Законы Кеплера

 

 

                                                        

 

 

 

Важную  роль в формировании представления  о строении Солнечной системы  сыграли также законы движения планет, которые были открыты Иоганном Кеплером (1571-1630) и стали первыми естественнонаучными законами в их современном понимании. Работы Кеплера создали возможность для обобщения знаний по механике той эпохи в виде законов динамики и закона всемирного тяготения, сформулированного позднее Ньютоном. Многие ученые вплоть до начала XVII в. считали, что движение небесных тел должно быть равномерным и происходить по «самой совершенной» кривой- окружности. Лишь Кеплеру удалось преодолеть этот предрассудок и установить действительную формулу планетных орбит, а также закономерность изменения скорости движения планет при их движении вокруг Солнца.

В своих поисках Кеплер исходил  из убеждения, что «миром правит число», высказанного ещё Пифагором. Он искал  соотношения между различными величинами, характеризующими движение планет, - размеры  орбит, период обращения, скорость. Кеплер действовал фактически вслепую, чисто эмпирически. Он пытался сопоставить характеристики движения планет с законами музыкальной гаммы, длиной сторон описанных и вписанных в орбиты планет многоугольников и т. д.

Кеплеру необходимо было построить орбиты планет, перейти от экваториальной системы координат, указывающей положение планеты на небесной сфере, к системе координат, указывающих её положение в плоскости орбиты. Он воспользовался при этом собственными наблюдениями планеты Марс, а также многолетними определениями координат и конфигураций этой планеты, проведенными его учителем Тихо Браге.

Орбиту Земли Кеплер считал (в  первом приближении) окружностью, что  не противоречило наблюдениям. Для  того чтобы построить орбиту Марса, он применил способ, показанный на рис.1.

Пусть, нам известно угловое  расстояние Марса от точки весеннего  равноденствия во время одного из противостояний планеты - его прямое восхождение a₁, которое выражается углом gТ₁М₁, где Т₁- положение Земли на орбите в этот момент, а М₁-

положение Марса. Очевидно, что спустя 687 суток (таков звёздный период обращения  Марса) планета придёт в ту же точку  орбиты. Если определить прямое восхождение  планеты на эту дату, то, как видно  из рис.1, можно указать положение планеты в пространстве, точнее, в плоскости её орбиты. Земля в этот момент находится в точке Т₂, и, следовательно, угол gТ₂М₂ есть не что иное, как прямое восхождение Марса - a₂. Повторив подобные операции для нескольких других противостояний Марса, Кеплер получил ещё целый ряд точек и, проведя по ним плавную кривую, построил орбиту этой планеты.

Изучив расположение полученных точек, он обнаружил, что скорость движения планеты по орбите меняется, но при  этом

радиус-вектор планеты  за равные промежутки времени описывает равные площади.

Впоследствии эта закономерность получила название второго закона Кеплера.

Это закон, который часто называют законом площадей, иллюстрируется рисунком 2. Радиус-вектором называют переменный по своей величине отрезок, соединяющий Солнце и ту точку орбиты, в которой находится планета. АА₁, ВВ₁,       СС ₁-  дуги, которые проходит планета за равные промежутки времени. Площади заштрихованных фигур равны. 

 

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют силы тяготения, остаётся неизменной при любых движениях тел этой системы. Поэтому сумма потенциальной и кинетической энергий планеты, которая движется вокруг Солнца, остаётся неизменной во всех точках орбиты и равна полной энергии. По мере её приближения к Солнцу возрастает скорость - увеличивается  кинетическая энергия, но вследствие уменьшения расстояния до Солнца уменьшается энергия потенциальная.

Установив закономерность изменения скорости движения  планет, Кеплер задался целью определить, по какой кривой происходит их движение вокруг Солнца. Он был поставлен перед необходимостью сделать выбор одного из двух возможных решений: считать, что орбита Марса представляет собой окружность, и допустить, что на некоторых участках движения планеты вычисленные координаты расходятся с действительными (из-за ошибок наблюдений) на 8’, или считать, что наблюдения таких ошибок не содержат, а орбита планеты не является окружностью. Будучи уверенным в точности наблюдений Тихо Браге, Кеплер выбрал второе решение и установил, что наилучшим образом положения Марса на орбите совпадают с эллипсом, при этом Солнце не располагается в центре эллипса. В результате был сформулирован закон, который называется первым законом Кеплера.

 

Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном  из фокусов которого находится Солнце.

 

Как известно, эллипсом называется кривая, у которой сумма расстояний от любой точки P до его фокусов есть величина постоянная. На рисунке 3 обозначены: O- центр эллипса; S и S₁- фокусы эллипса; AB- его большая ось. Половина этой величины (a), которую обычно называют большой полуосью, характеризует размер орбиты планеты. Ближайшая к Солнцу точка A называется перигелий, а наиболее удалённая от него точка B- афелий. Отличие эллипса от окружности характеризуется величиной его эксцентриситета: e = OS/OA. В том случае, когда эксцентриситет равен 0, фокусы и центр сливаются в одну точку-  эллипс превращается в окружность.

Примечательно, что книга, в которой  в 1609 г. Кеплер первые два открытых им закона, называлась «Новая астрономия, или Физика небес, изложенная в исследованиях  планеты Марс…».

Оба этих закона, опубликованные в 1609, раскрывают характер движения каждой планеты по отдельности, что не удовлетворило Кеплера. Он продолжил поиски «гармонии» в движении всех планет, и спустя 10 лет ему удалось сформулировать третий закон Кеплера.

 

Квадраты звёздных периодов обращения планет относятся между  собой как кубы больших полуосей их орбит.

 

           Формула,  выражающая третий закон Кеплера,  такова:

 

                   

 

 

где T₁ и T₂- периоды обращения двух планет;  А₁  и А₂ - большие полуоси их орбит_. 

Вот что писал Кеплер после открытия этого закона: «То, что 16 лет назад я решил искать, <…> наконец найдено, и это открытие превзошло все мои самые смелые ожидания».

Действительно, третий закон заслуживает  самой высокой оценки. Ведь он позволяет  вычислить относительные расстояния от планет до Солнца, используя при этом уже известные периоды их обращения вокруг Солнца. Не нужно определять расстояние от Солнца каждой из них, достаточно измерить расстояние от Солнца хотя бы одной планеты. Величина большой полуоси земной орбиты - астрономическая единица (а. е.)- стала основой для вычисления всех остальных расстояний в Солнечной системе.