Курс лекций по "Геодезии"

РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОДЕЗИИ

Тема №1. Земля и ее отображение на плоскости

 

Лекция №2,3

Учебные вопросы:

1. Понятие о физической поверхности Земли, ее форме и размерах
2. Сущность проектирования результатов геодезических измерений с физической поверхности Земли на поверхность относимости
3. Понятие о картографических проекциях. Сущность равноугольной проекции Гаусса-Крюгера.
4. Разграфка и номенклатура топографических карт.
1. Понятие о физической поверхности Земли, ее форме и размерах

Поверхность Земли общей  площадью 510 млн. кв. км состоит из Мирового океана (70%) и суши (30%). Так как суша занимает меньшую площадь, чем Мировой океан, то под общей фигурой Земли в геодезии понимают фигуру, ограниченную поверхностью морей и океанов в спокойном состоянии и мысленно продолженную под материками.

Такая замкнутая поверхность  в каждой своей точке перпендикулярна  к направлению отвесной линии (направление силы тяжести) и называется -уровенной поверхностью. Фигура Земли, образованная уровенной поверхностью называется геоидом.

 

 

Рис.1.1 Основные понятия  о форме Земли

 

Фигура геоида связанная с направлением силы тяжести, имеет неправильную и сложную форму, вследствие неравномерности распределения масс в земной коре. Математически выразить геометрическую форму геоида невозможно, поэтому для геодезических расчетов необходимо принять вспомогательную поверхность, наиболее близко подходящую к фигуре геоида.

В первом приближении  уровенную поверхность Земли  можно заменить сферой определенного радиуса. Однако дальнейшие точные исследования показали, что наиболее близкой к геоиду математической поверхностью является эллипсоид вращения (рис.1.1).

Размеры любого эллипсоида вращения характеризуются большой а и малой в полуосями, а также сжатием - α, которое вычисляется по формуле:

α  =  (а – в)/ а               [1]

С 1946 года постановлением правительства для геодезических  и картографических работ в России приняты данные референц - эллипсоида Красовского с размерами: 

                              а  = 6378245 м;    в = 6356863 м;    α = 1:298,3

 

Референц эллипсоид - это эллипсоид с определенными размерами и ориентировкой, на поверхность которого переносят результаты геодезических измерений для конкретной страны.

 Редуцирование измерений  на эллипсоид производится по нормалям.                                                                  

       Нормаль – это линия, перпендикулярная касательной к поверхности эллипсоида.

      Угол между отвесной линией (pq) и нормалью (mn) называется уклонением отвесной линии. (u). В среднем для земного эллипсоида он составляет 3-4״ и только в некоторых местах достигает нескольких минут.

Отступления по высоте точек  поверхности геоида (уров. пов.) от поверхности референц – эллипсоида (мат.пов) характеризуются в среднем величиной порядка 50 м и не превосходят 150 м. По сравнению с размерами Земли такие отступления настолько незначительны, что позволяет геоид при решении практических задач принимать за эллипсоид. При решении приближенных задач фигура Земли принимается за шар радиусом 6371 км. R =  (a² × b²) ^1/3.

В последние годы бурное развитие средств и методов космической  геодезии позволило получить множество  спутниковых измерений на суше и  море. В результате математической обработки этих измерений параметры земного эллипсоида уточнены. В России они получили название «ПЗ-90», в США – «WGS-84».

Параметр	«ПЗ-46»	«ПЗ-90»	«WGS-84»
Большая полуось, м Сжатие	6378245 1/298,3	6378136 1/298,257839	6378137 1/298,257234

 

В связи с тем, что  переход к новым параметрам Земли  требует длительных организационно-технических мероприятий, решение геодезических задач по обеспечению топографо-геодезическими данными различных отраслей экономики в России выполняется в настоящее время с использованием референц - эллипсоида Красовского.

 

Вывод: Для выполнения точных геодезических расчетов все измерения, выполненные на физической поверхности Земли переносятся на уровенную поверхность, в качестве которой принят референц - эллипсоид.

 

 

 

 

 

2. Сущность проектирования результатов геодезических измерений с физической поверхности Земли на поверхность относимости

При измерении элементов  земной поверхности с помощью  геодезических приборов, обработке результатов измерений, оформлении результатов измерений на планах, картах и др. графических документах в геодезии применяется метод проекций.

Картографическими проекциями – называют математически выраженные правила, по которым, поверхность Земли проектируют на плоскость

 

Рис. 2.1 Проектирование больших  участков земной поверхности

 

Допустим, что АВС (Рис. 2.1) – пространственный многоугольник, расположенный на физической поверхности земли, Р – часть уровенной сферической поверхности. (Для многих практических целей можно считать, что поверхность геоида и эллипсоида на каком-то участке совпадают, образуя уровенную поверхность – Р)

При создании карт на обширные территории выполняют следующие  операции (этапы):

1. Сначала по нормалям проектируют рельеф и местные предметы АВС с физической поверхности на уровенную поверхность. Вертикальная плоскость точек А и В физической поверхности земли образует при пересечении с уровенной поверхностью – проекционную линию ав, аналогично образуются проекции точек вс, са. в результате получается подобная фигура авс.

2. На втором этапе по специально разработанным математическим правилам, получившим название картографическая проекция участок уровенной поверхности Р в месте с изображенными на ней элементами физической поверхности проектируют на плоскость.

3. На завершающем этапе путем уменьшения размеров фигуры А₁ В₁ С₁ на плоскости получают уменьшенное изображение участка физической поверхности на карте А ₂В ₂ С₂ .

 

Рис. 2.2 Проектирование небольших  участков земной поверхности

 

Если треугольник АВС  на местности (Рис.2.2) имеет небольшие  размеры, то при проектировании, уровенную поверхность можно заменить горизонтальной плоскостью. В результате проектирования на плоскости образуется горизонтальная проекция участка местности, расположенного на физической поверхности Земли.

Непосредственно на местности можно измерить расстояния АВ, ВС, СА и горизонтальные углы между сторонами треугольника.

Если линии проектирования АА₁, ВВ₁, СС₁ перпендикулярны к плоскости Р, то стороны А₁В₁,  В₁С₁, С₁А₁ и углы между ними являются горизонтальными проекциями соответствующих сторон и углов местности, а плоский треугольник А₁В₁С₁ – горизонтальной проекцией треугольника АВС, расположенного на физической поверхности Земли.

От измеренной линии  АС = D_изм на местности можно перейти к ее горизонтальной проекции на плоскость А^׳ С =  А₁ С₁ = S.

Горизонтальным проложением линии – называется длина ортогональной проекции линии местности на горизонтальную плоскость.

Угол наклона α расположен в вертикальной плоскости между линией местности АС и ее проекцией на плоскости А₁С₁, – измеряется непосредственно на местности. Из треугольника АСА^׳ следует: А₁ С₁ =  D_изм × cos α

На завершающем этапе, уменьшив ортогональную проекцию участка физической поверхности земли, получают план (А₂В₂С₂).

 

По какому принципу определяются небольшие участки местности?

 Установим размеры  таких участков, т.е. определим, в каких случаях не требуется учитывать кривизну земной поверхности.

Чтобы ответить на этот вопрос определим разность между длиной касательной А₁В₁= D (Рис.2.3) и дуги АВ = d с радиусом R. Касательная А₁В₁ является горизонтальным проложением линии АВ.

∆D = D – d;  D = 2 A₁C = 2 C B₁ = 2 R tg (ε/2);    ( tg (ε/2)= A₁C/ R; A₁C = R tg (ε/2) )

Раскладывая функцию  тангенс в ряд и ограничиваясь  ее первыми двумя членами (tg (ε/2) = ε/2+(1/3) * (ε/2)³ + …) получим:

                                           D = 2 R(ε/2 + ε³/24);   

ε  - центральный угол, равный  ε = d / R , или d = ε * R.

                                          ∆D = d ³/12  R²

Таблица 2.1
Представим полученное выражение в виде относительной ошибки измерения расстояния и рассчитаем ее для расстояний от 10 до 50 км   ∆D/ d   =  1/12 (d/ R) 2	d, км	∆D/ d
	10 20 30 40 50	1: 4 900 000 1: 1 200 000 1: 500 000 1: 300 000 1: 200 000

 

Современная техника  измерений позволяет определять расстояния с максимальной ошибкой не превышающей 1: 1 000 000. Анализ данных таблицы 2.1 позволяет сделать вывод о том, что кривизну Земли есть смысл учитывать только на расстояниях свыше 20 км, т.е. на площадях свыше 400 кв. км (20*20 км).

 

Кривизна земной поверхности влияет не только на длины измеренных расстояний, но и на высоты точек. В России Балтийская система высот, в которой началом счёта высот которой служит нуль Кронштадского футштока, на котором чертой отмечен средний уровень воды в Финском заливе. (медная доска с горизонтальной чертой, вделанная в устой моста Обводного канала). Абсолютной высотой – (Н) называют высоту точки над уровенной поверхностью. Разность абсолютных высот двух точек называется превышением (h). Превышения бывают со знаком (+) и (-). Если высоту определяют относительно какой-либо уровенной поверхности, проходящей через произвольную точку, то высоту называют – условной.

Предположим, что  точки А и В земной поверхности (Рис. 2.4) находятся на о дной уровенной поверхности, т.е. H _A  = H _B, ∆h = 0.

Рис. 2.4. Проекции линии местности на горизонтальную плоскость

 

Рис. 2.4 Схема высот точек местности и превышений между ними

 

 

Если для определения  превышения принимать не уровенную  поверхность, а горизонтальную линию АВ₁, то точка В окажется ниже точки В₁ на величину равную ∆h , которая и будет называться поправкой в высоту за кривизну земной поверхности.

Определим ее величину из треугольника АВ₁О.

Таблица 2.2
D	∆h
100 200 300 400 500	0 3 7 13 19

 (R + ∆h)^1/2 = D² + R² ;  2 R ∆h + ∆h² =  D² ;   ∆h (R + ∆h) = D² + R²; ∆h = D² /(2R + ∆h);

Поправка ∆h в знаменателе во много раз меньше R, поэтому ею можно пренебречь.         ∆h = D² /  (2R);

Данные, указанные  в таблице 2.2 для различных расстояний показывают, что при определении превышений точек земной поверхности поправка за кривизну Земли должна учитываться в зависимости от требуемой точности определения высот и расстояний.

Планом – называется уменьшенное и подобное изображение на бумаге горизонтальных проекций небольших участков местности.(площадью до 400 км²)

Картой – называется уменьшенное и искаженное вследствие влияния кривизны Земли изображение на бумаге горизонтальных проекций значительного участка местности, построенное в определенной картографической проекции.

Общее между картой и  планом – это уменьшенное изображение  на бумаге земной поверхности. Различие состоит в том, что при составлении  карты по определенным законам проектируют большие участки местности на уровенную поверхность с искажениями за счет влияния кривизны Земли; на плане малые участки местности ортогонально проектируют на плоскость практически без искажений.

 Географическими картами – называются все карты, изображающие поверхность Земли, в том числе моря и океаны.

 По своему содержанию они подразделяются на общегеографические и тематические:

1. К общегеографическим картам относят географические карты, на которых отображается совокупность основных элементов местности без выделения каких-либо из них. (Подробность изображения рельефа, гидрографии, растительного покрова, населенных пунктов, дорожной сети и других топографических элементов местности зависит от их масштаба).