрсетуге болады. Ал пікірлер логикасының қалған екі амалын (импликация мен эквиваленция) айтылмыш үш тұрлаулы амалдар арқылы былайша өрнектеуге болатынын білеміз.

Сонымен электрлі –контактылық жүйе (ЭКЖ) мен пікірлер алгебрасының формулалары  арасында бірме-бір көшірмелік байланыс бар деген тұжырымдық ой айтуға болады. Сол себепті электрлі-контактылық  жүйені контактылар алгебрасы (КА) деп атауға болады.

Контактылар алгебрасы үш операциядан  және «=» белгісімен көрсетілген  қатынастан тұрады. Контактылық амалдарды  сәйкес түрде «инвентор», «конъюнктер»  және «дизъюнктер» операциялары деп  атайды. Ал (=) қатнасы құрылымдары  әртүрлі, ал бірақ атқаратын қызметтері бірдей екі контактылық жүйе арасындағы қатынасты көрсетеді. Сондықтан «=» белгісін «тең қызметтес контактылы жүйелер» деп атайды.

 

       Контактылар алгебрасының формуласы мен заңдары

       Контактылар алгебрасы мен пікірлер алгебрасында қолданылатын амалдар, қатынастар мен әліпбилік белгілемелер арасында бірме-бір сәйкестік барын көрсеттік. Сондықтан, пікірлер алгебрасының формулалары және заңдары туралы бұрын айтылған анықтамалар мен тұжырымдық ойлардың бәрін контактылық алгебра үшін де тура болады деп қарауға болдады. Буль алгебрасының үлгілемелік мысалы деп қарастырады. Бұл айтылғандарға мысалдар келтіру арқылы көз жеткізуге болады.