Анализ работы модели вычислительного устройства

Содержание

 

Введение

 

Для современный вычислительных машин, комплексов, систем и сетей характерна работа в режиме решения случайных по своим характеристикам задач, поступающих в случайные моменты времени. Случайность характерна для функционирования отдельных подсистем, например случаен поток команд, выбираемых устройством управления. Погрешность, сопровождающие вывод данных, сбои различных элементов представляют собой случайные внешние факторы. Поток входной информации является случайным процессом, время поступления отдельных событий и длительности их обработки также случайны. Поэтому на этапе исследования и проектирования сложных вычислительных систем при создании и реализации как аналитических так и имитационных моделей широко используется метод статического моделирования (статических испытаний), базирующийся на использовании случайных величин (СВ) с заданным распределением вероятностей.

Статическое моделирование – это  метод получения с помощью  ЭВМ статических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения оценок характеристик  моделируемой системы с учетом случайных воздействий внешней среды статические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики.

В результате статического моделирования системы получается серия частных значений искомой  характеристики, статическая обработка  которых дает сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, то результаты моделирования приобретают статическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы. 

 

1. Разработка генераторов  случайных чисел

1. Разработка генератора СЧ по нормальному закону распределения с использованием Центральной предельной теоремы теории вероятностей

1. Теоретические сведения

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью распределения вида: .

Кривая распределения по нормальному  закону имеет симметричный холмообразный вид.

Рис. 1

Максимальная ордината кривой равна  , что соответствует точке x=m; по мере удаления от точки m плотность распределения падает, и при кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

Последовательность случайных  чисел с нормальным законом распределения можно получить в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей:

       Если - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание M[X] и дисперсию , то при закон распределения суммы случайных величин неограниченно приближается к нормальному

 

.

 

Отсюда, последовательность случайных  чисел с нормальным законом распределения формируется в виде суммы случайных чисел, имеющих равномерное распределение в интервале (0,1); N = 12...20; в простейших случаях N = 4...5.

2. Реализация генератора СЧ

Реализация генератора СЧ с использованием Центральной предельной теоремы  достаточно проста.  Значение случайной  величины X с заданными мат. ожиданием Mx и  дисперсией σ² находится по следующей формуле:

,

где: N – количество суммируемых чисел, сгенерированных по равномерному закону распределения;

        a = Mx - σ – нижняя граница интервала;

        b = Mx + σ – верхняя граница интервала;

       x_i – случайное число, сгенерированное в интервале (0, 1) по равномерному закону распределения.

3. Проверка качества последовательности по критерию       Пирсона

При генерировании случайных чисел  с заданным законом  распределения возникает необходимость проверки правильности полученного распределения. Проверка выполняется с  помощью  статистических критериев согласия.

       Критерий согласия показывает, с какой доверительной  вероятностью Р_ДОВ отклонение полученного распределения от теоретического объясняется случайным разбросом, и с какой вероятностью это предположение может быть отвергнуто.

       При использовании критериев согласия по экспериментальным данным вычисляют статистику критерия, которая является мерой различия между гипотетическим распределением F(x) и оценкой функции распределения .

       Оценка нормальности распределения последовательности случайных величин {X} по критерию Пирсона проводится по следующей методике.

Пусть имеется последовательность  случайных  чисел,  которые можно считать реализациями случайной величины с выбранной  формой функции распределения. Высказанная гипотеза о законе  распределения проверяется методами математической статистики и либо  принимается, либо отвергается.

     При большом числе наблюдений (n 50) лучшим критерием проверки выдвинутой гипотезы считаются критерий  согласия  К.Пирсона (критерий )   для   группированных   наблюдений.

      Согласно критерию Пирсона контролируется отклонение  гистограммы экспериментальных данных от гистограммы, с таким же  числом интервалов, построенной на  основе  нормального распределения. Сумма квадратов разностей частот по интервалам не должна превышать значений , для которых составлены таблицы зависимости от уровня значимости критерия q и числа степеней свободы k = L - 3, где L - число интервалов.

      Вычисления ведутся по следующей схеме.

      1. Вычисляются среднее арифметическое  наблюдений  и  оценка среднего квадратического отклонения

;

.

      2. Группируются наблюдения по интервалам. При числе наблюдений 40...100 обычно принимают 5...9 интервалов. Для каждого интервала вычисляют середину x и подсчитывают число наблюдений, попавшее в каждый интервал .

      3. Вычисляют число наблюдений  для каждого из  интервалов, теоретически соответствующее нормальному распределению. Для этого сначала от реальных середин интервалов x переходят к нормированным

.

       Затем для каждого значения находят значение функции плотности вероятностей

   .                                        

 

     Далее вычисляют часть общего числа имеющихся наблюдений, которая теоретически должна была быть в каждом из интервалов

,

где n  - общее число наблюдений; - длина интервала, принятая при построении гистограммы.

      4. Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше 5 наблюдений, то его в обеих гистограммах соединяют с соседним. Далее определяют число степеней свободы k = L - 3, где L  - общее число интервалов (если произведено укрупнение, то  L - число интервалов после укрупнения).

      5. Вычисляют показатель разности частот

где  .

     6. Выбирают уровень значимости критерия q.

        Он должен быть достаточно малым, чтобы была мала вероятность отклонить правильную гипотезу; с другой стороны, слишком малое значение q увеличивает вероятность принять ложную гипотезу.

      По уровню значимости q и числу степеней свободы k в таблице приложения Б находим границу критической области так, чтобы

      Вероятность того, что получаемое значение превышает равна q и мала. Если оказывается, что >   , то гипотеза о нормальности отвергается. Если, < , то  гипотеза о нормальности принимается.

      Чем меньше q, тем легче выполняется условие <     и принимается проверяемая гипотеза. Нецелесообразно брать q< 0,01. При слишком большом значении снижается чувствительность критерия. При q = 0,5   теряется возможность сделать выбор в пользу проверяемой гипотезы или против нее. Выбор уровней значимости следует ограничить интервалом 0,02 q 0,1.

      Данный критерий позволяет проверять соответствие экспериментальных данных любому теоретическому распределению, а не только нормальному. Однако он не позволяет установить вид  распределения наблюдений, как и другие критерии согласия, а лишь  дает  возможность проверить, допустимо ли отнести их к тому или  иному  заранее выбранному распределению.

Проведем проверку качества последовательности СЧ. Разработанная система позволяет варьировать параметры N, L и объем выборки n. Результаты проверки для Mx = 2 и σ = 0,6 приведены в таблице 1, для Mx = 5 и σ = 1 в таблице 2.

Таблица 1

Количество суммируемых чисел xi, N	Число интервалов разбиения, L	Объем выборки, n	Значение критерия Пирсона,
5	10	200	19.84021
5	20	400	21.49035
5	30	800	36.83068
10	10	200	29.0032
10	20	400	31.93316
10	30	800	37.57793
20	10	200	138.34974
20	20	400	48.40277
20	30	800	56.36548

 

Сравнивая значения  , полученные в результате эксперимента, с теоретическими, заключаем что в реализованной системе моделирование наиболее целесообразно вести при N = 5…10 и выборке не менее 400 чисел.

 

 

 

 

Таблица 2

Количество суммируемых чисел xi, N	Число интервалов разбиения, L	Объем выборки, n	Значение критерия Пирсона,
5	10	200	22.92860
5	20	400	20.09646
5	30	800	32.13055
10	10	200	46.35482
10	20	400	36.49294
10	30	800	38.17234
20	10	200	136.38832
20	20	400	60.69720
20	30	800	53.06860

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Разработка генератора СЧ по экспоненциальному закону распределения методом Бусленко

1. Теоретические сведения

Для получения случайных чисел  с любым заданным законом распределения наиболее универсальным является метод кусочной аппроксимации предложенной Н.П. Бусленко и используемой для генерации случайных чисел в интервале (a, b).

Если необходимо получить последовательность случайных чисел Х с плотностью f(х) в интервале (a, b), то кривую плотности распределения представляют в виде кусочно-постоянной функции, для чего разбивают интервал (a, b) на m участков с интервалами (a₁, a_i+1) как представлено на рис. 2

Рис. 2

Вероятность попадания в каждый из интервалов обозначим как  P_j, причем .

В пределах данного интервала можно  считать плотность распределения  случайной величины f(х) постоянной, случайную величину Х распределенной равномерно. Плотность распределения f(х) разбивается на участки (а_i, a_i+1) таким образом, чтобы вероятность попадания туда случайной величины P_j была постоянной, и не зависела от номера интервала .